AMC 10 · 2013 · #7

학년 8 geometry-2d

equal-spacingarea-trianglesthirty-sixty-ninety-triangle systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: area-trianglesequilateral-triangle

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

반지름이 1인 원 위에 여섯 개의 점이 같은 간격으로 놓여 있다. 이 여섯 점 중 세 점이 정삼각형도 이등변삼각형도 아닌 삼각형의 꼭짓점이다. 이 삼각형의 넓이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

(B)

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

(C)

(D)

$\sqrt{2}$

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 $1$ 인 원 둘레에 여섯 점이 같은 간격으로 놓여 있습니다. 이 중 세 점을 골라 만든 삼각형이 정삼각형도 이등변삼각형도 아니도록(세 변이 모두 다른 부등변삼각형) 합니다. 그 삼각형의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 반지름 $1$ 인 원 둘레에 여섯 점이 같은 간격으로 놓임; 이 여섯 점 중 세 점을 골라 삼각형을 만듦; 삼각형은 부등변삼각형 — 정삼각형도 이등변삼각형도 아니어서 세 변이 모두 다름; 선택지: (A) $\frac{\sqrt{3}}{3}$, (B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$, (C) $1$, (D) $\sqrt{2}$, (E) $2$

구하는 것: 부등변삼각형의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기

여섯 점을 정육각형으로 그리는 것(도구 #1)이 답을 눈에 보이게 합니다: 어느 변이 지름인지 드러나고, 정삼각형에서 높이를 바로 읽을 수 있습니다. 먼저 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 호 간격을 나누는 방법을 모두 적어 부등변삼각형이 되는 유일한 모양을 확정합니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이를 두 조각 — 밑변 찾기, 높이 찾기 — 으로 나누어, 세 변의 길이를 한꺼번에 쫓지 않습니다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 8.G.A.1 단계 1

부등변 모양 찾기

세 점은 원을 세 개의 호로 나누는데, 각 호는 $60^\circ$ 간격의 자연수 배이고 모두 더하면 $6$ 간격(원 전체)입니다.
원을 회전시켜 보면 현의 길이는 몇 간격을 건너는지에만 달려 있으므로, 간격이 같으면 변도 같습니다.
$6$ 을 세 자연수의 합으로 적으면: $2+2+2$, $1+1+4$, $1+2+3$.
$2+2+2$ 는 세 변이 같아 정삼각형, $1+1+4$ 는 두 변이 같아 이등변삼각형입니다.
$1+2+3$ 만 세 변이 모두 다르므로 우리가 찾는 삼각형입니다.

$$6 = 2+2+2 = 1+1+4 = 1+2+3$$

💡 원 전체를 돌려도 현의 길이는 그대로이므로, 두 변을 다르게 만드는 것은 오직 호 간격의 개수뿐입니다.

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 2

지름 알아보기

$1+2+3$ 삼각형에서 $3$ 간격을 건너는 호는 $3\times 60^\circ = 180^\circ$, 곧 원의 절반입니다.
원의 절반을 가로지르는 현은 중심을 지나므로 지름입니다.
반지름이 $1$ 이므로 이 지름은 $2\times 1 = 2$ 입니다.
이 가장 긴 변을 삼각형의 밑변으로 삼습니다.

$$3\times 60^\circ = 180^\circ,\qquad \text{지름} = 2\times 1 = 2$$

💡 원의 절반을 잘라내는 현은 반드시 중심을 곧게 지나므로 지름이 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

높이 찾기

지름을 밑변으로 눕힙니다.
세 번째 꼭짓점은 밑변 끝점에서 $60^\circ$ 간격 하나만큼 떨어져 있습니다.
그 꼭짓점과 그 끝점을 각각 중심 $O$ 와 이으면 둘 다 길이 $1$ 인 반지름이고, 그 사이 $60^\circ$ 각 덕분에 삼각형은 한 변이 $1$ 인 정삼각형이 됩니다.
그 밑변이 지름 위에 놓이므로, 세 번째 꼭짓점의 지름 위 높이는 한 변이 $1$ 인 정삼각형의 높이입니다.
피타고라스 정리로 $h^2 + \left(\tfrac12\right)^2 = 1^2$ 이므로 $h = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$$h^2 + \left(\tfrac12\right)^2 = 1^2 \;\Rightarrow\; h = \sqrt{1-\tfrac14} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$$

