AMC 10 · 2013 · #8
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AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
지수 2014와 2012가 어려움의 원인처럼 보이지만 사실은 미끼다. 끝까지 쓰이는 사실은 두 지수의 차가 2 라는 것 하나뿐이다. 그래서 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)가 맞다: 적을 수도 없는 거듭제곱을 작은 덩어리 하나로 바꾼 같은 모양의 분수로 대체한다. 바꾸는 일은 도구 #4 (변수 도입하기)가 한다: 공통 거듭제곱을 x=2²⁰¹²로 이름 붙이면 분자와 분모는 4x+x 와 4x-x 가 된다. 이 문제가 실제로 걸려 있는 단계는 공통인수 x 를 약분하는 것이고, 그 약분은 x ≠ 0 일 때만 정당하다. 그래서 약분을 전혀 쓰지 않는 확인이 필요하다: 도구 #11 (거꾸로 풀기)로 값 자체를 미지수 t 로 놓고 일차방정식에서 되찾으면, 합을 인수분해하는 일이 한 번도 없다. 마지막으로 도구 #3 (가능성 지우기)으로 값이 1과 2 사이임을 보이면 그것만으로도 선택지가 하나만 남는다.
두 지수는 2 만큼 차이 난다
2014=2012+2 이므로 2²⁰¹⁴=2² · 2²⁰¹²=4 · 2²⁰¹², 즉 큰 항은 작은 항의 네 배다.
지수에 2를 더하면 값이 2²=4 배가 되므로, 큰 항은 작은 항의 정확히 네 배다.
지수에 2를 더하면 거듭제곱이 정해진 배율만큼 커지므로, 큰 항은 작은 항의 그만큼이다.
▸ 왜?
지수는 인수를 몇 번 쓰는지를 세므로, 두 번 더 쓰면 그 인수가 두 번 곱해진다.
▸ 왜?
그 공통된 거듭제곱은 이제 식 전체에서 한꺼번에 밖으로 끌어낼 수 있다.
공통 거듭제곱을 x 로 이름 붙이기
x=2²⁰¹²이라 하자. 2를 2012 번 곱한 수이니 x ≠ 0이고, 2²⁰¹⁴=4x 이므로 식은 (4x+x)/(4x-x) 이다.
반복되는 거듭제곱에 짧은 이름 하나를 붙여 보면 지수의 크기가 애초에 어려움이 아니었음이 드러난다.
6.EE.B.6Introduce A Variablex 를 묶어내고 약분하기
묶어내면 4x+x=5x, 4x-x=3x 이라 분수는 5x/3x 이고, x ≠ 0 이므로 약분되어 5/3 이 남는다.
분자와 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱해도 분수는 변하지 않으므로, 둘을 x 로 나누어도 변하지 않는다.
7.EE.A.1Introduce A Variable약분 없이 확인하기
a=2²⁰¹⁴, b=2²⁰¹², t=(a+b)/(a-b)로 두면 a/b=4 에서 (t+1)/(t-1)=4, 3t=5, t=5/3 이다.
답 자체를 미지수로 놓으면 문제는 한 거듭제곱이 다른 거듭제곱의 몇 배인지에 관한 일차방정식 한 줄로 줄어든다.
8.EE.C.7Work Backwards밑이 같은 거듭제곱을 더하거나 뺄 때는 작은 쪽을 공통인수로 묶어내자. 그것이 약분되어 사라지고 남는 것은 두 지수의 차뿐이다.
- 두 지수는 2 만큼 차이 난다
- 공통 거듭제곱을 x 로 이름 붙이기
- x 를 묶어내고 약분하기
- 약분 없이 확인하기