AMC 10 · 2013 · #7
학년 7 counting combinations-basiccomplementary-countingcasework complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: combinations-basic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
영어, 대수, 기하, 역사, 미술, 라틴어 6개 과목 중에서 4과목을 고른다. 고른 4과목에는 반드시 영어가 들어가야 하고, 수학 과목(대수 또는 기하)이 적어도 하나는 들어가야 한다. 가능한 4과목 프로그램의 개수를 구하라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
6
(B)
8
(C)
9
(D)
12
(E)
16
AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 / 여집합 세기
"수학 과목이 적어도 하나"라는 조건은 그 반대 상황을 세는 편이 쉽다. 먼저 반드시 들어가야 하는 영어를 자리에 놓고, 나머지 세 자리를 채우는 모든 방법을 센 다음, 수학 과목이 하나도 없는 몇 안 되는 프로그램만 빼면 된다.
1STEP 1
영어 고정, 세 자리 남음
영어는 무조건 들어가니 먼저 놓는다. 세 자리를 나머지 5과목으로 채우면 된다.
{대수, 기하, 역사, 미술, 라틴어} 에서 3 자리 채우기
반드시 들어가는 항목은 그냥 놓으면 되니, 빼고 더 작은 문제를 푼다.
7.SP.C.8Change Focus Count The Complement2STEP 2
세 자리 채우는 모든 방법 세기
수학 조건은 잠시 잊고 남은 5과목에서 3과목을 고르면 10가지다.
C(5, 3)=(5 · 4 · 3)/(3 · 2 · 1)=10
허용되는 것만 세는 것보다 모든 경우를 먼저 세는 편이 간단하다.
7.SP.C.8Make A Systematic List3STEP 3
수학 없는 프로그램 세기
수학이 하나도 없는 경우는 역사, 미술, 라틴어를 다 고르는 1가지뿐이다.
C(3, 3)=1 (역사, 미술, 라틴어)
수학이 아닌 과목이 세 개뿐이라, 두 수학을 모두 피하는 조합은 단 하나다.
7.SP.C.8Change Focus Count The Complement4STEP 4
규칙을 어긴 프로그램 빼기
10가지에서 그 1가지를 빼면 9가지가 남는다. 정답은 (C)다.
10-1=9
전체에서 허용되지 않는 것을 빼면 딱 허용되는 것만 남는다.
전체에서 허락되지 않은 것을 빼면 정확히 허락된 것이 남는다.
▸ 왜?
각 시간표는 규칙을 지키거나 어기거나이므로, 두 개수를 더하면 전체가 된다.
실패를 빼고 남은 것어떤 사건은 일어나거나 일어나지 않으므로, 그 확률은 1에서 실패하는 경우의 확률을 뺀 것이며 실패 쪽이 세기 쉬울 때가 많다.
▸ 왜?
순서를 따지지 않고 모임을 세면 각 시간표가 한 번보다 많이 세어지지 않는다.
두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
정답
9
직접 경우를 나눠도 같은 값이 나온다. 수학 과목이 정확히 하나면, 대수 또는 기하를 고르고(2가지) {역사, 미술, 라틴어} 중 2과목을 고른다(3가지) → 6가지. 수학 과목이 둘 다면, 수학이 아닌 3과목 중 1과목을 고른다 → 3가지. 합이 6 + 3 = 9로, 여집합으로 센 결과와 일치하며 (C)를 확인한다.
💡핵심 정리
"적어도 하나"라는 규칙이 나오면, 전체를 다 세고 나서 하나도 없는 경우를 빼라.
- 영어 고정, 세 자리 남음
- 세 자리 채우는 모든 방법 세기
- 수학 없는 프로그램 세기
- 규칙을 어긴 프로그램 빼기