AMC 10 · 2013 · #8

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

exponentsfraction-arithmetic convert-to-algebraeasier-related-problem ↑ 선수 지식: exponents

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

다음 식의 값은 얼마인가? $\frac{2^{2014}+2^{2012}}{2^{2014}-2^{2012}} ?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-1

(B)

(C)

$\frac{5}{3}$

(D)

2013

(E)

$2^{4024}$

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 분수 $\dfrac{2^{2014}+2^{2012}}{2^{2014}-2^{2012}}$ 의 값을 구하시오.

주어진 것: 분자는 $2^{2014}+2^{2012}$; 분모는 $2^{2014}-2^{2012}$; 보기: (A) $-1$, (B) $1$, (C) $\frac{5}{3}$, (D) $2013$, (E) $2^{4024}$

구하는 것: 이 분수가 나타내는 하나의 값

이해

문제 재정리: 분수 $\dfrac{2^{2014}+2^{2012}}{2^{2014}-2^{2012}}$ 의 값을 구하시오.

주어진 것: 분자는 $2^{2014}+2^{2012}$; 분모는 $2^{2014}-2^{2012}$; 보기: (A) $-1$, (B) $1$, (C) $\frac{5}{3}$, (D) $2013$, (E) $2^{4024}$

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

거대한 지수 때문에 분수가 무섭게 보이지만, 모든 항은 같은 덩어리 $2^{2012}$ 로 이루어져 있다. Tool #4(변수 도입하기)로 그 덩어리를 $x = 2^{2012}$ 라 이름 붙이면 괴물 같은 식이 곧바로 쉬운 분수 $\frac{4x+x}{4x-x}$ 로 줄어든다(Tool #9, 더 쉬운 문제로 줄이기). 그다음 Tool #7 로 일을 두 개의 작은 문제, 즉 분자·분모를 다시 쓰기와 공통 $x$ 를 약분하기로 나눈다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 8.EE.A.1 단계 1

공통 덩어리에 이름 붙이기

더 작은 거듭제곱을 $x = 2^{2012}$ 라 두자.
$2014 = 2012 + 2$ 이므로 더 큰 거듭제곱은 $2^{2014} = 2^{2012} \cdot 2^{2} = 4x$ 가 된다.
이는 같은 밑의 거듭제곱에서 지수를 더하는 것이 곧 곱하는 것이라는 지수 법칙을 쓴 것이다.

$$x = 2^{2012}, \qquad 2^{2014} = 2^{2012}\cdot 2^{2} = 4x$$

💡 같은 밑의 두 거듭제곱은 밑을 몇 번 더 곱했는지만 다르므로, $2^{2014}$ 는 $2^{2012}$ 에 $2$ 를 두 번 더 붙인 것일 뿐이다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.3 단계 2

분자와 분모 다시 쓰기

모든 거듭제곱을 $x$ 꼴로 바꾼다.
분자는 $4x + x$, 분모는 $4x - x$ 가 되고, 동류항을 정리하면 각각 $5x$ 와 $3x$ 가 된다.

$$\dfrac{2^{2014}+2^{2012}}{2^{2014}-2^{2012}} = \dfrac{4x+x}{4x-x} = \dfrac{5x}{3x}$$

💡 두 거듭제곱을 같은 덩어리 $x$ 로 쓰면, 사과 $4$ 개 더하기 사과 $1$ 개처럼 더하고 뺄 수 있는 동류항이 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.2 단계 3

공통 인수 약분하기

인수 $x = 2^{2012}$ 는 분자와 분모에 모두 나타나고 $0$ 이 아니므로 약분된다.
그러면 간단한 분수 $\frac{5}{3}$ 가 남고, 이는 보기 (C) 와 일치한다.

$$\dfrac{5x}{3x} = \dfrac{5}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 분수의 분자와 분모에 $0$ 이 아닌 같은 수를 곱해도 값은 변하지 않으므로, 그 수를 도로 나누어 없애는 것도 값을 바꾸지 않는다.

[1] #4 8.EE.A.1 더 작은 거듭제곱을 $x = 2^{2012}$ 라 두자. $2014 = 2012 + 2$ 이므로 더 큰 거듭제곱은 $2^{2014} = 2^{2

[2] #4 6.EE.A.3 모든 거듭제곱을 $x$ 꼴로 바꾼다. 분자는 $4x + x$, 분모는 $4x - x$ 가 되고, 동류항을 정리하면 각각 $5x$ 와 $3x$ 가

[3] #7 7.NS.A.2 인수 $x = 2^{2012}$ 는 분자와 분모에 모두 나타나고 $0$ 이 아니므로 약분된다. 그러면 간단한 분수 $\frac{5}{3}$ 가

검토

합리성 확인: 크기로 확인하자. 분자 $2^{2014}+2^{2012}$ 는 분모 $2^{2014}-2^{2012}$ 보다 조금 크므로, 분수는 $1$ 보다 조금 커야 한다. 따라서 (A) $-1$, (B) $1$, 거대한 (D) $2013$, 천문학적인 (E) $2^{4024}$ 는 모두 제외되고 (C) $\frac{5}{3}\approx 1.67$ 만 남는다. 정확히 다시 확인: $2^{2012}$ 를 그대로 묶어내면 $\frac{2^{2012}(2^2+1)}{2^{2012}(2^2-1)} = \frac{5}{3}$.

대안 접근: 변수를 쓰지 않고 분자와 분모에서 $2^{2012}$ 를 직접 묶어낸다: $\frac{2^{2012}(2^{2}+1)}{2^{2012}(2^{2}-1)} = \frac{4+1}{4-1} = \frac{5}{3}$. 치환 없이도 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.1 Know and apply the properties of integer exponents ($2^{2014}$ 를 $2^{2012}\cdot 2^{2} = 4x$ 로 다시 써서 두 거듭제곱이 공통 덩어리 $x = 2^{2012}$ 를 공유하게 만들기.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (분자와 분모에서 동류항 $4x + x = 5x$, $4x - x = 3x$ 정리하기.)
7.NS.A.2 Apply and extend understanding of multiplication and division of rational numbers ($\frac{5x}{3x}$ 에서 $0$ 이 아닌 공통 인수 $x$ 를 약분하여 $\frac{5}{3}$ 에 도달하기.)

⭐ 거대한 거듭제곱이 공통 덩어리를 가지면 그것을 $x$ 라 이름 붙이자 — 무서운 분수 $\frac{2^{2014}+2^{2012}}{2^{2014}-2^{2012}}$ 가 $\frac{5x}{3x} = \frac{5}{3}$ 로 줄어든다.