AMC 10 · 2013 · #7

학년 8 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
equal-spacingarea-trianglesthirty-sixty-ninety-triangle systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: area-trianglesequilateral-triangle
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
반지름이 1 인 원 둘레에 여섯 점이 같은 간격으로 놓여 있습니다. 이 중 세 점을 골라 만든 삼각형이 정삼각형도 이등변삼각형도 아니도록(세 변이 모두 다른 부등변삼각형) 합니다. 그 삼각형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
(B)
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
(C)
1
(D)
$\sqrt{2}$
(E)
2

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

여섯 점을 정육각형으로 그리는 것(도구 #1)이 답을 눈에 보이게 합니다: 어느 변이 지름인지 드러나고, 정삼각형에서 높이를 바로 읽을 수 있습니다. 먼저 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 호 간격을 나누는 방법을 모두 적어 부등변삼각형이 되는 유일한 모양을 확정합니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이를 두 조각 — 밑변 찾기, 높이 찾기 — 으로 나누어, 세 변의 길이를 한꺼번에 쫓지 않습니다.

1STEP 1

부등변 모양 찾기

세 점은 원을 60° 간격의 호로 나누고 그 합은 6, 간격이 같으면 변도 같으니 모두 다른 분할은 6 = 1+2+3 뿐입니다.

6 = 2+2+2 = 1+1+4 = 1+2+3
2STEP 2

지름 알아보기

3 간격 호는 3 × 60° = 180° 로 원의 절반이라 그 현은 중심을 지납니다. 곧 길이 2 인 지름이고, 이를 밑변으로 삼습니다.

3 × 60° = 180°, 지름 = 2 × 1 = 2
3STEP 3

높이 찾기

세 번째 꼭짓점과 밑변 끝점을 중심과 이으면 60° 를 낀 두 반지름이 한 변 1 인 정삼각형을 만들므로 h = √(3)/2 입니다.

h² + (1/2)² = 1² → h = √(1-1/4) = √(3)/2
4STEP 4

넓이 계산하기

밑변 2, 높이 √(3)/2 이므로 넓이 = 1/2 × 2×√(3)/2 = √(3)/2, 곧 선택지 (B)입니다.

1/2 × 2×√(3)/2 = √(3)/2 → (B)
정답
√(3)/2
삼각형은 반지름 1 인 원 안에 들어가므로 넓이는 원의 넓이 π≈ 3.14 보다 훨씬 작아야 합니다; √(3)/2≈ 0.87은 충분히 작습니다. 세 변은 2, √(3), 1로 나오는데 — 세 변이 모두 다른 30-60-90 직각삼각형이라, 정말 부등변삼각형임을 확인해 줍니다. 선택지 (D) √(2)≈ 1.41와 (E) 2는 이 크기의 삼각형에 비해 너무 크고, (A) √(3)/3≈ 0.58과 (C) 1은 밑변-높이 곱과 맞지 않으므로 √(3)/2만 남습니다.
💡핵심 정리

원 위에 같은 간격으로 놓인 점들은 간격을 세어 보세요: 간격이 같으면 변이 같고, 원의 절반을 가로지르는 현은 삼각형을 세울 수 있는 지름입니다.

  • 부등변 모양 찾기
  • 지름 알아보기
  • 높이 찾기
  • 넓이 계산하기

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