AMC 10 · 2013 · #9

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

percentageweighted-averageinvariant-monovariant convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

최근의 한 농구 경기에서 셔닐은 3점 슛과 2점 슛만 시도했다. 그녀는 3점 슛의 $20\%$ 와 2점 슛의 $30\%$ 를 성공시켰다. 셔닐은 총 $30$ 개의 슛을 시도했다. 그녀는 몇 점을 득점했는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 셔닐은 3점짜리와 2점짜리 슛만 합쳐 30번 시도했다. 3점 슛은 20%, 2점 슛은 30%를 성공했다. 그녀가 얻은 총점을 구하라.

주어진 것: 모든 슛은 3점 시도이거나 2점 시도였다.; 3점 시도의 20%를 성공했고, 성공한 한 번은 3점이다.; 2점 시도의 30%를 성공했고, 성공한 한 번은 2점이다.; 두 종류의 시도를 합치면 모두 30번이다.

구하는 것: 셔닐이 얻은 총점.

이해

문제 재정리: 셔닐은 3점짜리와 2점짜리 슛만 합쳐 30번 시도했다. 3점 슛은 20%, 2점 슛은 30%를 성공했다. 그녀가 얻은 총점을 구하라.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

3점 시도와 2점 시도의 나눔이 모르는 값이므로 각 횟수에 문자를 붙여 총점을 식으로 쓴다. 각 슛 종류의 점수를 따로 다뤄 보면 두 종류가 시도 한 번당 같은 점수를 준다는 것이 드러나고, 그러면 모르는 나눔이 상쇄된다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

모르는 두 횟수에 이름 붙이기

3점 시도 횟수를 x, 2점 시도 횟수를 y라 하자.
30번의 슛이 모두 둘 중 한 종류이므로 두 횟수의 합은 30이다.

$$x + y = 30$$

💡 모르는 두 횟수에 이름을 붙이면 아직 값을 몰라도 그것으로 계산을 이어갈 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 2

각 슛 종류의 점수

x번의 3점 시도 중 20%를 성공하고 성공 한 번이 3점이므로 0.20 곱하기 x 곱하기 3이다.
y번의 2점 시도 중 30%를 성공하고 한 번이 2점이므로 0.30 곱하기 y 곱하기 2이다.
둘 다 횟수의 0.6배로 정리된다.

$$0.20 \cdot x \cdot 3 = 0.6x, \qquad 0.30 \cdot y \cdot 2 = 0.6y$$

💡 점수가 높은 슛의 성공률이 낮은 것이 균형을 이뤄, 두 종류 모두 시도 한 번당 0.6점으로 같아진다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.3 단계 3

더한 뒤 공통의 0.6 묶어내기

총점은 두 부분의 합인 0.6x 더하기 0.6y이다.
두 항이 모두 0.6을 공통으로 가지므로 밖으로 묶어내면 0.6 곱하기 (x 더하기 y)가 된다.

$$0.6x + 0.6y = 0.6(x + y)$$

💡 두 슛 종류가 시도당 0.6점을 얻으므로, 어떻게 나뉘는지가 아니라 시도 총 횟수만 중요하다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 4

아는 총합 대입하기

x 더하기 y는 시도 총 횟수이므로 30으로 바꾼다.
곱하면 0.6 곱하기 30, 즉 18점이다.
이는 보기 (B)와 일치한다.

$$0.6(x + y) = 0.6 \times 30 = 18$$

💡 나눔이 상쇄되고 나면 답은 이미 아는 시도 총 30번에만 달려 있다.

[1] #4 6.EE.A.2 3점 시도 횟수를 x, 2점 시도 횟수를 y라 하자. 30번의 슛이 모두 둘 중 한 종류이므로 두 횟수의 합은 30이다.

[2] #7 6.RP.A.3 x번의 3점 시도 중 20%를 성공하고 성공 한 번이 3점이므로 0.20 곱하기 x 곱하기 3이다. y번의 2점 시도 중 30%를 성공하고 한

[3] #4 6.EE.A.3 총점은 두 부분의 합인 0.6x 더하기 0.6y이다. 두 항이 모두 0.6을 공통으로 가지므로 밖으로 묶어내면 0.6 곱하기 (x 더하기 y)가

[4] #4 6.EE.A.2 x 더하기 y는 시도 총 횟수이므로 30으로 바꾼다. 곱하면 0.6 곱하기 30, 즉 18점이다. 이는 보기 (B)와 일치한다.

검토

합리성 확인: 셔닐이 모든 슛을 성공했다면 30번으로 최대 90점까지 가능하지만, 실제로는 20%에서 30%만 성공했으니 그보다 훨씬 낮은 점수가 예상된다. 18점은 90점의 작은 일부이고 보기 중에서도 낮은 쪽에 있어 낮은 성공률과 잘 맞는다.

대안 접근: 극단의 원리를 쓴다: 나눔이 중요하지 않으니 30번 모두 3점 시도라고 가정한다. 20%인 6번을 성공하고 한 번에 3점이면 6 곱하기 3 = 18이다. 30번 모두 2점 시도라 하면 30%인 9번 성공, 한 번에 2점이면 9 곱하기 2 = 18이다. 어느 극단이든 18 (B)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (시도 횟수를 x, y로 이름 붙이고 x + y = 30에서 총점 식을 계산하기.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (시도 횟수의 20%와 30%를 구해 성공한 슛과 그 점수를 계산하기.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions (0.6x + 0.6y를 0.6(x + y)로 묶어 모르는 나눔을 상쇄하기.)

⭐ 두 종류의 슛 모두 시도 한 번당 0.6점을 얻으니, 0.6에 시도 총 30번을 곱하기만 하면 된다.