AMC 10 · 2014 · #22

학년 8 geometry-2d

pythagorean-theoremthirty-sixty-ninety-triangle identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

직사각형 ABCD에서 긴 변 AB와 CD의 길이는 20이고, 짧은 변 BC와 AD의 길이는 10이다. 점 E는 윗변 CD 위에 있으며 ∠ CBE=15°를 이룬다. 이때 AE의 길이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{20\sqrt3}3$

(B)

$10\sqrt3$

(C)

(D)

$11\sqrt3$

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

문제 전체가 하나의 그림 안에 있으므로 도구 #1(그림 그리기)이 중심이다. 직사각형을 그리고 윗변에 E를 찍으면 안에 숨어 있던 두 직각삼각형이 드러난다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 깔끔하게 나눈다. 먼저 15° 각이 들어 있는 작은 직각삼각형 BCE를 다루고, 그다음 AE를 실제로 품고 있는 직각삼각형 ADE를 다룬다. 도구 #4(변수 도입하기)로 모르는 길이 CE에 이름을 붙이면 15° 각이 그 값을 확정해 준다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 깔끔한 최종 길이를 다섯 선택지 중 하나와 맞춰 마무리한다.

1STEP 1

좌표를 놓고 두 직각삼각형을 찾기

직사각형을 좌표축에 놓고 E=(x,10)이라 하면, C와 D에서 직각삼각형 BCE와 ADE가 드러나고 AE는 ADE의 빗변이다.

A=(0,0), B=(20,0), C=(20,10), D=(0,10), E=(x,10)

2STEP 2

15도 각으로 CE와 DE 구하기

삼각형 BCE에서 B의 15° 각이 CE=10 tan 15°=20-10√3을 주므로, 윗변의 나머지는 DE=10√3이다.

CE=10tan15°=10(2-√3)=20-10√3, DE=20-CE=10√3

3STEP 3

삼각형 ADE에 피타고라스 정리 적용

직각삼각형 ADE의 두 변이 AD=10, DE=10√3이므로 제곱해 더하면 AE²=100+300=400이다.

AE²=AD²+DE²=10²+(10√3)²=100+300=400

4STEP 4

제곱근을 구해 선택지와 맞추기

400이 완전제곱수이므로 제곱근이 깔끔하다. AE=√400=20이고, 이는 정확히 선택지 (E)이다.

AE=√(400)=20 (E)

정답

답 20은 직사각형 안의 비스듬한 길이로서 그럴듯해야 한다. 이는 짧은 변 AD=10보다 길고 전체 대각선 AC=√(20²+10²)=√(500)≈22.4보다 짧으므로 범위 안에 들어간다. 그림과도 맞는다. CE=20-10√3≈2.7은 작아서 E가 C에 가깝고, 그래서 AE는 꼭짓점끼리의 대각선 AC≈22.4에 거의 가까워야 하는데 20이 실제로 그 바로 아래에 있다. 모두 일관되며 답은 (E)이다.

💡핵심 정리

15° 각이 CE=20-10√3을 정하므로 DE=10√3이고, 그러면 D의 직각 덕분에 AE=√(10²+(10√3)²)=√(400)=20이 된다.

좌표를 놓고 두 직각삼각형을 찾기
15도 각으로 CE와 DE 구하기
삼각형 ADE에 피타고라스 정리 적용
제곱근을 구해 선택지와 맞추기

좌표를 놓고 두 직각삼각형을 찾기

15도 각으로 CE와 DE 구하기

삼각형 ADE에 피타고라스 정리 적용

제곱근을 구해 선택지와 맞추기

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