AMC 10 · 2011 · #21

학년 7 probability

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

conditional-probabilitycombinations-basic caseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

동전이 모두 10개 있다. 그중 8개는 무게가 서로 같은 진짜 동전이고, 2개는 서로는 무게가 같지만 진짜 동전과는 무게가 다른 가짜 동전이다. 먼저 10개에서 2개짜리 첫 번째 쌍을 뽑고, 남은 8개에서 2개짜리 두 번째 쌍을 뽑는다. 이때 두 쌍의 무게가 정확히 같았다고 한다. 이 조건이 주어졌을 때, 뽑힌 4개가 모두 진짜 동전일 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{7}{11}$

(B)

$\frac{9}{13}$

(C)

$\frac{11}{15}$

(D)

$\frac{15}{19}$

(E)

$\frac{15}{16}$

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

이 문제의 핵심은 어떤 쌍끼리 균형을 이룰 수 있는지 가려낸 뒤 그 개수를 세는 것이다. 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 중심이다. 허용되는 모든 경우를 몇 개의 깔끔한 유형으로 나누어 각각 세면 된다. 도구 #4(변수 도입하기)는 진짜 무게를 g, 가짜 무게를 c로 이름 붙여 세기의 바탕을 마련하고, 그러면 한 쌍의 무게가 2g, g+c, 2c 중 하나뿐임이 드러난다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 '주어졌을 때'라는 말을 바르게 처리한다. 무게가 같다는 진술은 조건이므로, 모든 뽑기로 나누는 것이 아니라 균형을 이루는 뽑기만 세고 그중 모두 진짜인 비율을 묻는다.

1STEP 1

두 무게에 이름 붙이기

진짜를 g, 가짜를 c라 하자(g ≠ c). 한 쌍의 무게는 2g, g+c, 2c 셋 중 하나이고 모두 다르다.

한 쌍의 무게 ∈ { 2g, g+c, 2c }, g ≠ c → 셋 모두 다름

2STEP 2

어떤 쌍이 균형을 이루는지 정하기

무게가 같으려면 구성도 같다. 두 쌍 모두 진짜 둘(2g)이거나 모두 하나씩(g+c)이다. 둘 다 가짜 둘은 불가능하다.

균형 ⇔ 두 쌍 모두 2g 또는 두 쌍 모두 g+c

3STEP 3

모두 진짜인 균형 뽑기 세기

넷 다 진짜: 첫 쌍 C(8, 2)=28가지 × 남은 6개에서 C(6, 2)=15가지 = 420가지.

C(8, 2)C(6, 2) = 28 × 15 = 420

4STEP 4

각 쌍에 가짜 하나씩인 균형 뽑기 세기

각 쌍에 가짜 하나씩: 첫 쌍 2 × 8 = 16가지, 둘째 쌍 1 × 7 = 7가지 → 112가지.

(2 × 8)×(1 × 7) = 16 × 7 = 112

5STEP 5

조건부 확률 세우기

균형 뽑기는 420 + 112 = 532가지이고 그중 유리한 경우가 420이므로 확률은 420/532이다.

P = 420/(420+112) = 420/532

6STEP 6

분수를 약분하고 결론 내리기

둘 다 28로 나누어 420 = 28 × 15, 532 = 28 × 19이므로 확률은 15/19, 즉 (D)이다.

420/532 = (28 × 15)/(28 × 19) = 15/19

정답

15/19

답 15/19 ≈ 0.79는 꽤 큰 확률인데, 이는 타당하다. 진짜 동전이 가짜보다 압도적으로 많으므로 균형 뽑기의 대부분은 모두 진짜이기 때문이다. 값도 0과 1 사이에 정확히 있고, 세기도 일관적이다. 유리한 경우 420, 균형 전체 532이며 420+112=532로 모든 허용 경우가 빠짐없이 맞아떨어진다. 가짜 둘로 된 쌍(2c)은 진짜 쌍(2g)과 결코 비길 수 없으므로 그런 뽑기는 잘못 센 것이 아니라 올바르게 제외되었다.

💡핵심 정리

'~라고 주어졌을 때'라는 말이 나오면, 규칙을 깨는 경우는 모두 버리고 살아남은 경우끼리만 비교하면 된다.

두 무게에 이름 붙이기
어떤 쌍이 균형을 이루는지 정하기
모두 진짜인 균형 뽑기 세기
각 쌍에 가짜 하나씩인 균형 뽑기 세기
조건부 확률 세우기
분수를 약분하고 결론 내리기