AMC 10 · 2014 · #22

학년 8 geometry-2d

pythagorean-theoremthirty-sixty-ninety-triangle identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

직사각형 $ABCD$ 에서 $\overline{AB}=20$ 이고 $\overline{BC}=10$ 이다. $\angle CBE=15^\circ$ 가 되도록 $\overline{CD}$ 위에 점 $E$ 를 잡는다. $\overline{AE}$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{20\sqrt3}3$

(B)

$10\sqrt3$

(C)

(D)

$11\sqrt3$

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 $ABCD$에서 긴 변 $AB$와 $CD$의 길이는 $20$이고, 짧은 변 $BC$와 $AD$의 길이는 $10$이다. 점 $E$는 윗변 $\overline{CD}$ 위에 있으며 $\angle CBE=15^\circ$를 이룬다. 이때 $\overline{AE}$의 길이를 구하라.

주어진 것: $ABCD$는 $\overline{AB}=20$, $\overline{BC}=10$인 직사각형이다; 점 $E$는 변 $\overline{CD}$ 위에 있다; $\angle CBE=15^\circ$는 꼭짓점 $B$에서 $\overline{BC}$와 $\overline{BE}$ 사이의 각이다; 선택지: (A) $\dfrac{20\sqrt3}{3}$, (B) $10\sqrt3$, (C) $18$, (D) $11\sqrt3$, (E) $20$

구하는 것: 꼭짓점 $A$에서 반대편 변 위의 점 $E$까지의 거리 $\overline{AE}$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기

문제 전체가 하나의 그림 안에 있으므로 도구 #1(그림 그리기)이 중심이다. 직사각형을 그리고 윗변에 $E$를 찍으면 안에 숨어 있던 두 직각삼각형이 드러난다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 깔끔하게 나눈다. 먼저 $15^\circ$ 각이 들어 있는 작은 직각삼각형 $BCE$를 다루고, 그다음 $\overline{AE}$를 실제로 품고 있는 직각삼각형 $ADE$를 다룬다. 도구 #4(변수 도입하기)로 모르는 길이 $CE$에 이름을 붙이면 $15^\circ$ 각이 그 값을 확정해 준다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 깔끔한 최종 길이를 다섯 선택지 중 하나와 맞춰 마무리한다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 6.NS.C.8 단계 1

좌표를 놓고 두 직각삼각형을 찾기

직사각형을 좌표축 위에 놓아 $A=(0,0)$, $B=(20,0)$, $C=(20,10)$, $D=(0,10)$으로 둔다.
그러면 $E$는 윗변의 어딘가, 곧 $(x,10)$에 있다.
두 직각삼각형이 나타난다.
삼각형 $BCE$는 직사각형 꼭짓점인 $C$에서 직각을 이루며 세로 변 $\overline{BC}=10$과 가로 변 $\overline{CE}$를 가진다.
삼각형 $ADE$는 $D$에서 직각을 이루며 변 $\overline{AD}=10$과 $\overline{DE}$를 가진다.
우리가 구하려는 $\overline{AE}$는 이 두 번째 삼각형의 빗변이다.

$$A=(0,0),\ B=(20,0),\ C=(20,10),\ D=(0,10),\ E=(x,10)$$

💡 직사각형을 좌표축에 고정하면 "어느 꼭짓점"이라는 말이 서로 거리를 잴 수 있는 정확한 점으로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 8.G.A.4 단계 2

15도 각으로 CE와 DE 구하기

직각삼각형 $BCE$에서 $15^\circ$ 각은 $B$에 있고, 그 마주 보는 변이 $\overline{CE}$, 붙어 있는 변이 이미 아는 $\overline{BC}=10$이다.
$15^\circ$ 각을 가진 직각삼각형은 모두 같은 모양이므로 두 변의 비가 고정된다.
마주 보는 변은 붙어 있는 변의 $\tan 15^\circ=2-\sqrt3$ 배이다.
따라서 $CE=10(2-\sqrt3)=20-10\sqrt3$이다.
윗변 전체 $\overline{CD}=20$이므로 남는 부분은 $DE=20-CE=20-(20-10\sqrt3)=10\sqrt3$이다.

$$CE=10\tan15^\circ=10(2-\sqrt3)=20-10\sqrt3,\qquad DE=20-CE=10\sqrt3$$

💡 같은 예각을 공유하는 두 직각삼각형은 닮음이므로, $15^\circ$ 각 하나만으로 $E$가 $C$에서 얼마나 떨어져 있는지가 정해진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

삼각형 ADE에 피타고라스 정리 적용

이제 $D$에서 직각을 이루는 직각삼각형 $ADE$에서 작업한다.
두 변은 $\overline{AD}=10$과 $\overline{DE}=10\sqrt3$이고 $\overline{AE}$가 빗변이다.
각 변을 제곱해 더한다.
$AE^2=AD^2+DE^2=10^2+(10\sqrt3)^2=100+300=400$.

$$AE^2=AD^2+DE^2=10^2+(10\sqrt3)^2=100+300=400$$

💡 직각 모서리를 가로지르는 곧은 거리는 두 변을 제곱해 더하면 나오는데, 이것이 바로 피타고라스 정리이다.

