AMC 10 · 2013 · #20
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AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
'가장 작게'라는 말은 곧장 극단의 원리를 가리킨다. 여전히 성립하는 가장 작은 a₁과 가장 작은 b₁을 쫓아가면 된다. 열쇠는 소인수다. 팩토리얼 n!은 n이 소수 p까지 올라가야만 그 소수 p를 담으므로, 2013 안의 가장 큰 소수가 a₁을 정하고, 딸려 오는 가장 큰 불필요한 소수가 b₁을 정한다. 문제를 'a₁은 얼마나 작을 수 있나'와 'b₁은 얼마나 작을 수 있나'로 쪼갠 뒤, 실제 표현 하나를 만들어 그 최솟값에 도달함을 확인한다.
2013을 소인수분해하기
2013 = 3 x 671, 671 = 11 x 61이므로 2013 = 3 x 11 x 61, 가장 큰 소인수는 61이다.
소수로 쪼개면 팩토리얼들이 어떤 재료를 공급해야 하는지 정확히 드러난다.
4.OA.B.4Identify Subproblems소수 61이 a₁ = 61을 강제한다
팩토리얼 n!이 소수 61을 담으려면 n이 61 이상이어야 하므로, 가능한 가장 작은 a₁은 61이다.
소수는 수가 그 소수까지 올라가야만 비로소 팩토리얼 안으로 들어온다.
소수는 세는 수가 그 소수에 이르러야만 계승 안에 들어올 수 있다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 소수는 어딘가에 실제 인수로 나타나야 한다.
▸ 왜?
그 아래에서는 어느 인수로 나누어도 나머지가 남으므로, 그 소수가 아예 없다.
61!이 59를 끌고 와 b₁ = 59를 강제한다
61!은 2013에 없는 소수 59도 품으니 분모가 그것을 지워야 한다. 곧 b₁ = 59, a₁ + b₁ = 120이 하한이다.
분자의 팩토리얼이 끌고 온 불필요한 소수는 그것을 지우려면 분모의 팩토리얼로 맞받아야 한다.
6.NS.B.4Extreme Principle120에 도달하는 표현 만들기
그 하한은 실제로 닿는다. (61! 11! 3!)/(59! 10! 5!) = 3660 x 11/20 = 2013이고 두 줄 모두 순서에 맞는다.
실제로 성립하는 표현 하나를 보이면 가장 작은 a₁과 b₁이 바람이 아니라 진짜 가능함이 증명된다.
5.OA.A.1Guess And Check차를 구하기
최솟값에서 a₁ = 61, b₁ = 59로 정해지므로 |a₁ - b₁| = |61 - 59| = 2, 즉 (B)다.
59가 61 바로 아래의 소수이기 때문에 두 기준점은 딱 2만큼 떨어진다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems수 안의 가장 큰 소수가 위쪽 팩토리얼을 정하고, 그것이 딸려 오게 하는 가장 큰 불필요한 소수가 아래쪽 팩토리얼을 정한다.
- 2013을 소인수분해하기
- 소수 61이 a₁ = 61을 강제한다
- 61!이 59를 끌고 와 b₁ = 59를 강제한다
- 120에 도달하는 표현 만들기
- 차를 구하기