AMC 10 · 2013 · #5

학년 4 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
mean-median-mode-rangelinear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic identify-subproblemswork-backwards ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
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문제
톰, 도로시, 새미가 함께 여행을 가면서 비용을 똑같이 나누어 부담하기로 했다. 여행 중에 톰은 105, 도로시는 125, 새미는 175를 냈다. 여행이 끝난 뒤 정산을 위해 톰은 새미에게 t 달러를, 도로시는 새미에게 d 달러를 주어서 결국 세 사람이 낸 금액이 같아지도록 만들었다. t-d를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
15
(B)
20
(C)
25
(D)
30
(E)
35

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 다르게 정리하기

이 문제를 푸는 열쇠는 도구 #15이다. 누가 누구에게 얼마를 주는지 따라가는 대신, 각 사람을 "낸 돈 + 준 돈 − 받은 돈"이라는 장부 한 줄로 다시 정리하고, 세 줄이 모두 같은 공평한 몫이 되도록 요구하면 된다. 그다음 도구 #7이 일을 세 개의 작은 계산으로 쪼갠다: 전체 비용 더하기, 3으로 나누기, 각자가 공평한 몫에서 얼마나 벌어져 있는지 재기. 도구 #8은 모든 양을 달러 단위로 유지해 "부족액"과 "건네는 금액"을 바로 비교할 수 있게 해 준다. 도구 #3으로 마지막 수를 보기 하나에 맞춘다.

1STEP 1

여행 전체 비용 더하기

송금은 친구들 사이에서 돈을 옮길 뿐이므로 전체 비용은 이미 정해져 있다: 105+125+175 = 405.

105+125+175 = 405
2STEP 2

하나뿐인 공평한 몫 구하기

이를 셋으로 똑같이 나누면 각자의 최종 부담액은 405 ÷ 3 = 135로 딱 떨어진다.

S = 405 ÷ 3 = 135
3STEP 3

톰과 도로시의 장부 읽기

톰은 주기만 하므로 105+t = 135에서 t = 30, 도로시는 125+d = 135에서 d = 10이다.

105+t = 135 → t = 30, 125+d = 135 → d = 10
4STEP 4

새미의 장부도 맞아떨어지는지 확인하기

두 송금액 모두 양수이고, 새미의 장부도 175-(30+10) = 135로 같은 몫에 닿는다.

175-(t+d) = 175-40 = 135 = S
5STEP 5

두 송금액의 차 구하기

문제는 새미에게 건넨 두 금액의 차를 묻는다: t-d = 30-10 = 20, 보기 (B)이다.

t-d = 30-10 = 20 → (B)
정답
20
서로 독립적인 세 가지 확인이 모두 일치한다. (1) 공평한 몫 135는 가장 적게 낸 105와 가장 많이 낸 175 사이에 있으며, 평균이라면 마땅히 있어야 할 자리다. (2) 돈이 보존된다: 톰과 도로시에게서 나간 30+10=40은 새미가 더 낸 175-135=40과 정확히 같으므로, 돈이 새로 생기거나 사라지지 않는다. (3) 최종 장부가 모두 같은 수에 도달한다: 105+30=135, 125+10=135, 175-40=135. 구하는 차 t-d=20은 보기 (B)이고, t=30 하나보다 작다는 점도 보기 목록과 잘 맞는다.
💡핵심 정리

함께 쓴 돈을 정산할 때는 전체를 구하고 사람 수로 나눈 뒤, 각자 이미 낸 금액과 그 몫 사이의 거리만큼 내면 된다. 그리고 돈을 받는 사람도 그 몫에 정확히 도달하는지 확인해야 한다.

  • 여행 전체 비용 더하기
  • 하나뿐인 공평한 몫 구하기
  • 톰과 도로시의 장부 읽기
  • 새미의 장부도 맞아떨어지는지 확인하기
  • 두 송금액의 차 구하기

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