AMC 10 · 2013 · #18

학년 6 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-sumplace-valuesystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: digit-sumplace-value

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$2013$ 은 일의 자리 숫자가 나머지 자리 숫자들의 합과 같다는 성질을 가진다. 즉 $2+0+1=3$ 이다. $1000$ 보다 크고 $2013$ 보다 작은 정수 중 이 성질을 가지는 것은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 네 자리 수는 일의 자리 숫자가 나머지 세 자리 숫자의 합과 같은 특별한 성질을 가진다(예: 2013은 2+0+1=3이라 성립한다). 1000보다 크고 2013보다 작은 정수 중 이 성질을 가진 수가 몇 개인지 세어라.

주어진 것: 성질: 일의 자리 숫자 = (천의 자리) + (백의 자리) + (십의 자리); 수는 1000보다 크고 2013보다 작아야 하므로 1001부터 2012까지이다; 각 자리에는 0부터 9까지의 한 자리 숫자가 들어간다

구하는 것: 1001부터 2012까지 중 일의 자리 = 나머지 세 자리의 합을 만족하는 수의 개수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기

네 자리 숫자에 이름을 붙여 성질을 깔끔한 식 하나로 바꾸고, 일의 자리가 최대 9라는 점을 이용해 나머지 숫자들의 크기 한계로 만든다. 천의 자리는 1 또는 2뿐이므로 두 개의 작은 문제로 나누어 각각 빠짐없이 센다. 천의 자리가 1일 때는 합이 충분히 작은 숫자 쌍을 세면 되고, 천의 자리가 2일 때는 2000-2012만 범위에 들어오므로 그것만 확인하면 된다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 4.NBT.A.2 단계 1

네 자리 숫자에 이름 붙이기

수를 천의 자리 a, 백의 자리 b, 십의 자리 c, 일의 자리 d로 쓴다.
성질은 일의 자리가 나머지 세 자리의 합과 같다는 것이므로 d = a + b + c이다.
수가 1001부터 2012까지이므로 천의 자리 a는 1 또는 2이다.

$$\overline{abcd},\quad d = a + b + c,\quad a \in \{1, 2\}$$

💡 각 자리에 글자를 하나씩 주면 말로 된 숫자 규칙이 다룰 수 있는 식 하나로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.8 단계 2

일의 자리가 합을 제한한다

일의 자리 d는 한 자리 숫자이므로 최대 9이다.
d = a + b + c이므로 나머지 세 자리의 합도 최대 9이다.
이것이 핵심 한계다: a + b + c <= 9.

$$d \le 9 \;\Rightarrow\; a + b + c \le 9$$

💡 한 자리 숫자는 9를 넘을 수 없으므로 나머지 세 숫자의 합은 9 이하여야 한다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.5 단계 3

a = 1인 경우 세기

천의 자리 a = 1(수 1001부터 1999)이면 한계는 1 + b + c <= 9, 즉 b + c <= 8이 된다.
b + c <= 8을 만족하는 숫자 쌍 (b, c)를 센다.
합 s = b + c의 값으로 묶으면 s = 0이면 1쌍, s = 1이면 2쌍, ...
s = 8이면 9쌍이다.
이를 더하면 1 + 2 + ...
+ 9 = 45이다.
각 쌍은 d = 1 + b + c를 정하므로 정확히 하나의 유효한 수를 만들고, 그 수는 모두 1001부터 1999 사이에 있다.

$$\sum_{s=0}^{8}(s+1) = 1+2+\cdots+9 = 45$$

💡 쌍을 합의 값으로 정렬하면 세는 일이 깔끔한 삼각수 덧셈으로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.5 단계 4

a = 2인 경우 세기

천의 자리 a = 2이면 수는 2013보다 작아야 하므로 2000부터 2012 중 하나다.
여기서는 백의 자리 b = 0이고, 성질은 d = 2 + 0 + c = 2 + c를 요구한다.
2000-2009에서는 십의 자리 c = 0이라 d = 2가 필요하고, 이는 2002가 된다(유효).
2010-2012에서는 c = 1이라 d = 3이 필요하지만 이 범위에서 일의 자리는 2까지만 가므로 되는 것이 없다.
따라서 이 경우에서는 딱 1개, 2002가 나온다.

