AMC 10 · 2013 · #12

학년 7 probability

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

probability-basiccombinations-basicregular-pentagon systematic-enumerationcomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

정오각형에는 변 5개와 대각선 5개가 있어, 선분의 집합 S는 모두 10개의 선분으로 이루어진다. 이 중에서 2개를 비복원으로 무작위로 뽑는다. 뽑힌 두 선분의 길이가 같을 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}5$

(B)

$\frac{4}9$

(C)

$\frac{1}2$

(D)

$\frac{5}9$

(E)

$\frac{4}5$

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

10개 선분에서 나오는 모든 쌍이 똑같이 나올 수 있으므로, 확률은 (유리한 쌍)/(전체 쌍)일 뿐이다. 쌍의 수를 세는 것은 '몇 가지 방법'을 세는 일이므로 조합으로 센다. 오각형을 먼저 그려 보면 길이가 정확히 5개씩 두 무리로 나뉘는 이유가 보인다. 확인용으로 관점도 바꾼다: 첫 번째 선분을 고정하고 남은 9개 중 몇 개가 그것과 길이가 같은지 센다.

1STEP 1

5개씩 같은 두 무리

오각형을 그려 보면 변 5개끼리, 대각선 5개끼리 길이가 같다. 즉 S는 5개씩 두 무리로 나뉜다.

|S| = 5 sides + 5 diagonals = 10

2STEP 2

전체 쌍의 수 세기

순서를 따지지 않으므로 10개에서 2개를 고르는 전체 쌍은 45가지다.

C(10, 2) = (10 × 9)/2 = 45

3STEP 3

길이가 같은 쌍 세기

길이가 같으려면 둘 다 변이거나 둘 다 대각선이어야 하므로, 두 경우를 더해 20가지다.

C(5, 2) + C(5, 2) = 10 + 10 = 20

4STEP 4

나누어 확률 구하기

유리한 쌍 ÷ 전체 쌍 = $\frac{20}{45}$ 이고, 약분하면 $\frac{4}{9}$ 이다 — 답은 (B).

P = 20/45 = 4/9

정답

4/9

4/9는 1/2보다 조금 작은데, 이는 맞아떨어진다: 첫 번째 선분을 정해 놓으면 남은 9개 중 4개만 그것과 길이가 같고, 9개 중 4개는 절반보다 살짝 아래다. 헷갈리는 오답 (C) 1/2은 남은 것 중 정확히 절반이 같다고 잘못 생각할 때 나온다. 4/9 ＜ 1/2이므로 (C)는 함정이고 (B)가 맞다.

💡핵심 정리

10개의 선분은 5개씩 두 무리로 나뉘므로, 길이가 같으려면 두 선분이 같은 무리에서 나와야 한다 — 그런 쌍을 전체 쌍으로 나누면 4/9가 된다.

5개씩 같은 두 무리
전체 쌍의 수 세기
길이가 같은 쌍 세기
나누어 확률 구하기

5개씩 같은 두 무리

전체 쌍의 수 세기

길이가 같은 쌍 세기

나누어 확률 구하기

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