AMC 10 · 2013 · #23

학년 8 geometry-2d

coordinate-geometrypythagorean-theoreminteger-pythagorean-triples convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremcoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

삼각형

ABC

에서

AB=13

BC=14

CA=15

이다. 서로 다른 점

D

E

F

가 각각 선분

BC

CA

DE

위에 있고,

AD \perp BC

DE \perp AC

AF \perp BF

를 만족한다. 선분

DF

의 길이를

\frac{m}{n}

으로 나타낼 때,

m

과

n

은 서로소인 양의 정수이다.

m+n

은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

수직 조건이 세 번 겹쳐 있으면 '좌표를 잡아라'는 신호다. 도구 #1(그림 그리기): 13-14-15 삼각형을 그리고 수선 AD를 내린 뒤 도형을 좌표축에 고정하면 모든 '수직'이 기울기 조건으로 바뀐다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 먼저 수선으로 D와 A를 정하고, 다음에 직선 DE를 찾고, 그 위에서 F를 찾는다. 도구 #4(변수 도입하기): t=DF로 놓고 직선 DE를 따라 D에서 거리 t만큼 이동한다. 도구 #13(대수로 바꾸기): F에서의 직각(AF ⊥ BF)이 t에 대한 하나의 방정식이 된다.

1STEP 1

수선으로 밑변을 나누기

수선을 내리면 $x^2+h^2=13^2$ , $(14-x)^2+h^2=15^2$ 에서 $BD=5$ , $DC=9$ , $AD=12$ .

BD=5, DC=9, AD=12

2STEP 2

도형을 좌표축에 올리기

$D$ 를 원점, $BC$ 를 $x$ 축에 놓으면 $B=(-5,0)$ , $C=(9,0)$ , $A=(0,12)$ — 수선이 $y$ 축이 된다.

D=(0,0), B=(-5,0), C=(9,0), A=(0,12)

3STEP 3

직선 DE의 방향 찾기

$AC$ 의 기울기가 $-\frac{4}{3}$ 이므로 $DE \perp AC$ 의 기울기는 음의 역수, 즉 $DE$ 는 $y=\frac{3}{4}x$ .

기울기(AC)=-4/3 → 기울기(DE)=3/4, DE: y=3/4x

4STEP 4

DE를 따라 거리 t만큼 이동

$t=DF$ 로 두고 $D$ 에서 단위벡터 $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ 로 $t$ 만큼 가면 $F=(\frac{4t}{5},\frac{3t}{5})$ .

F=(4t/5, 3t/5), DF=t

5STEP 5

F에서의 직각을 방정식으로 바꾸기

$AF \perp BF$ 는 $FA \cdot FB=0$ , 즉 $\frac{4t}{5}(\frac{4t}{5}+5)+(\frac{3t}{5}-12)\frac{3t}{5}=0$ 이고 정리하면 $t^2-\frac{16t}{5}=0$ .

FA·FB=0 → t²-16t/5=0

6STEP 6

풀고 올바른 점 고르기

$t(t-\frac{16}{5})=0$ 에서 $t=0$ 은 점 $D$ 라 버리고 $DF=\frac{16}{5}$ , 이는 $DE=\frac{36}{5}$ 안이므로 $m+n=21$ .

t(t-16/5)=0 → DF=16/5, m+n=16+5=21 → (B)

정답

두 근 t=0과 t=16/5은 명확한 의미가 있다: D와 F 모두 AB를 지름으로 하는 원 위에 있다(그 원 위의 모든 점은 AB를 90°로 본다). 직선 DE는 그 원을 정확히 이 두 점에서 자른다. D를 버리면 F는 D에서 거리 16/5=3.2에 남고, 이는 DE=36/5=7.2 안에 충분히 들어가므로 F는 요구대로 선분 위에 있다. 분수 16/5은 이미 기약분수이므로 m+n=21 — 선택지에 있는 답 (B)이다.

💡핵심 정리

13-14-15 삼각형을 좌표축에 고정하면 모든 '수직'이 기울기가 된다. 직선 DE를 따라 거리 t만큼 올라가 F에 이르면 F에서의 직각이 방정식 t²-16/5t=0 하나를 준다. 점 D인 근을 버리고 DF=16/5을 남기면 m+n=21 — 선택지 (B). 어려운 기하 문제처럼 보이지만 좌표가 이를 8학년 대수로 바꿔 준다.

수선으로 밑변을 나누기
도형을 좌표축에 올리기
직선 DE의 방향 찾기
DE를 따라 거리 t만큼 이동
F에서의 직각을 방정식으로 바꾸기
풀고 올바른 점 고르기