AMC 10 · 2013 · #6

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

weighted-averagemean-median-mode-range identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

$33$ 명의 $5$ 학년 학생들의 평균 나이는 $11$ 세이다. 그 학생들의 부모 $55$ 명의 평균 나이는 $33$ 세이다. 이 부모들과 $5$ 학년 학생들 전체의 평균 나이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

23.25

(C)

24.75

(D)

26.25

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 5학년 학생 33명의 나이 평균은 11이고, 학부모 55명의 나이 평균은 33이다. 이 88명 전체를 하나로 묶었을 때의 나이 평균을 구하여라.

주어진 것: 5학년 학생 33명, 나이 평균 11; 학부모 55명, 나이 평균 33

구하는 것: 88명 전체를 합친 나이 평균

이해

문제 재정리: 5학년 학생 33명의 나이 평균은 11이고, 학부모 55명의 나이 평균은 33이다. 이 88명 전체를 하나로 묶었을 때의 나이 평균을 구하여라.

주어진 것: 5학년 학생 33명, 나이 평균 11; 학부모 55명, 나이 평균 33

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기

두 그룹을 함께 평균 내려면 먼저 각 그룹의 나이 총합이 필요하다. 그래서 문제를 세 개의 작은 문제로 쪼갠다: 학생들의 나이 총합, 학부모들의 나이 총합, 그리고 합친 총합을 합친 인원수로 나누는 한 번의 나눗셈. 단위(사람당 나이 연수)를 계속 살펴보면 마지막 나눗셈이 흐트러지지 않는다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.A.3 단계 1

평균은 총합을 숨기고 있다

평균 하나만으로는 크기가 같지 않은 다른 그룹의 평균과 합칠 수 없다.
각 평균은 사실 총합을 고르게 나눠 준 값이다: 총합 = 평균 x 인원수.
두 그룹의 크기가 다르므로(33명 대 55명), 합치기 전에 각 총합을 먼저 되살려야 한다.

\text{평균} = \dfrac{\text{총합}}{\text{개수}}

💡 평균은 총합을 고르게 나눈 값이므로, 그룹을 합치려면 먼저 총합을 되찾아야 한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 2

5학년 학생들의 나이 총합

학생 33명이 각각 평균 11세이므로, 나이의 총합은 33 곱하기 11이다.

$$33 \times 11 = 363$$

💡 평균에 인원수를 곱하면 그 그룹의 나이 전체 더미가 되살아난다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 3

학부모들의 나이 총합

학부모 55명이 각각 평균 33세이므로, 나이의 총합은 55 곱하기 33이다.

$$55 \times 33 = 1815$$

💡 학생 때와 똑같다: 평균 곱하기 인원수가 그 그룹의 나이 총합이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 4

총합과 인원수 합치기

두 나이 총합을 하나로 붓고 모든 사람 수를 함께 센다: 나이는 363 + 1815 = 2178세이고, 이는 33 + 55 = 88명에게 퍼져 있다.

$$363 + 1815 = 2178, \qquad 33 + 55 = 88$$

💡 하나로 합친 그룹은 하나의 총합과 하나의 인원수를 갖는다.

#8 단위 살펴보기 6.NS.B.3 단계 5

한 번 나눠서 평균 구하기

합친 2178세를 88명 전체에게 고르게 나눈다.
나누면 사람당 24.75세가 나오므로, 답은 (C)이다.

$$\dfrac{2178}{88} = 24.75$$

💡 나이 총합을 모든 사람에게 나누면 사람당 나이가 되고, 그것이 바로 평균이다.

[1] #7 6.SP.A.3 평균 하나만으로는 크기가 같지 않은 다른 그룹의 평균과 합칠 수 없다. 각 평균은 사실 총합을 고르게 나눠 준 값이다: 총합 = 평균 x 인원수

[2] #7 5.NBT.B.5 학생 33명이 각각 평균 11세이므로, 나이의 총합은 33 곱하기 11이다.

[3] #7 5.NBT.B.5 학부모 55명이 각각 평균 33세이므로, 나이의 총합은 55 곱하기 33이다.

[4] #7 4.NBT.B.4 두 나이 총합을 하나로 붓고 모든 사람 수를 함께 센다: 나이는 363 + 1815 = 2178세이고, 이는 33 + 55 = 88명에게 퍼져

[5] #8 6.NS.B.3 합친 2178세를 88명 전체에게 고르게 나눈다. 나누면 사람당 24.75세가 나오므로, 답은 (C)이다.

검토

합리성 확인: 결과 24.75는 11과 33 사이에 놓이는데, 두 평균을 섞은 값이라면 반드시 그 사이에 있어야 한다. 학부모(55명)가 5학년 학생(33명)보다 많으므로, 섞인 값은 단순 중간값 22가 아니라 학부모의 33 쪽으로 치우쳐야 한다 — 실제로 24.75는 22보다 크다. 보기 (A) 22는 두 평균을 잘못 다시 평균 내면 빠지는 함정이다.

대안 접근: 처음부터 가중평균 하나로 세운다: (33 x 11 + 55 x 33) / (33 + 55). 작은 문제로 나누는 대신 하나의 분수로 쓴 것일 뿐, 계산은 똑같다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.A.3 Recognize that a measure of center summarizes all its values with a single number (평균이 총합을 개수로 나눈 것임을 알고, 두 그룹은 평균끼리가 아니라 총합끼리 합쳐야 함을 파악하기)
5.NBT.B.5 Fluently multiply multi-digit whole numbers (각 그룹의 평균과 인원수를 다시 나이 총합으로 되돌리기 (33 x 11, 55 x 33))
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (두 나이 총합과 두 인원수를 각각 하나의 총합과 하나의 인원수로 더하기)
6.NS.B.3 Fluently add, subtract, multiply, and divide multi-digit decimals (합친 나이 총합을 사람 수로 나누어 24.75를 얻기)

⭐ 인원수가 다른 두 그룹은 평균끼리 다시 평균 내면 안 된다 — 각 평균을 총합으로 되돌리고, 전부 더한 뒤, 딱 한 번만 나눠라.