AMC 10 · 2013 · #23

학년 8 geometry-2d

coordinate-geometrypythagorean-theoreminteger-pythagorean-triples convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremcoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

삼각형 $ABC$ 에서 $AB=13$ , $BC=14$ , $CA=15$ 이다. 서로 다른 점 $D$ , $E$ , $F$ 가 각각 선분 $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{DE}$ 위에 있고, $\overline{AD}\perp\overline{BC}$ , $\overline{DE}\perp\overline{AC}$ , $\overline{AF}\perp\overline{BF}$ 를 만족한다. 선분 $\overline{DF}$ 의 길이는 $\frac{m}{n}$ 으로 나타낼 수 있는데, 여기서 $m$ 과 $n$ 은 서로소인 양의 정수이다. $m+n$ 은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $AB=13$, $BC=14$, $CA=15$인 삼각형 $ABC$에서, 점 $D$는 $A$에서 $BC$에 내린 수선의 발이고, 점 $E$는 $D$에서 $AC$에 내린 수선의 발이며, $F$는 $\overline{AF}\perp\overline{BF}$를 만족하며 선분 $\overline{DE}$ 위에 있다. $DF=\frac{m}{n}$을 기약분수로 나타낼 때 $m+n$을 구하라.

주어진 것: $AB=13$, $BC=14$, $CA=15$ (전형적인 $13$-$14$-$15$ 삼각형); $D$는 $\overline{BC}$ 위의 점이며 $\overline{AD}\perp\overline{BC}$ (수선의 발); $E$는 $\overline{CA}$ 위의 점이며 $\overline{DE}\perp\overline{AC}$; $F$는 $\overline{DE}$ 위의 점이며 $\overline{AF}\perp\overline{BF}$; 선택지: (A) $18$, (B) $21$, (C) $24$, (D) $27$, (E) $30$

구하는 것: 길이 $DF=\frac{m}{n}$, 그리고 $m+n$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

수직 조건이 세 번 겹쳐 있으면 '좌표를 잡아라'는 신호다. 도구 #1(그림 그리기): $13$-$14$-$15$ 삼각형을 그리고 수선 $AD$를 내린 뒤 도형을 좌표축에 고정하면 모든 '수직'이 기울기 조건으로 바뀐다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 먼저 수선으로 $D$와 $A$를 정하고, 다음에 직선 $DE$를 찾고, 그 위에서 $F$를 찾는다. 도구 #4(변수 도입하기): $t=DF$로 놓고 직선 $DE$를 따라 $D$에서 거리 $t$만큼 이동한다. 도구 #13(대수로 바꾸기): $F$에서의 직각($\overline{AF}\perp\overline{BF}$)이 $t$에 대한 하나의 방정식이 된다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 1

수선으로 밑변을 나누기

$13$-$14$-$15$ 삼각형은 $BC$에 내린 수선을 따라 깔끔하게 나뉜다.
$AD=h$, $BD=x$라 하면 $x^2+h^2=13^2$이고 $(14-x)^2+h^2=15^2$이다.
두 식을 빼면 $28x-196=169-225$이므로 $x=5$, 따라서 $h=\sqrt{169-25}=12$이다.
그러므로 $BD=5$, $DC=9$, $AD=12$이다.
(변 $12$를 공유하는 $5$-$12$-$13$과 $9$-$12$-$15$ 직각삼각형을 알아봐도 된다.)

$$BD=5,\quad DC=9,\quad AD=12$$

💡 수선은 같은 높이를 공유하는 두 직각삼각형으로 큰 삼각형을 쪼개므로, 피타고라스로 모든 길이가 정해진다.

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 2

도형을 좌표축에 올리기

$D$를 원점에 두고 $BC$를 $x$축에 놓는다.
$BD=5$, $DC=9$이므로 $B=(-5,0)$, $C=(9,0)$이다.
$\overline{AD}\perp\overline{BC}$이고 $AD=12$이므로 $A=(0,12)$이다.
이렇게 하면 수선이 $y$축이 되어 수직 조건들이 깔끔한 기울기 관계로 바뀐다.

$$D=(0,0),\; B=(-5,0),\; C=(9,0),\; A=(0,12)$$

💡 직각을 원점에 고정하면 문제 속 모든 '수직'이 곧바로 읽어낼 수 있는 기울기로 드러난다.

