AMC 10 · 2014 · #21

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

linear-equations-two-varslope-interceptfactors convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

양의 정수 $a$ 와 $b$ 에 대해, $y=ax+5$ 와 $y=3x+b$ 의 그래프가 $x$ 축과 같은 점에서 만난다. 이러한 교점들의 가능한 모든 $x$ 좌표의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

${-20}$

(B)

${-18}$

(C)

${-15}$

(D)

${-12}$

(E)

${-8}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수 $a$ 와 $b$ 에 대해 두 직선 $y=ax+5$ 와 $y=3x+b$ 가 $x$축의 같은 점에서 만납니다. 이렇게 만날 수 있는 모든 $x$좌표의 합을 구하세요.

주어진 것: 직선 $y=ax+5$ 와 직선 $y=3x+b$; $a$ 와 $b$ 는 양의 정수; 두 직선이 $x$축의 같은 점에서 만남; 선택지: (A) $-20$, (B) $-18$, (C) $-15$, (D) $-12$, (E) $-8$

구하는 것: 공통으로 만나는 $x$축 교점의 가능한 모든 $x$좌표; 그 $x$좌표들의 합

이해

주어진 것: 직선 $y=ax+5$ 와 직선 $y=3x+b$; $a$ 와 $b$ 는 양의 정수; 두 직선이 $x$축의 같은 점에서 만남; 선택지: (A) $-20$, (B) $-18$, (C) $-15$, (D) $-12$, (E) $-8$

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기

"$x$축의 같은 점에서 만난다"는 기하 문장이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 대수로 바꿉니다: 각 직선의 $x$절편을 $a$, $b$ 로 나타내고 서로 같다고 놓습니다. 그러면 조건 전체가 하나의 식 $ab=15$ 로 압축됩니다. 다음으로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 $ab=15$ 를 만족하는 양의 정수 쌍 $(a,b)$ 을 모두 찾아 가능한 교점을 하나도 빠뜨리지 않습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 절편, 인수쌍, 좌표, 합의 단계로 작업을 깔끔하게 나눕니다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 1

각 직선의 x축 교점 찾기

$x$축 위의 점은 높이가 $y=0$ 입니다.
각 직선에 $y=0$ 을 넣고 $x$ 에 대해 풉니다.
$y=ax+5$ 는 $0=ax+5$ 에서 $x=-\dfrac{5}{a}$, $y=3x+b$ 는 $0=3x+b$ 에서 $x=-\dfrac{b}{3}$ 입니다.
각 식이 그 직선이 $x$축과 만나는 정확한 위치입니다.

$$0=ax+5\Rightarrow x=-\dfrac{5}{a};\qquad 0=3x+b\Rightarrow x=-\dfrac{b}{3}$$

💡 $x$축과 만난다는 것은 높이가 0이라는 뜻이므로, $y=0$ 을 놓고 $x$ 를 풉니다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 2

두 교점을 같다고 놓기

문제에서 두 직선이 $x$축의 같은 점에서 만난다고 했으므로 두 $x$좌표가 같습니다: $-\dfrac{5}{a}=-\dfrac{b}{3}$.
음의 부호를 없애고 교차곱하면 $5\cdot 3 = a\cdot b$, 즉 $ab=15$ 입니다.
공통 교점 조건 전체가 결국 $a$ 곱하기 $b$ 가 $15$ 라는 하나의 사실입니다.

$$-\dfrac{5}{a}=-\dfrac{b}{3}\Rightarrow \dfrac{5}{a}=\dfrac{b}{3}\Rightarrow ab=15$$

💡 같은 두 분수는 교차곱할 수 있어서, 기하 조건이 깔끔한 식 $ab=15$ 로 바뀝니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

15의 양의 인수쌍 나열하기

$a$ 와 $b$ 가 $ab=15$ 인 양의 정수이므로, $15$ 를 (양의 자연수) 곱하기 (양의 자연수) 로 쓰는 모든 방법을 나열합니다.
$15$ 의 약수는 $1,3,5,15$ 이고, 쌍은 $(a,b)=(1,15),(3,5),(5,3),(15,1)$ 입니다.
이 네 쌍이 문제가 허용하는 모든 직선입니다.

$$ab=15\Rightarrow (a,b)\in\{(1,15),(3,5),(5,3),(15,1)\}$$

💡 유효한 쌍은 모두 $15$ 의 인수쌍이므로, $15$ 의 약수만 나열하면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.3 단계 4

각 쌍을 x좌표로 바꾸기

교점은 $x=-\dfrac{5}{a}$ 이므로 각 $a$ 를 대입합니다.
$a=1\Rightarrow x=-5$; $a=3\Rightarrow x=-\dfrac{5}{3}$; $a=5\Rightarrow x=-1$; $a=15\Rightarrow x=-\dfrac{1}{3}$.
네 값이 모두 다르므로 서로 다른 교점이 네 개입니다.

