AMC 10 · 2013 · #3

학년 7 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

mean-median-mode-rangelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

어느 $1$ 월의 하루, 네브래스카주 링컨의 최고 기온이 최저 기온보다 $16$ 도 높았고, 최고 기온과 최저 기온의 평균은 $3$ 도였다. 그날 링컨의 최저 기온은 몇 도였는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-13

(B)

-8

(C)

-5

(D)

-3

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어느 1월의 하루, 최고 기온이 최저 기온보다 $16$ 도 높았고, 최고 기온과 최저 기온의 평균이 $3$ 도였습니다. 최저 기온을 구하세요.

주어진 것: 최고 기온은 최저 기온보다 $16$ 도 높음; 최고 기온과 최저 기온의 평균은 $3$ 도; 선택지: (A) $-13$, (B) $-8$, (C) $-5$, (D) $-3$, (E) $11$

구하는 것: 최저 기온 (도 단위)

이해

문제 재정리: 어느 1월의 하루, 최고 기온이 최저 기온보다 $16$ 도 높았고, 최고 기온과 최저 기온의 평균이 $3$ 도였습니다. 최저 기온을 구하세요.

주어진 것: 최고 기온은 최저 기온보다 $16$ 도 높음; 최고 기온과 최저 기온의 평균은 $3$ 도; 선택지: (A) $-13$, (B) $-8$, (C) $-5$, (D) $-3$, (E) $11$

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

미지수는 최저 기온 하나뿐이고 다른 모든 값이 그것으로 표현되므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 최저 기온을 $L$ 로 놓으면 최고 기온을 $L+16$ 으로 쓸 수 있습니다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 “평균이 $3$” 이라는 문장을 하나의 방정식으로 바꿔 풉니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 확인 수단입니다: 나열된 최저 기온 중 최고 기온이 $16$ 더 크고 평균이 $3$ 이 되는 것은 오직 하나뿐입니다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 1

최저 기온을 변수로 놓고 최고 기온 쓰기

최저 기온을 $L$ 로 놓습니다.
최고 기온은 $16$ 도 더 높으므로 $L+16$ 과 같습니다.
이제 두 기온 모두 하나의 미지수 $L$ 로 표현됩니다.

$$\text{최저}=L,\quad \text{최고}=L+16$$

💡 최저 기온에 이름을 붙이면 최고 기온은 그 이름에 $16$ 을 더한 것일 뿐입니다.

#13 대수로 바꾸기 6.SP.A.3 단계 2

평균을 방정식으로 바꾸기

최고와 최저의 평균은 그 합을 $2$ 로 나눈 것입니다.
이를 $3$ 과 같다고 놓으면 $\dfrac{L+(L+16)}{2}=3$ 이 됩니다.
이 한 개의 방정식이 문제 전체를 담습니다.

$$\dfrac{L+(L+16)}{2}=3$$

💡 두 수의 평균은 그 합을 둘이 똑같이 나눠 가진 값일 뿐입니다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 3

방정식 정리하기

분자를 더합니다: $L+(L+16)=2L+16$.
$2$ 로 나누면 $L+8$ 이 됩니다.
그래서 방정식은 $L+8=3$ 이 됩니다.
최고와 최저의 평균은 항상 최저보다 $8$ 만큼 높은데, 최저가 $16$ 도 차이의 절반만큼 가운데보다 아래에 있기 때문입니다.

$$\dfrac{2L+16}{2}=L+8=3$$

💡 차이 $16$ 을 반으로 나누면 평균이 최저보다 정확히 $8$ 도 따뜻함을 알 수 있습니다.

#3 가능성 지우기 7.NS.A.1 단계 4

최저 기온 구하기

양변에서 $8$ 을 뺍니다: $L=3-8$.
$8$ 이 $3$ 보다 크므로 결과는 $0$ 아래로 내려가 $L=-5$ 가 됩니다.
이것이 선택지 (C)입니다.
다른 것을 확인하면: 최저가 $-8$ (B)이면 평균이 $0$ 이 되고, $-3$ (D)이면 평균이 $5$ 가 되므로 오직 $-5$ 만 맞습니다.

$$L=3-8=-5\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 가진 것보다 더 많이 빼면 수는 $0$ 아래로 내려갑니다.

[1] #4 7.EE.B.4 최저 기온을 $L$ 로 놓습니다. 최고 기온은 $16$ 도 더 높으므로 $L+16$ 과 같습니다. 이제 두 기온 모두 하나의 미지수 $L$ 로

[2] #13 6.SP.A.3 최고와 최저의 평균은 그 합을 $2$ 로 나눈 것입니다. 이를 $3$ 과 같다고 놓으면 $\dfrac{L+(L+16)}{2}=3$ 이 됩니다.

[3] #4 7.EE.B.4 분자를 더합니다: $L+(L+16)=2L+16$. $2$ 로 나누면 $L+8$ 이 됩니다. 그래서 방정식은 $L+8=3$ 이 됩니다. 최고와 최

[4] #3 7.NS.A.1 양변에서 $8$ 을 뺍니다: $L=3-8$. $8$ 이 $3$ 보다 크므로 결과는 $0$ 아래로 내려가 $L=-5$ 가 됩니다. 이것이 선택지

검토

합리성 확인: 최저 $-5$ 를 확인합니다: 최고는 $-5+16=11$ 이고 평균은 $\dfrac{-5+11}{2}=\dfrac{6}{2}=3$ 으로 일치합니다. 최고와 최저의 차이도 $11-(-5)=16$ 으로 조건과 맞습니다. 두 조건이 모두 성립하므로 (C)가 정답입니다. 답은 $3$ 보다 낮아야 하므로(최저는 평균보다 춥습니다) (E) $11$ 은 바로 지워집니다.

대안 접근: 가운데 값 아이디어로 대수를 건너뜁니다: 평균은 항상 최저와 최고의 정확히 한가운데에 있습니다. 둘이 $16$ 만큼 떨어져 있으므로 각각은 평균에서 $8$ 만큼 떨어져 있습니다. 최저는 더 추운 쪽이므로 $3$ 보다 $8$ 아래에 있어 $3-8=-5$ 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 방정식과 부등식을 세운다 (최저를 $L$ 로 놓고, 최고를 $L+16$ 으로 쓰며, $L+8=3$ 을 풀어 $L$ 을 구하는 데 사용.)
6.SP.A.3 중심의 측도가 모든 값을 하나의 수로 요약함을 이해한다 (“최고와 최저의 평균이 $3$” 을 $\dfrac{L+(L+16)}{2}=3$ 으로 읽는 데 사용.)
7.NS.A.1 덧셈과 뺄셈의 이해를 유리수까지 확장한다 ($3-8=-5$ 를 계산하는 데 사용하며, 더 큰 수를 빼면 음의 기온이 나옴.)

⭐ 두 수의 평균은 그 둘의 정확히 한가운데에 있으므로, 최저는 평균에서 차이의 절반을 뺀 값입니다.