AMC 10 · 2014 · #20

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-sumpattern-recognitionmulti-digit-arithmetic pattern-recognitionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: digit-sum

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

곱 $(8)(888\dots8)$ 에서 두 번째 인수는 $k$ 자리 수이며, 이 곱은 각 자리 숫자의 합이 $1000$ 인 정수이다. $k$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

901

(B)

911

(C)

919

(D)

991

(E)

999

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $8$에 $8$이 $k$개 이어진 수(예: $88\dots8$)를 곱한다. 그 결과인 정수의 각 자리 숫자를 모두 더하면 $1000$이 된다. 두 번째 인수에 들어 있는 $8$의 개수 $k$를 구하라.

주어진 것: 첫 번째 인수는 $8$이다; 두 번째 인수는 $8$이 $k$개 이어진 수 $\underbrace{88\dots8}_{k}$이다; 곱한 결과의 각 자리 숫자의 합은 $1000$이다; 다섯 개의 보기: (A) $901$, (B) $911$, (C) $919$, (D) $991$, (E) $999$

구하는 것: 두 번째 인수의 자릿수 $k$

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #13 대수로 바꾸기

$8$이 $k$개 이어진 수는 우리가 예상하는 $k$의 크기에서는 너무 커서 곧바로 곱할 수 없다. 그래서 작은 경우 몇 개를 직접 계산하며 패턴을 찾는다(도구 #5): $8\cdot88$, $8\cdot888$처럼. 곱의 자릿수 모양이 드러나면 $8$의 개수를 변수 $k$로 두어(도구 #4) 자리 숫자의 합을 $k$에 대한 식으로 쓰고, "자리 숫자의 합 $=1000$"을 간단한 방정식으로 바꿔 푼다(도구 #13).

실행 — 정답: D

#5 패턴 찾기 5.NBT.B.5 단계 1

작은 경우 몇 개를 곱해 보기

작게 시작해서 몇 가지 크기를 실제로 곱해 본다.
$8$에 $8$이 $2$개, $3$개, $4$개, $5$개인 수를 곱한다.
자리 숫자를 나란히 비교할 수 있도록 곱의 결과를 그대로 남겨 둔다.

$$8\cdot88=704,\quad 8\cdot888=7104,\quad 8\cdot8888=71104,\quad 8\cdot88888=711104$$

💡 구체적인 곱을 몇 개 직접 해 보면 답의 모양이 스스로 드러난다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

자리 숫자의 패턴 읽기

곱들을 나란히 놓아 본다: $704$, $7104$, $71104$, $711104$.
모두 $7$로 시작하고 $04$로 끝나며 가운데에 $1$들이 이어진다.
세어 보면 $8$이 $k$개인 두 번째 인수는 $7$ 하나, 그다음 $1$이 $(k-2)$개, 그리고 $0$과 $4$를 만든다.
즉 곱은 $7\underbrace{1\dots1}_{k-2}04$ 모양이다.

$$8\cdot\underbrace{88\dots8}_{k}=7\underbrace{11\dots1}_{k-2}04$$

💡 $8$을 하나 더할 때마다 가운데 $1$이 하나씩 늘어날 뿐이라 규칙을 쉽게 이어 갈 수 있다.

#4 변수 도입하기 4.OA.C.5 단계 3

자리 숫자의 합을 k로 나타내기

이제 그 곱의 자리 숫자를 더한다.
$7$이 하나, $1$이 $(k-2)$개, 그리고 $0$과 $4$가 있다.
모두 더하면 $7+(k-2)+0+4$이다.
상수를 정리하면 $7-2+4=9$이므로 자리 숫자의 합은 $k+9$이다.

$$7+(k-2)+0+4=k+9$$

💡 $8$을 하나 더할 때마다 가운데 $1$이 정확히 하나 늘어나므로 합도 매번 $1$씩만 커진다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 4

k에 대해 풀기

문제에서 자리 숫자의 합이 $1000$이라고 했다.
식을 $1000$과 같다고 놓고 푼다: $k+9=1000$이므로 $k=1000-9=991$이다.
이것은 보기 (D)와 일치한다.

$$k+9=1000\;\Rightarrow\;k=991\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 자리 숫자의 합이 깔끔한 식 $k+9$가 되면 $k$를 구하는 일은 $+9$를 되돌리는 것뿐이다.

[1] #5 5.NBT.B.5 작게 시작해서 몇 가지 크기를 실제로 곱해 본다. $8$에 $8$이 $2$개, $3$개, $4$개, $5$개인 수를 곱한다. 자리 숫자를 나란히

[2] #5 4.OA.C.5 곱들을 나란히 놓아 본다: $704$, $7104$, $71104$, $711104$. 모두 $7$로 시작하고 $04$로 끝나며 가운데에 $1$

[3] #4 4.OA.C.5 이제 그 곱의 자리 숫자를 더한다. $7$이 하나, $1$이 $(k-2)$개, 그리고 $0$과 $4$가 있다. 모두 더하면 $7+(k-2)+0+

[4] #13 6.EE.B.7 문제에서 자리 숫자의 합이 $1000$이라고 했다. 식을 $1000$과 같다고 놓고 푼다: $k+9=1000$이므로 $k=1000-9=991$이

검토

합리성 확인: 계산해 둔 경우로 식을 검사해 보자: $k=3$일 때 곱은 $7104$이고 자리 숫자의 합은 $7+1+0+4=12$인데, 식은 $k+9=3+9=12$를 준다. 일치하므로 $k+9=1000$을 믿으면 $k=991$이다. 보기 (D)는 $999$보다 살짝 작은 곳에 놓여 있어, 합이 $k$보다 아주 조금 큰 상황과도 잘 들어맞는다.

대안 접근: 자리 모양을 따지지 말고 자리 숫자의 합이 어떻게 커지는지만 추적해도 된다(합 자체에 도구 #5 적용): $k=2,3,4,\dots$에서 합은 $11,12,13,\dots$이므로 합은 항상 $k$보다 $9$만큼 크다. 다시 $k+9=1000$을 놓으면 $k=991$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NBT.B.5 여러 자리 정수를 능숙하게 곱하기 (표본 곱 $8\cdot88=704$, $8\cdot888=7104$ 등을 계산하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형의 패턴 만들기 ($7\,1\dots1\,04$ 자리 숫자 패턴을 찾아 자리 숫자 합의 규칙 $k+9$로 바꾸는 데 사용.)
6.EE.B.7 x + p = q 형태의 방정식을 세우고 풀어 문제 해결하기 ($k+9=1000$을 풀어 $k=991$을 얻는 데 사용.)

⭐ 작은 경우 몇 개를 곱해 자리 숫자의 패턴을 잡으면, 거대한 문제가 $k+9=1000$으로 줄어든다.