💡 $60^\circ$ 를 낀 두 반지름은 언제나 정삼각형으로 닫히고, 그 높이는 정삼각형을 두 개의 직각삼각형으로 가릅니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

넓이 계산하기

삼각형은 밑변이 $2$(지름)이고 높이가 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.
넓이 $=\tfrac12\times\text{밑변}\times\text{높이} = \tfrac12\times 2\times\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.
이것이 선택지 (B)입니다.

$$\tfrac12\times 2\times\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 한 변과 그 위로 내린 수직 높이만 알면, 밑변 곱하기 높이 나누기 $2$ 로 어떤 삼각형의 넓이든 구할 수 있습니다.

[1] #2 8.G.A.1 세 점은 원을 세 개의 호로 나누는데, 각 호는 $60^\circ$ 간격의 자연수 배이고 모두 더하면 $6$ 간격(원 전체)입니다. 원을 회전시

[2] #1 7.G.B.4 $1+2+3$ 삼각형에서 $3$ 간격을 건너는 호는 $3\times 60^\circ = 180^\circ$, 곧 원의 절반입니다. 원의 절반을

[3] #7 8.G.B.7 지름을 밑변으로 눕힙니다. 세 번째 꼭짓점은 밑변 끝점에서 $60^\circ$ 간격 하나만큼 떨어져 있습니다. 그 꼭짓점과 그 끝점을 각각 중심

[4] #7 6.G.A.1 삼각형은 밑변이 $2$(지름)이고 높이가 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다. 넓이 $=\tfrac12\times\text{밑변}\t

검토

합리성 확인: 삼각형은 반지름 $1$ 인 원 안에 들어가므로 넓이는 원의 넓이 $\pi\approx 3.14$ 보다 훨씬 작아야 합니다; $\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.87$ 은 충분히 작습니다. 세 변은 $2$, $\sqrt{3}$, $1$ 로 나오는데 — 세 변이 모두 다른 $30$-$60$-$90$ 직각삼각형이라, 정말 부등변삼각형임을 확인해 줍니다. 선택지 (D) $\sqrt{2}\approx 1.41$ 와 (E) $2$ 는 이 크기의 삼각형에 비해 너무 크고, (A) $\tfrac{\sqrt{3}}{3}\approx 0.58$ 과 (C) $1$ 은 밑변-높이 곱과 맞지 않으므로 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 만 남습니다.

대안 접근: 좌표를 씁니다. 중심을 원점에 두고 여섯 점을 $\theta = 0^\circ,60^\circ,\dots,300^\circ$ 에 대해 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 로 둡니다. 부등변삼각형의 꼭짓점은 $(1,0)$, $(-1,0)$, $(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}{2})$ 입니다. $(-1,0)$ 에서 $(1,0)$ 까지의 밑변은 길이가 $2$ 이고 세 번째 점의 높이는 그 $y$-좌표 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로, 같은 넓이 $\tfrac12\times 2\times\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.1 회전, 반사, 평행이동의 성질을 실험으로 확인한다 (원을 회전해도 현의 길이가 보존되므로 호 간격이 같으면 변도 같다는 논리로, $1+2+3$ 이 유일한 부등변 분할임을 가려내는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 안다 (원의 절반을 가로지르는 현을 지름으로 알아보고, 지름 $=2\times\text{반지름}=2$ 를 밑변으로 쓰는 데 사용.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 미지의 변의 길이를 구하기 위해 피타고라스 정리를 적용한다 ($h^2+(\tfrac12)^2=1^2$ 로 한 변이 $1$ 인 정삼각형의 높이인 $h=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 를 구하는 데 사용.)
6.G.A.1 합성을 통해 삼각형, 특수 사각형, 다각형의 넓이를 구한다 (밑변 $2$ 와 높이 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 를 넓이 $=\tfrac12\,\text{밑변}\times\text{높이}$ 에 넣어 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 원 위에 같은 간격으로 놓인 점들은 간격을 세어 보세요: 간격이 같으면 변이 같고, 원의 절반을 가로지르는 현은 삼각형을 세울 수 있는 지름입니다.