AMC 10 · 2014 · #21

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

linear-equations-two-varslope-interceptfactors convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: linear-equations-two-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

양의 정수 a 와 b 에 대해 두 직선 y=ax+5와 y=3x+b 가 x축의 같은 점에서 만납니다. 이렇게 만날 수 있는 모든 x좌표의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

${-20}$

(B)

${-18}$

(C)

${-15}$

(D)

${-12}$

(E)

${-8}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

"x축의 같은 점에서 만난다"는 기하 문장이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 대수로 바꿉니다: 각 직선의 x절편을 a, b 로 나타내고 서로 같다고 놓습니다. 그러면 조건 전체가 하나의 식 ab=15로 압축됩니다. 다음으로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 ab=15를 만족하는 양의 정수 쌍 (a,b)을 모두 찾아 가능한 교점을 하나도 빠뜨리지 않습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 절편, 인수쌍, 좌표, 합의 단계로 작업을 깔끔하게 나눕니다.

1STEP 1

각 직선의 x축 교점 찾기

x축에서는 y=0 이므로 0=ax+5는 x=-5/a, 0=3x+b 는 x=-b/3 을 줍니다.

0=ax+5→ x=-5/a; 0=3x+b→ x=-b/3

2STEP 2

두 교점을 같다고 놓기

교점이 같으므로 -5/a=-b/3이고, 교차곱하면 조건 전체가 ab=15 로 압축됩니다.

-5/a=-b/3→ 5/a=b/3→ ab=15

3STEP 3

15의 양의 인수쌍 나열하기

양의 약수 1,3,5,15로 만들 수 있는 쌍은 (1,15),(3,5),(5,3),(15,1) 네 개뿐입니다.

ab=15→ (a,b)∈{(1,15),(3,5),(5,3),(15,1)}

4STEP 4

각 쌍을 x좌표로 바꾸기

각 a 를 x=-5/a 에 넣으면 서로 다른 교점 -5, -5/3, -1, -1/3 이 나옵니다.

x=-5/a: -5, -5/3, -1, -1/3

5STEP 5

x좌표들 더하기

정수끼리 -5-1=-6, 삼분수끼리 -5/3-1/3=-2 이므로 합은 -8, 즉 (E)입니다.

-5-5/3-1-1/3=(-5-1)+(-5/3-1/3)=-6-2=-8→(E)

정답

{-8}

각 교점은 -5와 -1/3 사이의 음의 x 에 있으므로, 네 개의 합은 음수이면서 4×(-5)=-20 보다 작지 않아야 합니다; -8은 그 범위 안에 편안히 들어갑니다. 흔한 실수는 뒤집힌 쌍 (5,3)과 (15,1)을 빠뜨리는 것이지만, 서로 다른 네 값 -5,-5/3,-1,-1/3은 정확히 15의 인수쌍이고 그 합은 -8 로 (E)와 일치합니다.

💡핵심 정리

"x축의 같은 교점"을 식 ab=15 로 바꾸고, 그 인수쌍을 나열한 뒤 각 교점을 모두 더하세요.

각 직선의 x축 교점 찾기
두 교점을 같다고 놓기
15의 양의 인수쌍 나열하기
각 쌍을 x좌표로 바꾸기
x좌표들 더하기

각 직선의 x축 교점 찾기

두 교점을 같다고 놓기

15의 양의 인수쌍 나열하기

각 쌍을 x좌표로 바꾸기

x좌표들 더하기

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