AMC 10 · 2013 · #12

학년 7 probability

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

probability-basiccombinations-basicregular-pentagon systematic-enumerationcomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$S$ 를 정오각형의 변과 대각선의 집합이라 하자. $S$ 의 원소 중 두 개를 비복원으로 무작위로 선택한다. 선택한 두 선분의 길이가 같을 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}5$

(B)

$\frac{4}9$

(C)

$\frac{1}2$

(D)

$\frac{5}9$

(E)

$\frac{4}5$

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정오각형에는 변 5개와 대각선 5개가 있어, 선분의 집합 S는 모두 10개의 선분으로 이루어진다. 이 10개 중에서 서로 다른 2개를 무작위로 뽑을 때, 뽑힌 두 선분의 길이가 같을 확률을 구하라.

주어진 것: 정오각형이므로 변 5개의 길이는 모두 같다; 정오각형에서는 대각선 5개의 길이도 서로 모두 같다; S는 변 5개와 대각선 5개를 합한 10개의 선분을 모두 포함한다; 서로 다른 두 선분을 무작위로 뽑으며, 모든 쌍이 똑같이 나올 수 있다

구하는 것: 뽑힌 두 선분의 길이가 같을 확률

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #16 관점 바꾸기

10개 선분에서 나오는 모든 쌍이 똑같이 나올 수 있으므로, 확률은 (유리한 쌍)/(전체 쌍)일 뿐이다. 쌍의 수를 세는 것은 '몇 가지 방법'을 세는 일이므로 조합으로 센다. 오각형을 먼저 그려 보면 길이가 정확히 5개씩 두 무리로 나뉘는 이유가 보인다. 확인용으로 관점도 바꾼다: 첫 번째 선분을 고정하고 남은 9개 중 몇 개가 그것과 길이가 같은지 센다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 1

5개씩 같은 두 무리

정오각형과 그 안의 선분을 모두 그린다.
정오각형이므로 변 5개는 길이가 모두 같다.
대각선 5개도 서로 길이가 모두 같다(변보다 길다).
따라서 S의 10개 선분은 정확히 두 길이 종류로 나뉜다: 한 길이의 변 5개와 다른 길이의 대각선 5개.

$$|S| = 5 \text{ sides} + 5 \text{ diagonals} = 10$$

💡 정다각형의 대칭성 때문에 변끼리, 대각선끼리 길이가 같아져 길이는 두 종류뿐이다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

전체 쌍의 수 세기

S의 10개에서 순서 없이 2개를 고르는 것은 조합이다.
그 경우의 수는 10개 중 2개를 고르는 수이다.

$$\binom{10}{2} = \dfrac{10 \times 9}{2} = 45$$

💡 순서 없는 모든 쌍을 한 번씩 세는 것이 바로 'n개 중 2개 고르기'다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

길이가 같은 쌍 세기

두 선분의 길이가 같으려면 둘 다 변이거나 둘 다 대각선이어야 한다.
변 5개에서 2개를 고르는 경우가 '5개 중 2개', 대각선 5개에서 2개를 고르는 경우도 '5개 중 2개'이다.
서로 겹치지 않는 두 경우를 더한다.

$$\binom{5}{2} + \binom{5}{2} = 10 + 10 = 20$$

💡 길이가 같은 쌍은 한 길이 무리 안에서만 나오므로 무리별로 세어 더한다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 4

나누어 확률 구하기

확률은 유리한 쌍을 전체 쌍으로 나눈 값이다.
20/45가 되고, 이는 4/9로 약분된다.
따라서 답은 (B)이다.

$$P = \dfrac{20}{45} = \dfrac{4}{9}$$

💡 모든 쌍이 똑같이 나오므로 확률은 그냥 길이가 같은 쌍이 차지하는 비율이다.

[1] #1 4.G.A.2 정오각형과 그 안의 선분을 모두 그린다. 정오각형이므로 변 5개는 길이가 모두 같다. 대각선 5개도 서로 길이가 모두 같다(변보다 길다). 따라

[2] #2 7.SP.C.8 S의 10개에서 순서 없이 2개를 고르는 것은 조합이다. 그 경우의 수는 10개 중 2개를 고르는 수이다.

[3] #2 7.SP.C.8 두 선분의 길이가 같으려면 둘 다 변이거나 둘 다 대각선이어야 한다. 변 5개에서 2개를 고르는 경우가 '5개 중 2개', 대각선 5개에서 2개

[4] #2 7.SP.C.7 확률은 유리한 쌍을 전체 쌍으로 나눈 값이다. 20/45가 되고, 이는 4/9로 약분된다. 따라서 답은 (B)이다.

검토

합리성 확인: 4/9는 1/2보다 조금 작은데, 이는 맞아떨어진다: 첫 번째 선분을 정해 놓으면 남은 9개 중 4개만 그것과 길이가 같고, 9개 중 4개는 절반보다 살짝 아래다. 헷갈리는 오답 (C) 1/2은 남은 것 중 정확히 절반이 같다고 잘못 생각할 때 나온다. 4/9 < 1/2이므로 (C)는 함정이고 (B)가 맞다.

대안 접근: 관점을 바꾸면 조합 없이 풀 수 있다: 첫 번째 선분을 아무거나 고른다. 그것이 무엇이든 그 길이 무리에는 5개가 있으므로, 남은 9개 중 4개가 같은 길이다. 따라서 확률은 곧바로 4/9이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.G.A.2 Classify two-dimensional figures based on presence of parallel or perpendicular lines (정오각형의 대칭성으로 변 5개가 서로 같고 대각선 5개가 서로 같음을 파악해 길이를 5개씩 두 무리로 나눔)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (조합으로 전체 45개 쌍과 길이가 같은 20개 쌍을 셈)
7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (모든 쌍이 똑같이 나오는 모형을 세우고 유리한 쌍을 전체 쌍으로 나누어 4/9를 얻음)

⭐ 10개의 선분은 5개씩 두 무리로 나뉘므로, 길이가 같으려면 두 선분이 같은 무리에서 나와야 한다 — 그런 쌍을 전체 쌍으로 나누면 4/9가 된다.