AMC 10 · 2013 · #7

학년 7 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

combinations-basiccomplementary-countingcasework complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 학생이 영어, 대수, 기하, 역사, 미술, 라틴어로 이루어진 과목 목록에서 네 과목으로 구성된 수강 과정을 선택해야 한다. 이 과정에는 반드시 영어가 포함되어야 하고 적어도 한 과목의 수학 과목이 포함되어야 한다. 이 과정을 선택할 수 있는 방법은 몇 가지인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 영어, 대수, 기하, 역사, 미술, 라틴어 6개 과목 중에서 4과목을 고른다. 고른 4과목에는 반드시 영어가 들어가야 하고, 수학 과목(대수 또는 기하)이 적어도 하나는 들어가야 한다. 가능한 4과목 프로그램의 개수를 구하라.

주어진 것: 선택할 수 있는 과목은 영어, 대수, 기하, 역사, 미술, 라틴어 6개다.; 프로그램은 정확히 4과목으로 이루어진다.; 수학 과목은 대수와 기하 두 개다.

구하는 것: 조건을 만족하는 4과목 프로그램의 개수.

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기 / 여집합 세기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기

"수학 과목이 적어도 하나"라는 조건은 그 반대 상황을 세는 편이 쉽다. 먼저 반드시 들어가야 하는 영어를 자리에 놓고, 나머지 세 자리를 채우는 모든 방법을 센 다음, 수학 과목이 하나도 없는 몇 안 되는 프로그램만 빼면 된다.

실행 — 정답: C

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 7.SP.C.8 단계 1

영어 고정, 세 자리 남음

영어는 모든 프로그램에 반드시 들어가므로 먼저 한 자리에 놓는다.
그러면 네 자리 중 하나가 채워지고 영어는 후보에서 빠진다.
남은 일은 대수, 기하, 역사, 미술, 라틴어 5과목으로 세 자리를 채우는 것이다.

\{\text{대수, 기하, 역사, 미술, 라틴어}\} \text{ 에서 } 3 \text{ 자리 채우기}

💡 반드시 들어가는 항목은 그냥 놓으면 되니, 빼고 더 작은 문제를 푼다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

세 자리 채우는 모든 방법 세기

잠시 수학 조건은 잊고, 남은 5과목 중에서 3과목을 고르는 모든 방법을 센다.
직접 나열하거나 조합 공식을 쓰면 10가지가 나온다.

$$\binom{5}{3}=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}=10$$

💡 허용되는 것만 세는 것보다 모든 경우를 먼저 세는 편이 간단하다.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 7.SP.C.8 단계 3

수학 없는 프로그램 세기

프로그램이 규칙을 어기는 경우는 수학 과목이 하나도 없을 때뿐이다.
그러면 남은 세 자리는 모두 수학이 아닌 역사, 미술, 라틴어에서 나와야 한다.
이 과목은 정확히 세 개뿐이므로, 세 개를 모두 고르는 방법은 딱 한 가지다.

\binom{3}{3}=1 \quad (\text{역사, 미술, 라틴어})

💡 수학이 아닌 과목이 세 개뿐이라, 두 수학을 모두 피하는 조합은 단 하나다.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 1.OA.C.6 단계 4

규칙을 어긴 프로그램 빼기

전체 10가지 프로그램에서 수학 과목이 하나도 없는 단 한 가지를 뺀다.
그러면 영어와 수학 과목을 적어도 하나 포함하는 프로그램 9가지가 남으므로, 정답은 (C)다.

$$10-1=9$$

💡 전체에서 허용되지 않는 것을 빼면 딱 허용되는 것만 남는다.

[1] #16 7.SP.C.8 영어는 모든 프로그램에 반드시 들어가므로 먼저 한 자리에 놓는다. 그러면 네 자리 중 하나가 채워지고 영어는 후보에서 빠진다. 남은 일은 대수,

[2] #2 7.SP.C.8 잠시 수학 조건은 잊고, 남은 5과목 중에서 3과목을 고르는 모든 방법을 센다. 직접 나열하거나 조합 공식을 쓰면 10가지가 나온다.

[3] #16 7.SP.C.8 프로그램이 규칙을 어기는 경우는 수학 과목이 하나도 없을 때뿐이다. 그러면 남은 세 자리는 모두 수학이 아닌 역사, 미술, 라틴어에서 나와야 한

[4] #16 1.OA.C.6 전체 10가지 프로그램에서 수학 과목이 하나도 없는 단 한 가지를 뺀다. 그러면 영어와 수학 과목을 적어도 하나 포함하는 프로그램 9가지가 남으

검토

합리성 확인: 직접 경우를 나눠도 같은 값이 나온다. 수학 과목이 정확히 하나면, 대수 또는 기하를 고르고(2가지) {역사, 미술, 라틴어} 중 2과목을 고른다(3가지) → 6가지. 수학 과목이 둘 다면, 수학이 아닌 3과목 중 1과목을 고른다 → 3가지. 합이 6 + 3 = 9로, 여집합으로 센 결과와 일치하며 (C)를 확인한다.

대안 접근: 여집합을 빼는 대신, 포함되는 수학 과목의 수(정확히 하나, 또는 둘 다)로 경우를 나누어 각 경우의 수를 더한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 조직적 목록, 표, 시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (가능한 모든 4과목 프로그램을 표본공간으로 정리하고 세어, 수학이 없는 프로그램을 분리하는 데 사용)
1.OA.C.6 여러 전략으로 20 이내의 덧셈과 뺄셈 하기 (전체 10가지 프로그램에서 규칙을 어긴 한 가지를 빼는 데 사용)

⭐ "적어도 하나"라는 규칙이 나오면, 전체를 다 세고 나서 하나도 없는 경우를 빼라.