AMC 10 · 2013 · #18

학년 6 counting
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
digit-sumplace-valuesystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: digit-sumplace-value
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 네 자리 수가 일의 자리 숫자가 나머지 세 자리 숫자의 합과 같은 특별한 성질을 가진다고 하자(예: 2013은 2+0+1=3이라 성립한다). 대상은 1000보다 크고 2013보다 작은 정수이다. 이 중 이 성질을 가진 수는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
33
(B)
34
(C)
45
(D)
46
(E)
58

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

네 자리 숫자에 이름을 붙여 성질을 깔끔한 식 하나로 바꾸고, 일의 자리가 최대 9라는 점을 이용해 나머지 숫자들의 크기 한계로 만든다. 천의 자리는 1 또는 2뿐이므로 두 개의 작은 문제로 나누어 각각 빠짐없이 센다. 천의 자리가 1일 때는 합이 충분히 작은 숫자 쌍을 세면 되고, 천의 자리가 2일 때는 2000-2012만 범위에 들어오므로 그것만 확인하면 된다.

1STEP 1

네 자리 숫자에 이름 붙이기

네 자리를 a, b, c, d로 두면 규칙은 d = a + b + c이고, 1001부터 2012까지이므로 a는 1 또는 2다.

abcd, d = a + b + c, a ∈ {1, 2}
2STEP 2

일의 자리가 합을 제한한다

한 자리 숫자는 최대 9이므로, d = a + b + c에서 나머지 세 숫자의 합은 9 이하여야 한다.

d ≤ 9 → a + b + c ≤ 9
3STEP 3

a = 1인 경우 세기

a = 1이면 b + c가 8 이하이고, 쌍을 합의 값으로 묶어 세면 1 + 2 + ... + 9 = 45개다.

Σ_s=0⁸(s+1) = 1+2+…+9 = 45
4STEP 4

a = 2인 경우 세기

a = 2면 범위가 2000부터 2012까지뿐이고 d = 2 + c이므로, 확인해 보면 2002 하나만 남는다.

2000-2012: d = 2 + c → 2002만
5STEP 5

두 경우 더하기

두 경우는 겹치지 않으므로 1000번대 45개에 2000번대 1개를 더해 46개, 답은 (D)다.

45 + 1 = 46
정답
46
1000번대만으로 45개이고, 2000번대가 딱 하나(2002) 더해져 46이 되는데, 이는 보기 (D)와 맞는다. 보기 (C) 45는 유일한 2002를 빠뜨린 사람을 위한 함정이다. 2013 자체는 2013보다 작아야 한다는 조건 때문에 제외되므로 세지 않는다. 45 = 1+2+...+9라는 것도 말이 된다: 백의 자리가 8에서 0으로 내려가면서 매번 유효한 십의 자리가 하나씩 늘어나기 때문이다.
💡핵심 정리

일의 자리는 최대 9이므로 나머지 세 자리는 합이 9 이하여야 한다. 1000번대에서 그런 숫자 쌍(45개)을 세고, 2000번대의 유일한 수 2002를 더하면 46이 된다.

  • 네 자리 숫자에 이름 붙이기
  • 일의 자리가 합을 제한한다
  • a = 1인 경우 세기
  • a = 2인 경우 세기
  • 두 경우 더하기

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