AMC 10 · 2013 · #5

학년 4 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

mean-median-mode-rangelinear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic identify-subproblemswork-backwards ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

톰, 도로시, 새미는 함께 휴가를 떠났고 비용을 똑같이 나누기로 했다. 여행 중에 톰은 $105, 도로시는$ 125, 새미는 $175를 지불했다. 비용을 똑같이 나누기 위해 톰은 새미에게$ t $달러를 주었고, 도로시는 새미에게$ d $달러를 주었다.$ t-d$는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 사람이 여행에서 각각 다른 금액을 냈다: $105$, $125$, $175$. 이들은 전체 비용을 똑같이 나누어 부담하려 한다. 톰이 새미에게 주는 금액 $t$, 도로시가 새미에게 주는 금액 $d$를 구한 뒤 $t-d$를 계산하라.

주어진 것: 톰은 $105$, 도로시는 $125$, 새미는 $175$를 냈다; 세 사람이 전체 비용을 똑같이 나눈다; 톰은 새미에게 $t$ 달러를, 도로시는 새미에게 $d$ 달러를 준다; 보기: (A) $15$, (B) $20$, (C) $25$, (D) $30$, (E) $35$

구하는 것: $t-d$의 값

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

한 문장 안에 작은 계산 세 개가 숨어 있으므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 딱 맞는다. 먼저 전체 비용을 더하고, 그것을 셋으로 똑같이 나누고, 톰과 도로시가 각자 자기 몫에서 얼마나 부족한지 본다. 그 부족액이 바로 $t$와 $d$이다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 모든 수를 달러 단위로 유지하고, 공평한 몫이 가장 적게 낸 금액과 가장 많이 낸 금액 사이에 놓이는지 확인해 계산 실수를 빠르게 걸러 준다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2 단계 1

전체 비용 더하기

먼저 세 사람이 함께 낸 전체 금액을 구한다.
세 금액을 더한다: $105+125+175$.
순서대로 더하면 $105+125=230$, 이어서 $230+175=405$.
여행 전체 비용은 $405$이다.

$$105+125+175 = 405$$

💡 비용을 공평하게 나누는 일은 모두가 함께 나눌 하나의 수를 아는 데서 시작한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 2

각자의 공평한 몫 구하기

$405$를 세 친구에게 똑같이 나누기 위해 $3$으로 나눈다: $405 \div 3 = 135$.
따라서 공평한 몫은 각자 $135$이다.
$135$가 가장 적게 낸 $105$와 가장 많이 낸 $175$ 사이에 있다는 점을 확인하면 평균으로서 자연스럽다.

$$405 \div 3 = 135$$

💡 똑같이 나눈다는 것은 결국 모두가 같은 금액을 낸 셈이 되도록 전체를 셋으로 나누는 것이다.

#8 단위 살펴보기 3.NBT.A.2 단계 3

톰과 도로시가 아직 낼 금액 구하기

톰과 도로시가 실제로 낸 금액을 공평한 몫 $135$와 비교한다.
톰은 $105$만 냈으므로 $135-105=30$만큼 부족하다.
이 부족액이 그가 새미에게 주는 돈이므로 $t=30$이다.
도로시는 $125$를 냈으므로 $135-125=10$만큼 부족하여 $d=10$이다.
두 사람 모두 부족액을 더 많이 낸 새미에게 보낸다.

$$t = 135-105 = 30,\quad d = 135-125 = 10$$

💡 공평한 몫보다 적게 냈다면, 낸 금액과 몫 사이의 차이만큼 정확히 빚진 것이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2 단계 4

차이 $t-d$ 계산하기

문제가 묻는 두 금액을 뺀다: $t-d = 30-10 = 20$.
이는 보기 (B)와 일치한다.
확인해 보면 새미는 $175-135=40$만큼 더 냈고, 들어오는 돈은 $t+d=30+10=40$이므로 모든 것이 맞아떨어진다.

$$t-d = 30-10 = 20 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 새미에게 주는 두 금액을 알면, 답은 뺄셈 하나만 더 하면 된다.

[1] #7 3.NBT.A.2 먼저 세 사람이 함께 낸 전체 금액을 구한다. 세 금액을 더한다: $105+125+175$. 순서대로 더하면 $105+125=230$, 이어서

[2] #7 4.NBT.B.6 $405$를 세 친구에게 똑같이 나누기 위해 $3$으로 나눈다: $405 \div 3 = 135$. 따라서 공평한 몫은 각자 $135$이다. $

[3] #8 3.NBT.A.2 톰과 도로시가 실제로 낸 금액을 공평한 몫 $135$와 비교한다. 톰은 $105$만 냈으므로 $135-105=30$만큼 부족하다. 이 부족액이

[4] #7 3.NBT.A.2 문제가 묻는 두 금액을 뺀다: $t-d = 30-10 = 20$. 이는 보기 (B)와 일치한다. 확인해 보면 새미는 $175-135=40$만큼

검토

합리성 확인: 공평한 몫 $135$는 가장 적게 낸 $105$와 가장 많이 낸 $175$ 사이에 있으며, 평균이 마땅히 그래야 하는 위치다. 두 금액 $t=30$과 $d=10$을 더하면 $40$이 되는데, 이는 새미가 더 낸 $175-135=40$과 같으므로 돈이 새거나 생기지 않는다. 차이 $t-d=20$은 보기 (B)이며, 수의 크기에 잘 맞는 중간값이다.

대안 접근: 공평한 몫을 아예 구하지 않는 방법도 있다. $t=135-105$이고 $d=135-125$이므로, 빼면 공통의 $135$가 사라진다: $t-d=(135-105)-(135-125)=125-105=20$. 이는 $t-d$가 도로시와 톰이 낸 금액의 차이일 뿐임을 보여 주며, 평균을 계산하지 않고도 (B)에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.NBT.A.2 1000 이하에서 유창하게 더하고 빼기 (금액을 더해 $405$를 구하고, 빼서 $t=30$, $d=10$, $t-d=20$을 구하는 데 사용.)
4.NBT.B.6 여러 자리 피제수의 나눗셈 몫 구하기 (전체 $405$를 $3$으로 나누어 각자의 공평한 몫 $135$를 구하는 데 사용.)

⭐ 비용을 공평하게 나누려면, 전체를 구하고, 똑같은 몫으로 나눈 뒤, 각자 내야 할 몫과 이미 낸 금액의 차이만큼 낸다.