AMC 10 · 2013 · #9

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

prime-factorizationgcdexponents identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

세 양의 정수가 각각 $1$ 보다 크고, 곱이 $27000$ 이며, 쌍마다 서로소이다. 이 세 수의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

100

(B)

137

(C)

156

(D)

160

(E)

165

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 각각 $1$보다 큰 세 자연수를 찾는다. 이 세 수는 곱하면 $27000$이 되고, 어느 두 수를 골라도 서로소($1$ 말고는 공통 약수가 없음)이다. 그런 다음 세 수를 모두 더한다.

주어진 것: 세 자연수는 각각 $1$보다 크다; 세 수의 곱은 $27000$이다; 세 수는 쌍마다 서로소이다 (어느 두 수도 $1$ 외의 공통 약수가 없음); 선택지: (A) $100$, (B) $137$, (C) $156$, (D) $160$, (E) $165$

구하는 것: 세 수의 합

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 개의 깔끔한 단계로 나눈다. 즉 $27000$을 소인수의 거듭제곱으로 분해하고, 그 소인수들을 세 수로 어떻게 묶을지 정하고, 마지막에 더한다. 가운데 단계에서 도구 #3(가능성 지우기)이 핵심 역할을 한다. 쌍마다 서로소라는 조건은 두 수가 같은 소수를 나눠 가질 수 없게 하므로, 한 소수의 거듭제곱을 두 수로 쪼갤 수 없다. 이 규칙 하나가 단 하나의 묶음만 남기고 나머지를 모두 지워, 어림짐작이 필요 없다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

27000을 소인수분해

곱을 소수의 기본 조각으로 분해한다.
$27000 = 27 \times 1000$이고, $27 = 3^3$, $1000 = 10^3 = (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3$이므로 전체 소인수분해는 $27000 = 2^3 \times 3^3 \times 5^3$이다.
등장하는 소수는 $2$, $3$, $5$뿐이다.

$$27000 = 27 \times 1000 = 3^3 \times (2\times 5)^3 = 2^3 \times 3^3 \times 5^3$$

💡 모든 자연수는 단 한 가지 방법으로 소수로 분해되므로, 소인수분해가 가진 조각들을 전부 드러낸다.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.4 단계 2

서로소 조건이 묶음을 강제한다

두 수가 서로소이려면 공통 소인수가 하나도 없어야 한다.
따라서 $2$의 거듭제곱 전체가 한 수 안에 들어가야 한다.
만약 $2^3$을 쪼개서 한 수에 $2$, 다른 수에 $2^2$을 준다면 두 수 모두 짝수가 되어 공통 약수 $2$를 갖게 되므로 조건을 어긴다.
$3$과 $5$의 거듭제곱도 마찬가지다.
그래서 세 수를 위한 소수 거듭제곱 덩어리는 정확히 $2^3$, $3^3$, $5^3$ 세 개이고, 각 수가 하나씩 갖는다.

$$\gcd(a,b)=\gcd(b,c)=\gcd(a,c)=1 \;\Rightarrow\; \{2^3,\ 3^3,\ 5^3\}$$

💡 한 소수가 두 수에 걸쳐 있으면 그 두 수가 소수를 공유하므로, 각 소수는 한 수 안에 통째로 있어야 한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 3

세 수를 계산

각 소수의 거듭제곱을 계산한다.
$2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $5^3 = 125$이다.
셋 다 $1$보다 크고, 검산으로 $8 \times 27 \times 125 = 27000$이 되어 요구된 곱과 일치한다.

$$2^3 = 8,\quad 3^3 = 27,\quad 5^3 = 125$$

💡 $5^3$ 같은 거듭제곱은 밑을 세 번 곱한다는 뜻일 뿐이다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.B.4 단계 4

세 수를 더한다

세 수를 더해 합을 구한다: $8 + 27 + 125 = 160$.
선택지를 훑어보면 (D)만 $160$이므로 나머지는 모두 지워진다.
답은 (D)이다.

$$8 + 27 + 125 = 160 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 세 수가 정해지고 나면 합은 덧셈 한 번으로 끝난다.

[1] #7 4.OA.B.4 곱을 소수의 기본 조각으로 분해한다. $27000 = 27 \times 1000$이고, $27 = 3^3$, $1000 = 10^3 = (2 \

[2] #3 6.NS.B.4 두 수가 서로소이려면 공통 소인수가 하나도 없어야 한다. 따라서 $2$의 거듭제곱 전체가 한 수 안에 들어가야 한다. 만약 $2^3$을 쪼개서

[3] #7 6.EE.A.1 각 소수의 거듭제곱을 계산한다. $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $5^3 = 125$이다. 셋 다 $1$보다 크고, 검산으로 $8 \t

[4] #3 4.NBT.B.4 세 수를 더해 합을 구한다: $8 + 27 + 125 = 160$. 선택지를 훑어보면 (D)만 $160$이므로 나머지는 모두 지워진다. 답은 (

검토

합리성 확인: 세 수 $8$, $27$, $125$는 각각 $1$보다 크고, $8 \times 27 \times 125 = 27000$으로 곱이 맞으며, 서로 다른 소수의 거듭제곱이므로 쌍마다 서로소이다. 합 $160$은 선택지 (D)에 정확히 들어맞는다. 아깝게 빗나간 (E) $165$는 조금 더 큰 조합이 필요하지만, $27000$을 $1$보다 큰 세 서로소 인수로 나누는 다른 방법은 없으므로 $160$이 유일하게 가능한 합이다.

대안 접근: 다른 유효한 세 수를 만들려다 불가능함을 확인한다. $1$보다 큰 각 인수는 소수 덩어리를 통째로 가져야 하고, 세 인수에 맞는 덩어리는 정확히 세 개($2^3$, $3^3$, $5^3$)뿐이므로 각 인수가 하나씩 갖는다. 두 덩어리를 합치면(예: $8 \times 27 = 216$) $1$보다 큰 인수가 셋이 아니라 둘만 남는다. 따라서 $\{8, 27, 125\}$가 강제되고 합은 반드시 $160$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 약수 쌍을 모두 찾고 배수를 인식하며 소수/합성수를 판별한다 ($27000$을 소수 거듭제곱 $2^3 \times 3^3 \times 5^3$으로 분해하기.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수를 구한다 (쌍마다 서로소(gcd $=1$) 조건을 이용해 각 소수 거듭제곱을 한 수 안에 유지하기.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함하는 수식을 쓰고 계산한다 ($2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $5^3 = 125$ 계산하기.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수를 능숙하게 더하고 뺀다 (최종 합 $8 + 27 + 125 = 160$ 더하기.)

⭐ 수들이 쌍마다 서로소여야 하면 각 소수의 거듭제곱은 한 수 안에 통째로 있어야 한다 — 그러니 소인수분해하고, 소수 덩어리를 한 수당 하나씩 나눠 준 뒤 더하면 된다.