AMC 10 · 2011 · #21

학년 7 probability

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

conditional-probabilitycombinations-basic caseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

무게가 같은 위조 동전 두 개가 서로 똑같은 진짜 동전 $8$ 개와 섞여 있다. 위조 동전 각각의 무게는 진짜 동전 각각의 무게와 다르다. $10$ 개의 동전 중에서 두 개를 비복원으로 무작위로 뽑는다. 이어서 남은 $8$ 개의 동전 중에서 다시 두 개를 비복원으로 무작위로 뽑는다. 첫 번째로 뽑은 두 동전의 무게 합이 두 번째로 뽑은 두 동전의 무게 합과 같았다. 뽑은 $4$ 개의 동전이 모두 진짜일 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{7}{11}$

(B)

$\frac{9}{13}$

(C)

$\frac{11}{15}$

(D)

$\frac{15}{19}$

(E)

$\frac{15}{16}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 동전이 모두 $10$개 있다. 그중 $8$개는 무게가 서로 같은 진짜 동전이고, $2$개는 서로는 무게가 같지만 진짜 동전과는 무게가 다른 가짜 동전이다. 먼저 $10$개에서 $2$개짜리 첫 번째 쌍을 뽑고, 남은 $8$개에서 $2$개짜리 두 번째 쌍을 뽑는다. 이때 두 쌍의 무게가 정확히 같았다고 한다. 이 조건이 주어졌을 때, 뽑힌 $4$개가 모두 진짜 동전일 확률을 구하라.

주어진 것: 진짜 동전 $8$개는 무게가 모두 같다; 가짜 동전 $2$개는 서로 무게가 같고, 그 값은 진짜 동전과 다르다; 먼저 $10$개 전체에서 한 쌍을 뽑고, 남은 $8$개에서 두 번째 쌍을 뽑는다; 첫 번째 쌍과 두 번째 쌍의 무게 합이 같다; 보기: (A) $\frac{7}{11}$, (B) $\frac{9}{13}$, (C) $\frac{11}{15}$, (D) $\frac{15}{19}$, (E) $\frac{15}{16}$

구하는 것: 두 쌍이 균형을 이룬다는 조건 아래에서, 뽑힌 $4$개가 모두 진짜일 확률

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #16 관점 바꾸기

이 문제의 핵심은 어떤 쌍끼리 균형을 이룰 수 있는지 가려낸 뒤 그 개수를 세는 것이다. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 중심이다. 허용되는 모든 경우를 몇 개의 깔끔한 유형으로 나누어 각각 세면 된다. 도구 #4(변수 도입하기)는 진짜 무게를 $g$, 가짜 무게를 $c$로 이름 붙여 세기의 바탕을 마련하고, 그러면 한 쌍의 무게가 $2g$, $g+c$, $2c$ 중 하나뿐임이 드러난다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 '주어졌을 때'라는 말을 바르게 처리한다. 무게가 같다는 진술은 조건이므로, 모든 뽑기로 나누는 것이 아니라 균형을 이루는 뽑기만 세고 그중 모두 진짜인 비율을 묻는다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 7.SP.C.7 단계 1

두 무게에 이름 붙이기

진짜 동전 하나의 무게를 $g$, 가짜 동전 하나의 무게를 $c$라 하고 $g \ne c$이다.
두 동전으로 된 한 쌍은 오직 세 종류뿐이다.
진짜 둘(무게 $2g$), 하나씩(무게 $g+c$), 가짜 둘(무게 $2c$).
$g \ne c$이므로 이 세 합 $2g$, $g+c$, $2c$는 서로 다른 세 수이다.

$$\text{한 쌍의 무게} \in \{\,2g,\ g+c,\ 2c\,\}, \quad g \ne c \Rightarrow \text{셋 모두 다름}$$

💡 무게에 이름을 붙이면 '무게가 같다'는 말이 정확히 비교 가능한 식으로 바뀐다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.7 단계 2

어떤 쌍이 균형을 이루는지 정하기

두 쌍은 무게 합이 같을 때만 균형을 이룬다.
$2g$, $g+c$, $2c$가 모두 다르므로 두 쌍은 같은 종류일 때만 일치한다.
따라서 두 쌍이 모두 진짜 둘(각각 $2g$)이거나, 두 쌍이 모두 진짜 하나·가짜 하나(각각 $g+c$)인 경우뿐이다.
두 쌍이 모두 가짜 둘인 경우는 가짜가 $4$개 필요한데 $2$개뿐이라 불가능하다.
이것이 관점 바꾸기다.
이제부터는 이렇게 균형을 이루는 뽑기만 센다.

$$\text{균형} \iff \text{두 쌍 모두 } 2g \ \ \text{또는} \ \ \text{두 쌍 모두 } g+c$$

💡 서로 다른 세 무게는 자기 자신과 같은 것하고만 비길 수 있으므로, 일치하려면 구성이 똑같아야 한다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

모두 진짜인 균형 뽑기 세기

여기서는 $4$개가 모두 진짜이다.
첫 번째 쌍을 진짜 $8$개에서 고르면 $\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28$가지, 그다음 두 번째 쌍을 남은 진짜 $6$개에서 고르면 $\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15$가지이다.
따라서 모두 진짜인 균형 뽑기는 $28 \times 15 = 420$가지이다.

$$\binom{8}{2}\binom{6}{2} = 28 \times 15 = 420$$

💡 진짜 둘로 된 두 쌍은 항상 $2g=2g$이므로 이런 뽑기는 저절로 균형을 이룬다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