2000\text{-}2012:\; d = 2 + c \;\Rightarrow\; 2002 \text{ 만}

💡 2000번대는 2012까지밖에 못 가므로 규칙을 만족하는 것은 2002 하나뿐이다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.5 단계 5

두 경우 더하기

두 작은 문제의 개수를 합친다: 1000번대에서 45개, 2000번대에서 1개다.
따라서 45 + 1 = 46개의 수가 이 성질을 가진다.
그러므로 답은 (D)이다.

$$45 + 1 = 46$$

💡 두 경우는 서로 겹치지 않으므로 전체는 두 개수를 더한 값이다.

[1] #4 4.NBT.A.2 수를 천의 자리 a, 백의 자리 b, 십의 자리 c, 일의 자리 d로 쓴다. 성질은 일의 자리가 나머지 세 자리의 합과 같다는 것이므로 d =

[2] #4 6.EE.B.8 일의 자리 d는 한 자리 숫자이므로 최대 9이다. d = a + b + c이므로 나머지 세 자리의 합도 최대 9이다. 이것이 핵심 한계다: a

[3] #2 6.EE.B.5 천의 자리 a = 1(수 1001부터 1999)이면 한계는 1 + b + c <= 9, 즉 b + c <= 8이 된다. b + c <= 8을 만

[4] #7 6.EE.B.5 천의 자리 a = 2이면 수는 2013보다 작아야 하므로 2000부터 2012 중 하나다. 여기서는 백의 자리 b = 0이고, 성질은 d = 2

[5] #2 6.EE.B.5 두 작은 문제의 개수를 합친다: 1000번대에서 45개, 2000번대에서 1개다. 따라서 45 + 1 = 46개의 수가 이 성질을 가진다. 그러

검토

합리성 확인: 1000번대만으로 45개이고, 2000번대가 딱 하나(2002) 더해져 46이 되는데, 이는 보기 (D)와 맞는다. 보기 (C) 45는 유일한 2002를 빠뜨린 사람을 위한 함정이다. 2013 자체는 2013보다 작아야 한다는 조건 때문에 제외되므로 세지 않는다. 45 = 1+2+...+9라는 것도 말이 된다: 백의 자리가 8에서 0으로 내려가면서 매번 유효한 십의 자리가 하나씩 늘어나기 때문이다.

대안 접근: 1000번대를 합 대신 패턴으로 세도 된다: 백의 자리 b를 고정하면 c는 c <= 8 - b인 아무 숫자여도 되므로 9 - b가지가 된다. b가 8, 7, ..., 0으로 갈 때 가짓수는 1, 2, ..., 9로 역시 합이 45이다. 여기에 유일한 수 2002를 더하면 46이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.A.2 Read and write multi-digit whole numbers and compare using symbols (네 자리 수를 천, 백, 십, 일의 자리로 나누고 자릿값으로 1001부터 2012까지의 범위를 읽음)
6.EE.B.8 Write an inequality of the form x > c or x < c and graph on a number line ('일의 자리가 한 자리 숫자'라는 사실을 크기 한계 a + b + c <= 9, 이어서 b + c <= 8로 바꿈)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values (b + c <= 8을 만족하는 숫자 쌍 (b, c)를 세고, 2000-2012 중 d = 2 + c를 만족하는 수를 확인함)

⭐ 일의 자리는 최대 9이므로 나머지 세 자리는 합이 9 이하여야 한다. 1000번대에서 그런 숫자 쌍(45개)을 세고, 2000번대의 유일한 수 2002를 더하면 46이 된다.