AMC 10 · 2013 · #24

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

divisor-sumdivisor-countprime-factorization caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-factorizationdivisor-count

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

양의 정수 m 이 정확히 네 개의 양의 약수(1과 m 포함)를 가지고 그 네 약수의 합이 n 이 되는 m 이 존재하면 양의 정수 n 을 "nice" 라고 부릅니다. 2010, 2011, 2012, …, 2019의 열 개 정수 중 nice 한 수가 몇 개인지 셉니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

"nice" 라는 말은 약수 합 조건을 숨기고 있으므로, 첫 수는 소수에 이름을 붙이는 것입니다. 도구 #4(변수 도입하기): m = pq 로 두고 그 약수 합 1 + p + q + pq 를 곱의 형태 (1+p)(1+q)로 바꾸면, 흐릿한 질문 "n 이 nice 한가?" 가 날카로운 판정 "n 을 각각 소수보다 1 큰 두 인수로 쪼갤 수 있는가?" 로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 네 약수 수를 p³과 pq 두 모양으로 먼저 나눕니다. 도구 #3(가능성 지우기)는 홀짝성으로 다섯 개의 홀수를 한 번에 제거합니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 남은 짝수들을 각각의 인수쌍으로 검사합니다.

1STEP 1

네 약수 수의 두 가지 모양

약수가 정확히 넷인 경우는 둘뿐: m = p³이면 1, p, p², p³, m = pq 면 1, p, q, pq.

m = p³ → {1, p, p², p³} 또는 m = pq → {1, p, q, pq}

2STEP 2

약수 합을 인수분해하기

m = pq 의 약수 합 1 + p + q + pq 는 (1+p)(1+q) 로 묶인다 — 두 인수가 모두 소수보다 1 크면 nice.

1 + p + q + pq = (1+p)(1+q)

3STEP 3

세제곱 모양은 넘어가 버린다

p³ 꼴의 약수 합은 p = 11 에서 1464, p = 13 에서 2380 — 2010–2019을 건너뛴다.

1 + 11 + 11² + 11³ = 1464, 1 + 13 + 13² + 13³ = 2380

4STEP 4

홀수는 nice 할 수 없다

소수 하나는 홀수라 (1+p)(1+q)는 짝수 — 홀수 다섯은 탈락, 2010, 2012, 2014, 2016, 2018 만 남는다.

n = (1+p)(1+q)는 짝수 → n ∈ {2010, 2012, 2014, 2016, 2018}

5STEP 5

다섯 짝수 후보 검사

2010, 2012, 2014는 a-1이 334, 66, 502, 52로 합성수, 2018은 2 · 1009 뿐.

2010, 2012, 2014, 2018: a-1, b-1이 모두 소수인 a · b 분해 없음

6STEP 6

2016이 유일한 nice 한 수

2016 = 4 · 504 = (1+3)(1+503), m = 1509의 약수 합이 2016 — 열 중 단 하나, (A).

2016 = 4 · 504 = (1+3)(1+503), 1 + 3 + 503 + 1509 = 2016

정답

개수 1 은 선택지 (A)와 일치합니다. 2016 재확인: m = 1509 = 3 × 503의 약수 1, 3, 503, 1509의 합이 2016이고, 503은 소수(22 이하의 어떤 소수로도 나눠지지 않음)입니다. 홀짝성 필터는 빈틈이 없어 — 모든 nice 한 수는 짝수여야 함 — 다섯 짝수 중 2016만 살아남았는데, 이는 (작은 짝수) × (큰 소수보다 1 큰 수)로 분해되며 두 부분이 모두 소수보다 1 큰 유일한 수이기 때문입니다.

💡핵심 정리

약수가 정확히 네 개인 수는 pq 이고 그 약수 합은 (1+p)(1+q)로 인수분해되니, "nice" 는 결국 n 을 각각 소수보다 1 큰 두 부분으로 쪼갤 수 있다는 뜻 — 2016 = 4 · 504 = (1+3)(1+503)만 되므로 답은 1, 선택지 (A).

네 약수 수의 두 가지 모양
약수 합을 인수분해하기
세제곱 모양은 넘어가 버린다
홀수는 nice 할 수 없다
다섯 짝수 후보 검사
2016이 유일한 nice 한 수