#1 그림 그리기 8.EE.B.6 단계 3

직선 DE의 방향 찾기

직선 $AC$는 $A=(0,12)$에서 $C=(9,0)$으로 이어지므로 기울기는 $\frac{0-12}{9-0}=-\frac{4}{3}$이다.
$\overline{DE}\perp\overline{AC}$이므로 직선 $DE$의 기울기는 음의 역수인 $\frac{3}{4}$이고, $D=(0,0)$을 지나므로 $DE$는 직선 $y=\frac{3}{4}x$이다.
$\sqrt{4^2+3^2}=5$이므로 이 직선을 따르는 편리한 단위 이동은 $\left(\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\right)$이다.

$$\text{기울기}(AC)=-\tfrac{4}{3}\;\Rightarrow\;\text{기울기}(DE)=\tfrac{3}{4},\quad DE:\;y=\tfrac{3}{4}x$$

💡 수직인 두 직선의 기울기는 곱이 $-1$이므로, $-\tfrac{4}{3}$을 뒤집고 부호를 바꾸면 $F$가 $D$에서 나아갈 방향이 나온다.

#4 변수 도입하기 8.G.B.8 단계 4

DE를 따라 거리 t만큼 이동

$t=DF$로 놓는다.
$D=(0,0)$에서 출발해 단위 방향 $\left(\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\right)$을 따라 거리 $t$만큼 이동하면 $F=\left(\tfrac{4t}{5},\tfrac{3t}{5}\right)$에 도달한다.
$\sqrt{(4t/5)^2+(3t/5)^2}=\tfrac{t}{5}\sqrt{16+9}=t$이므로 이것은 실제로 $D$에서 거리 $t$이다.

$$F=\left(\tfrac{4t}{5},\;\tfrac{3t}{5}\right),\qquad DF=t$$

💡 $(4,3)$의 길이가 $5$이므로 $t/5$배 하면 정확히 $t$만큼 움직이고, 따라서 변수 $t$가 곧 우리가 구하려는 거리다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 5

F에서의 직각을 방정식으로 바꾸기

$\overline{AF}\perp\overline{BF}$ 조건은 두 변 $\vec{FA}$와 $\vec{FB}$가 직각으로 만난다는 뜻이므로 두 기울기의 곱이 $-1$이다(동치로 $\vec{FA}\cdot\vec{FB}=0$).
$A=(0,12)$, $B=(-5,0)$을 대입하면 $\left(\tfrac{4t}{5}-0\right)\left(\tfrac{4t}{5}+5\right)+\left(\tfrac{3t}{5}-12\right)\left(\tfrac{3t}{5}-0\right)=0$이다.
전개하면 $\tfrac{16t^2}{25}+4t+\tfrac{9t^2}{25}-\tfrac{36t}{5}=0$이고, $\tfrac{16t^2+9t^2}{25}=t^2$이므로 $t^2-\tfrac{16t}{5}=0$으로 정리된다.

$$\vec{FA}\cdot\vec{FB}=0\;\Rightarrow\;t^2-\tfrac{16t}{5}=0$$

💡 $F$에서의 직각은 두 변이 수직이라는 뜻이고, 이는 곧 내적이 $0$이라는 것 — 미지수 $t$ 하나짜리 깔끔한 방정식이 된다.

#4 변수 도입하기 6.NS.B.4 단계 6

풀고 올바른 점 고르기

인수분해하면 $t\left(t-\tfrac{16}{5}\right)=0$이므로 $t=0$ 또는 $t=\tfrac{16}{5}$이다.
근 $t=0$은 점 $D$ 자신이다(실제로 $\overline{AD}\perp\overline{BC}$이므로 $\angle ADB=90^\circ$, 즉 $D$도 $AB$를 직각으로 본다) — 그러나 $F$는 $D$와 달라야 한다.
또 $DE=\tfrac{36}{5}=7.2>\tfrac{16}{5}=3.2$이므로 $F$는 진짜로 선분 $\overline{DE}$ 위에 있다.
따라서 $DF=\tfrac{16}{5}$이다.
$\gcd(16,5)=1$이므로 $m=16$, $n=5$, $m+n=21$, 즉 선택지 (B)이다.

$$t\left(t-\tfrac{16}{5}\right)=0\;\Rightarrow\;DF=\tfrac{16}{5},\quad m+n=16+5=21\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 방정식은 직각이 되는 두 점을 주는데, 금지된 중복점 $D$를 버리고 진짜 $F$만 남긴 뒤 분수를 기약분수로 만들어 $m+n$을 읽는다.

