AMC 10 · 2013 · #9
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AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 개의 깔끔한 단계로 나눈다. 즉 27000을 소인수의 거듭제곱으로 분해하고, 그 소인수들을 세 수로 어떻게 묶을지 정하고, 마지막에 더한다. 가운데 단계에서 도구 #3(가능성 지우기)이 핵심 역할을 한다. 쌍마다 서로소라는 조건은 두 수가 같은 소수를 나눠 가질 수 없게 하므로, 한 소수의 거듭제곱을 두 수로 쪼갤 수 없다. 이 규칙 하나가 단 하나의 묶음만 남기고 나머지를 모두 지워, 어림짐작이 필요 없다.
27000을 소인수분해
27000 = 27 × 1000이므로 소인수분해는 2³ × 3³ × 5³이고, 등장하는 소수는 2, 3, 5뿐이다.
모든 자연수는 단 한 가지 방법으로 소수로 분해되므로, 소인수분해가 가진 조각들을 전부 드러낸다.
4.OA.B.4Identify Subproblems서로소 조건이 묶음을 강제한다
2³을 쪼개면 두 수가 모두 짝수가 되어 공통 약수 2를 갖는다. 그래서 각 소수 덩어리는 통째로 한 수씩 차지한다.
한 소수가 두 수에 걸쳐 있으면 그 두 수가 소수를 공유하므로, 각 소수는 한 수 안에 통째로 있어야 한다.
어떤 소수가 두 수에 흩어지면 둘이 그 소수를 공유하게 되므로, 각 소수는 한 수 안에 온전히 있어야 한다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 공유된 소수는 두 약수 목록에 다 나타난다.
▸ 왜?
그 공유된 소수가 두 수를 함께 나누게 되어, 공통 인수가 없다는 규칙이 깨진다.
세 수를 계산
덩어리를 계산하면 8, 27, 125이고 모두 1보다 크며, 8 × 27 × 125 = 27000으로 곱이 확인된다.
5³ 같은 거듭제곱은 밑을 세 번 곱한다는 뜻일 뿐이다.
6.EE.A.1Identify Subproblems세 수를 더한다
더하면 8 + 27 + 125 = 160이고, 선택지 중 (D)만 여기에 맞으므로 나머지는 지워진다.
세 수가 정해지고 나면 합은 덧셈 한 번으로 끝난다.
4.NBT.B.4Eliminate Possibilities수들이 쌍마다 서로소여야 하면 각 소수의 거듭제곱은 한 수 안에 통째로 있어야 한다 — 그러니 소인수분해하고, 소수 덩어리를 한 수당 하나씩 나눠 준 뒤 더하면 된다.
- 27000을 소인수분해
- 서로소 조건이 묶음을 강제한다
- 세 수를 계산
- 세 수를 더한다