#3 가능성 지우기 8.EE.A.2 단계 4

제곱근을 구해 선택지와 맞추기

양변에 제곱근을 취한다.
$400$이 완전제곱수이므로 길이가 깔끔하게 나온다.
$AE=\sqrt{400}=20$.
다섯 선택지를 훑어보면 이는 정확히 (E)이다.
다른 어떤 선택지도 $20$과 같지 않으므로 답은 $\textbf{(E)}\ 20$이다.

$$AE=\sqrt{400}=20\ \textbf{(E)}$$

💡 제곱근은 제곱을 되돌릴 뿐이며, $400$이 완전제곱수라서 최종 길이가 정수로 딱 떨어진다.

[1] #1 6.NS.C.8 직사각형을 좌표축 위에 놓아 $A=(0,0)$, $B=(20,0)$, $C=(20,10)$, $D=(0,10)$으로 둔다. 그러면 $E$는 윗변

[2] #4 8.G.A.4 직각삼각형 $BCE$에서 $15^\circ$ 각은 $B$에 있고, 그 마주 보는 변이 $\overline{CE}$, 붙어 있는 변이 이미 아는

[3] #7 8.G.B.7 이제 $D$에서 직각을 이루는 직각삼각형 $ADE$에서 작업한다. 두 변은 $\overline{AD}=10$과 $\overline{DE}=10\

[4] #3 8.EE.A.2 양변에 제곱근을 취한다. $400$이 완전제곱수이므로 길이가 깔끔하게 나온다. $AE=\sqrt{400}=20$. 다섯 선택지를 훑어보면 이는

검토

합리성 확인: 답 $20$은 직사각형 안의 비스듬한 길이로서 그럴듯해야 한다. 이는 짧은 변 $\overline{AD}=10$보다 길고 전체 대각선 $\overline{AC}=\sqrt{20^2+10^2}=\sqrt{500}\approx22.4$보다 짧으므로 범위 안에 들어간다. 그림과도 맞는다. $CE=20-10\sqrt3\approx2.7$은 작아서 $E$가 $C$에 가깝고, 그래서 $\overline{AE}$는 꼭짓점끼리의 대각선 $\overline{AC}\approx22.4$에 거의 가까워야 하는데 $20$이 실제로 그 바로 아래에 있다. 모두 일관되며 답은 (E)이다.

대안 접근: 제곱근 계산을 건너뛸 수도 있다. $DE=10\sqrt3$과 $AD=10$을 얻으면 삼각형 $ADE$의 두 변의 비가 $1:\sqrt3$인데, 이는 $30\text{-}60\text{-}90$ 삼각형의 특징이고 그 빗변은 항상 짧은 변의 두 배이다. 따라서 $AE=2\cdot10=20$이 바로 나온다. 어느 방법이든 $\tan15^\circ=2-\sqrt3$이라는 특별한 사실 하나에 기댄다. 이 값은 $15^\circ=45^\circ-30^\circ$에 탄젠트 뺄셈 공식을 적용해도 얻을 수 있다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.8 Solve real-world problems by graphing points in all four quadrants (직사각형의 꼭짓점을 정확한 좌표에 놓아 두 직각삼각형과 그 변들을 잴 수 있게 만드는 데 사용.)
8.G.A.4 Understand that a two-dimensional figure is similar to another using transformations ($15^\circ$ 각이 직각삼각형 $BCE$의 모양을 확정함을 이용해 두 변의 비를 상수 $\tan15^\circ=2-\sqrt3$로 두고 $CE=20-10\sqrt3$, $DE=10\sqrt3$을 얻는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (직각삼각형 $ADE$의 두 변 $AD=10$과 $DE=10\sqrt3$을 결합해 $AE^2=400$을 구하는 데 사용.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions ($AE=\sqrt{400}=20$을 취해 정수 길이를 얻고 선택지 (E)와 맞추는 데 사용.)

⭐ $15^\circ$ 각이 $CE=20-10\sqrt3$을 정하므로 $DE=10\sqrt3$이고, 그러면 $D$의 직각 덕분에 $AE=\sqrt{10^2+(10\sqrt3)^2}=\sqrt{400}=20$이 된다.