[1] #7 8.G.B.7 $13$-$14$-$15$ 삼각형은 $BC$에 내린 수선을 따라 깔끔하게 나뉜다. $AD=h$, $BD=x$라 하면 $x^2+h^2=13^2$이

[2] #1 5.G.A.2 $D$를 원점에 두고 $BC$를 $x$축에 놓는다. $BD=5$, $DC=9$이므로 $B=(-5,0)$, $C=(9,0)$이다. $\overli

[3] #1 8.EE.B.6 직선 $AC$는 $A=(0,12)$에서 $C=(9,0)$으로 이어지므로 기울기는 $\frac{0-12}{9-0}=-\frac{4}{3}$이다.

[4] #4 8.G.B.8 $t=DF$로 놓는다. $D=(0,0)$에서 출발해 단위 방향 $\left(\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\right)$을 따라

[5] #13 8.EE.C.7 $\overline{AF}\perp\overline{BF}$ 조건은 두 변 $\vec{FA}$와 $\vec{FB}$가 직각으로 만난다는 뜻이므로

[6] #4 6.NS.B.4 인수분해하면 $t\left(t-\tfrac{16}{5}\right)=0$이므로 $t=0$ 또는 $t=\tfrac{16}{5}$이다. 근 $t=0

검토

합리성 확인: 두 근 $t=0$과 $t=\tfrac{16}{5}$은 명확한 의미가 있다: $D$와 $F$ 모두 $AB$를 지름으로 하는 원 위에 있다(그 원 위의 모든 점은 $AB$를 $90^\circ$로 본다). 직선 $DE$는 그 원을 정확히 이 두 점에서 자른다. $D$를 버리면 $F$는 $D$에서 거리 $\tfrac{16}{5}=3.2$에 남고, 이는 $DE=\tfrac{36}{5}=7.2$ 안에 충분히 들어가므로 $F$는 요구대로 선분 위에 있다. 분수 $\tfrac{16}{5}$은 이미 기약분수이므로 $m+n=21$ — 선택지에 있는 답 (B)이다.

대안 접근: 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)과 순수 원 기하: $\angle ADB=\angle AFB=90^\circ$이므로 네 점 $A,F,D,B$는 $AB$를 지름으로 하는 원 위에 있다(공원점). $DF$를 현으로 보고 닮은 직각삼각형들을 쓰거나 $ADBF$에 프톨레마이오스 정리를 적용하면 좌표 없이도 같은 $DF=\tfrac{16}{5}$을 얻는다 — 다만 좌표 방법은 겹겹의 수직 조건을 하나의 짧은 방정식으로 바꿔 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles ($13$-$14$-$15$ 삼각형에서 $BD=5$, $DC=9$, 수선 $AD=12$를 구하는 데 사용.)
5.G.A.2 Represent real-world and mathematical problems by graphing points (수선을 $y$축에 두고 $D$, $B$, $C$, $A$를 좌표축에 배치하는 데 사용.)
8.EE.B.6 Use similar triangles to explain why the slope is the same between any two points ($AC$의 기울기 $-\tfrac{4}{3}$과 직선 $DE$의 수직 기울기 $\tfrac{3}{4}$을 얻는 데 사용.)
8.G.B.8 Apply the Pythagorean theorem to find distance between two points in a coordinate system ($(4,3)$을 따라 $t/5$배 이동하면 정확히 거리 $t$가 되어 $DF=t$임을 확인하는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (내적을 $0$으로 놓고 $t^2-\tfrac{16t}{5}=0$을 풀어 $t$를 구하는 데 사용.)
6.NS.B.4 Find greatest common factor and least common multiple of two numbers ($\gcd(16,5)=1$임을 확인해 $\tfrac{16}{5}$이 기약분수이고 $m+n=21$임을 확정하는 데 사용.)

⭐ $13$-$14$-$15$ 삼각형을 좌표축에 고정하면 모든 '수직'이 기울기가 된다. 직선 $DE$를 따라 거리 $t$만큼 올라가 $F$에 이르면 $F$에서의 직각이 방정식 $t^2-\tfrac{16}{5}t=0$ 하나를 준다. 점 $D$인 근을 버리고 $DF=\tfrac{16}{5}$을 남기면 $m+n=21$ — 선택지 (B). 어려운 기하 문제처럼 보이지만 좌표가 이를 8학년 대수로 바꿔 준다.