$$x=-\dfrac{5}{a}:\; -5,\; -\dfrac{5}{3},\; -1,\; -\dfrac{1}{3}$$

💡 $-\dfrac{5}{a}$ 같은 분수는 $-5$ 를 $a$ 등분한 것일 뿐입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.1 단계 5

x좌표들 더하기

네 값을 더합니다: $-5-\dfrac{5}{3}-1-\dfrac{1}{3}$.
자연수끼리 묶으면 $-5-1=-6$, 삼분수끼리 묶으면 $-\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{6}{3}=-2$ 입니다.
합치면 $-6+(-2)=-8$ 입니다.
따라서 가능한 모든 $x$좌표의 합은 $-8$ 이고, 이는 선택지 (E)입니다.

$$-5-\dfrac{5}{3}-1-\dfrac{1}{3}=(-5-1)+\left(-\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{3}\right)=-6-2=-8\Rightarrow\textbf{(E)}$$

💡 음수를 더하는 것은 같은 종류를 더 쌓는 것이므로, 같은 조각끼리 묶어 합치면 됩니다.

[1] #4 8.EE.C.7 $x$축 위의 점은 높이가 $y=0$ 입니다. 각 직선에 $y=0$ 을 넣고 $x$ 에 대해 풉니다. $y=ax+5$ 는 $0=ax+5$ 에서

[2] #4 8.EE.C.7 문제에서 두 직선이 $x$축의 같은 점에서 만난다고 했으므로 두 $x$좌표가 같습니다: $-\dfrac{5}{a}=-\dfrac{b}{3}$.

[3] #2 4.OA.B.4 $a$ 와 $b$ 가 $ab=15$ 인 양의 정수이므로, $15$ 를 (양의 자연수) 곱하기 (양의 자연수) 로 쓰는 모든 방법을 나열합니다.

[4] #7 5.NF.B.3 교점은 $x=-\dfrac{5}{a}$ 이므로 각 $a$ 를 대입합니다. $a=1\Rightarrow x=-5$; $a=3\Rightarrow

[5] #7 7.NS.A.1 네 값을 더합니다: $-5-\dfrac{5}{3}-1-\dfrac{1}{3}$. 자연수끼리 묶으면 $-5-1=-6$, 삼분수끼리 묶으면 $-\d

검토

합리성 확인: 각 교점은 $-5$ 와 $-\tfrac{1}{3}$ 사이의 음의 $x$ 에 있으므로, 네 개의 합은 음수이면서 $4\times(-5)=-20$ 보다 작지 않아야 합니다; $-8$ 은 그 범위 안에 편안히 들어갑니다. 흔한 실수는 뒤집힌 쌍 $(5,3)$ 과 $(15,1)$ 을 빠뜨리는 것이지만, 서로 다른 네 값 $-5,-\tfrac{5}{3},-1,-\tfrac{1}{3}$ 은 정확히 $15$ 의 인수쌍이고 그 합은 $-8$ 로 (E)와 일치합니다.

대안 접근: 항마다 더하는 대신 합을 인수분해합니다: $-\dfrac{5}{1}-\dfrac{5}{3}-\dfrac{5}{5}-\dfrac{5}{15}=-5\left(1+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{15}\right)=-5\cdot\dfrac{15+5+3+1}{15}=-5\cdot\dfrac{24}{15}=-8$. 같은 합이 나와 (E)가 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.C.7 일차방정식(일변수)을 푼다 ($y=0$ 을 놓아 각 직선의 $x$절편을 구하고, $-\dfrac{5}{a}=-\dfrac{b}{3}$ 에서 분수를 없애 $ab=15$ 에 이르는 데 사용.)
4.OA.B.4 모든 인수쌍을 찾고 배수를 인식하며 소수·합성수를 판별한다 ($15$ 의 모든 양의 인수쌍 $(1,15),(3,5),(5,3),(15,1)$ 을 나열하는 데 사용.)
5.NF.B.3 분수를 분자를 분모로 나눈 것으로 해석한다 ($x=-\dfrac{5}{a}$ 를 $-5$ 를 $a$ 로 나눈 것으로 읽어 $-5,-\dfrac{5}{3},-1,-\dfrac{1}{3}$ 을 얻는 데 사용.)
7.NS.A.1 유리수의 덧셈과 뺄셈에 대한 이해를 확장하고 적용한다 (음의 정수와 분수를 더해 합 $-8$ 에 이르는 데 사용.)

⭐ "$x$축의 같은 교점"을 식 $ab=15$ 로 바꾸고, 그 인수쌍을 나열한 뒤 각 교점을 모두 더하세요.