각 쌍에 가짜 하나씩인 균형 뽑기 세기

여기서는 각 쌍에 가짜가 정확히 하나씩 들어가므로 가짜 둘이 한 쌍에 하나씩 모두 쓰인다.
첫 번째 쌍을 만들 때 어느 가짜를 넣을지($2$가지)와 그 짝이 될 진짜($8$가지)를 골라 $2 \times 8 = 16$가지이다.
두 번째 쌍은 남은 가짜($1$가지)와 남은 진짜 $7$개 중 하나($7$가지)를 가져야 한다.
즉 $16 \times 7 = 112$가지이다.

$$(2 \times 8)\times(1 \times 7) = 16 \times 7 = 112$$

💡 가짜를 각 쌍에 하나씩 나누면 두 쌍 모두 $g+c$가 되어 무게가 비긴다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 5

조건부 확률 세우기

균형을 이루는 뽑기는 모두 이 두 경우 중 하나이므로, 균형 뽑기의 총수는 $420 + 112 = 532$이다.
유리한 뽑기, 즉 $4$개가 모두 진짜인 경우는 $420$이다.
구하는 확률은 균형 뽑기 전체 중 유리한 균형 뽑기의 비율이다.

$$P = \dfrac{420}{420+112} = \dfrac{420}{532}$$

💡 균형을 이루지 않는 뽑기는 이미 모두 버렸으므로, 균형 세계 안에서 개수만 비교하면 된다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.B.4 단계 6

분수를 약분하고 결론 내리기

$\frac{420}{532}$를 약분한다.
둘은 공약수 $28$을 가진다.
$420 = 28 \times 15$, $532 = 28 \times 19$이므로 $\frac{420}{532} = \frac{15}{19}$이다.
뽑힌 네 동전이 모두 진짜일 확률은 $\frac{15}{19}$이고, 이는 보기 $(D)$이다.

$$\dfrac{420}{532} = \dfrac{28 \times 15}{28 \times 19} = \dfrac{15}{19}$$

💡 분자와 분모를 최대공약수로 나누면 기약분수가 된다.

[1] #4 7.SP.C.7 진짜 동전 하나의 무게를 $g$, 가짜 동전 하나의 무게를 $c$라 하고 $g \ne c$이다. 두 동전으로 된 한 쌍은 오직 세 종류뿐이다.

[2] #16 7.SP.C.7 두 쌍은 무게 합이 같을 때만 균형을 이룬다. $2g$, $g+c$, $2c$가 모두 다르므로 두 쌍은 같은 종류일 때만 일치한다. 따라서 두

[3] #2 7.SP.C.8 여기서는 $4$개가 모두 진짜이다. 첫 번째 쌍을 진짜 $8$개에서 고르면 $\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28$가지,

[4] #2 7.SP.C.8 여기서는 각 쌍에 가짜가 정확히 하나씩 들어가므로 가짜 둘이 한 쌍에 하나씩 모두 쓰인다. 첫 번째 쌍을 만들 때 어느 가짜를 넣을지($2$가지

[5] #2 7.SP.C.8 균형을 이루는 뽑기는 모두 이 두 경우 중 하나이므로, 균형 뽑기의 총수는 $420 + 112 = 532$이다. 유리한 뽑기, 즉 $4$개가 모

[6] #2 6.NS.B.4 $\frac{420}{532}$를 약분한다. 둘은 공약수 $28$을 가진다. $420 = 28 \times 15$, $532 = 28 \time

검토

합리성 확인: 답 $\frac{15}{19} \approx 0.79$는 꽤 큰 확률인데, 이는 타당하다. 진짜 동전이 가짜보다 압도적으로 많으므로 균형 뽑기의 대부분은 모두 진짜이기 때문이다. 값도 $0$과 $1$ 사이에 정확히 있고, 세기도 일관적이다. 유리한 경우 $420$, 균형 전체 $532$이며 $420+112=532$로 모든 허용 경우가 빠짐없이 맞아떨어진다. 가짜 둘로 된 쌍($2c$)은 진짜 쌍($2g$)과 결코 비길 수 없으므로 그런 뽑기는 잘못 센 것이 아니라 올바르게 제외되었다.

대안 접근: 뽑기를 세는 대신 $10$개 동전을 한 줄로 세워 앞 두 개를 첫 번째 쌍, 다음 두 개를 두 번째 쌍, 나머지를 사용하지 않는 동전으로 본다. 균형은 가짜 둘이 고르지 못하게 놓일 때, 즉 둘 다 한 쌍에 들어가거나 하나는 쌍에 하나는 미사용에 들어갈 때만 깨진다. 그런 경우를 빼면 같은 비율이 남고, 살아남은 경우 중 모두 진짜인 비율은 다시 $\frac{15}{19}$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (한 쌍의 무게를 $2g$, $g+c$, $2c$로 모델링하고 어떤 쌍이 균형을 이룰 수 있는지 추론하기)
7.SP.C.8 Find probabilities of compound events using organized lists, tables, and simulation (균형 뽑기를 경우별로 세고 그 개수로 확률 세우기)
6.NS.B.4 Find greatest common factor and least common multiple of two numbers (공약수 $28$을 이용해 $\frac{420}{532}$을 $\frac{15}{19}$로 약분하기)

⭐ '~라고 주어졌을 때'라는 말이 나오면, 규칙을 깨는 경우는 모두 버리고 살아남은 경우끼리만 비교하면 된다.