AMC 10 · 2014 · #1

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

fraction-arithmeticexponentsorder-of-operations identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticexponents

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

$10\cdot\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{10}\right)^{-1}$ 의 값은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

$\frac{25}{2}$

(D)

$\frac{170}{3}$

(E)

170

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $10\cdot\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{10}\right)^{-1}$ 의 값을 구해야 합니다: 괄호 안의 세 분수를 더하고, 지수 $-1$ 을 적용한 뒤, $10$ 을 곱합니다.

주어진 것: 식 $10\cdot\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{10}\right)^{-1}$; 더해야 할 세 분수: $\tfrac{1}{2}$, $\tfrac{1}{5}$, $\tfrac{1}{10}$; 괄호 안 합에 적용되는 지수 $-1$; 다섯 개의 선택지: (A) $3$, (B) $8$, (C) $\frac{25}{2}$, (D) $\frac{170}{3}$, (E) $170$

구하는 것: 식 전체의 한 개의 수치 값

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #3 가능성 지우기

이 식은 세 가지 연산이 겹쳐 있으므로, 깔끔한 방법은 작은 문제로 쪼개는 것입니다(도구 #7): 먼저 분수를 더하고, 그다음 지수 $-1$ 을 처리하고, 마지막에 $10$ 을 곱합니다. 여기서 유일한 함정은 $-1$ 인데, 도구 #16(관점 바꾸기)으로 "$-1$ 제곱하기"를 "분수를 뒤집기"라는 더 쉬운 생각으로 바꿔 줍니다. 객관식이므로 도구 #3 으로 최종 값이 선택지에 정확히 떨어지는지 확인할 수 있습니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 1

세 분수 더하기

가장 안쪽 작은 문제인 괄호 안 합부터 시작합니다.
분모 $2$, $5$, $10$ 은 모두 $10$ 으로 통분되므로 각 분수를 분모 $10$ 으로 고칩니다: $\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{10}$, $\tfrac{1}{5}=\tfrac{2}{10}$, $\tfrac{1}{10}$ 은 그대로.
분자를 더하면 $5+2+1=8$ 이므로 합은 $\tfrac{8}{10}$, 약분하면 $\tfrac{4}{5}$ 입니다.

$$\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{10}=\tfrac{5}{10}+\tfrac{2}{10}+\tfrac{1}{10}=\tfrac{8}{10}=\tfrac{4}{5}$$

💡 통분은 크기가 다른 세 조각을 같은 종류의 조각으로 바꿔, 그냥 개수를 세어 더할 수 있게 해 줍니다.

#16 관점 바꾸기 8.EE.A.1 단계 2

-1 지수로 뒤집기

이제 지수를 처리합니다.
$0$ 이 아닌 어떤 수를 $-1$ 제곱하면 그 수의 역수가 됩니다 — 분수를 위아래로 뒤집는 것입니다.
그래서 $\left(\tfrac{4}{5}\right)^{-1}=\tfrac{5}{4}$ 입니다.
무섭게 보이던 $-1$ 이 간단한 뒤집기로 바뀌는 단계입니다.

$$\left(\tfrac{4}{5}\right)^{-1}=\tfrac{5}{4}$$

💡 $-1$ 제곱은 그냥 "뒤집기"를 뜻해서 분자와 분모가 자리를 맞바꿉니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.B.4 단계 3

10 곱하기

마지막 작은 문제로 마무리합니다: 앞의 $10$ 에 역수 $\tfrac{5}{4}$ 를 곱합니다.
자연수에 분수를 곱하면 분자에 곱해지므로 $10\cdot\tfrac{5}{4}=\tfrac{50}{4}=\tfrac{25}{2}$ 입니다.
이 값은 선택지 (C) 와 일치합니다.

$$10\cdot\tfrac{5}{4}=\tfrac{10\cdot 5}{4}=\tfrac{50}{4}=\tfrac{25}{2}\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 $\tfrac{5}{4}$ 이 열 개면 $\tfrac{50}{4}$ 이고, 분자·분모를 $2$ 로 약분하면 $\tfrac{25}{2}$ 입니다.

[1] #7 5.NF.A.1 가장 안쪽 작은 문제인 괄호 안 합부터 시작합니다. 분모 $2$, $5$, $10$ 은 모두 $10$ 으로 통분되므로 각 분수를 분모 $10$

[2] #16 8.EE.A.1 이제 지수를 처리합니다. $0$ 이 아닌 어떤 수를 $-1$ 제곱하면 그 수의 역수가 됩니다 — 분수를 위아래로 뒤집는 것입니다. 그래서 $\l

[3] #7 4.NF.B.4 마지막 작은 문제로 마무리합니다: 앞의 $10$ 에 역수 $\tfrac{5}{4}$ 를 곱합니다. 자연수에 분수를 곱하면 분자에 곱해지므로 $1

검토

합리성 확인: 소수로 확인해 봅니다: $\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{10}=0.5+0.2+0.1=0.8$, 그 역수는 $\tfrac{1}{0.8}=1.25$, 그리고 $10\times1.25=12.5=\tfrac{25}{2}$. 선택지 (C) 와 일치합니다. 함정 답들은 $-1$ 을 잘못 다룰 때 나옵니다: 뒤집기를 잊으면 $10\cdot\tfrac45=8$ (선택지 B) 이 되고, $-1$ 을 역수가 아니라 곱셈처럼 다루면 깔끔한 값 근처에도 못 갑니다 — 따라서 (C) 가 옳습니다.

대안 접근: 분수를 더하는 대신 처음부터 전부 소수로 바꿀 수도 있습니다(도구 #15, 다르게 정리하기): $0.5+0.2+0.1=0.8$, 그다음 $10\div 0.8=12.5=\tfrac{25}{2}$. $-1$ 제곱을 "합으로 나누기"로 곧바로 읽어 같은 답에 이릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 (각 분수를 공통분모 $10$ 으로 고쳐 $\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{10}$ 을 더하는 데 사용.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용한다 (지수 $-1$ 을 역수로 해석하여 $\left(\tfrac{4}{5}\right)^{-1}=\tfrac{5}{4}$ 로 바꾸는 데 사용.)
4.NF.B.4 곱셈의 이해를 확장하여 분수에 자연수를 곱한다 ($10\cdot\tfrac{5}{4}=\tfrac{50}{4}=\tfrac{25}{2}$ 로 마무리하는 데 사용.)

⭐ $-1$ 제곱은 그저 "분수 뒤집기"이고, 나머지는 더하고 곱하기예요.