AMC 10 · 2014 · #20

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-sumpattern-recognitionmulti-digit-arithmetic pattern-recognitionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: digit-sum

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

첫 번째 인수는 8이다. 두 번째 인수는 8을 k개 나란히 이어 붙인 수, 예를 들어 88…8과 같은 수이다. 두 수의 곱은 정수이고, 그 각 자리 숫자의 합은 1000이다. k는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

901

(B)

911

(C)

919

(D)

991

(E)

999

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

8이 k개 이어진 수는 우리가 예상하는 k의 크기에서는 너무 커서 곧바로 곱할 수 없다. 그래서 작은 경우 몇 개를 직접 계산하며 패턴을 찾는다(도구 #5): 8·88, 8·888처럼. 곱의 자릿수 모양이 드러나면 8의 개수를 변수 k로 두어(도구 #4) 자리 숫자의 합을 k에 대한 식으로 쓰고, "자리 숫자의 합 =1000"을 간단한 방정식으로 바꿔 푼다(도구 #13).

1STEP 1

작은 경우 몇 개를 곱해 보기

작게 시작하자. 8에 8이 2, 3, 4, 5개인 수를 곱하고 결과를 그대로 남겨 둔다.

8·88=704, 8·888=7104, 8·8888=71104, 8·88888=711104

2STEP 2

자리 숫자의 패턴 읽기

704, 7104, 71104을 나란히 놓으면 곱은 늘 7, 그다음 1이 (k-2)개, 끝에 04다.

8·88…8_k=711…1_k-204

3STEP 3

자리 숫자의 합을 k로 나타내기

그 자리 숫자를 더하면 7+(k-2)+0+4이고, 상수를 정리하면 합은 k+9다.

7+(k-2)+0+4=k+9

4STEP 4

k에 대해 풀기

합이 1000이므로 k+9=1000에서 k=991, 즉 보기 (D)다.

k+9=1000 → k=991 → (D)

정답

991

계산해 둔 경우로 식을 검사해 보자: k=3일 때 곱은 7104이고 자리 숫자의 합은 7+1+0+4=12인데, 식은 k+9=3+9=12를 준다. 일치하므로 k+9=1000을 믿으면 k=991이다. 보기 (D)는 999보다 살짝 작은 곳에 놓여 있어, 합이 k보다 아주 조금 큰 상황과도 잘 들어맞는다.

💡핵심 정리

작은 경우 몇 개를 곱해 자리 숫자의 패턴을 잡으면, 거대한 문제가 k+9=1000으로 줄어든다.

작은 경우 몇 개를 곱해 보기
자리 숫자의 패턴 읽기
자리 숫자의 합을 k로 나타내기
k에 대해 풀기

작은 경우 몇 개를 곱해 보기

자리 숫자의 패턴 읽기

자리 숫자의 합을 k로 나타내기

k에 대해 풀기

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