AMC 10 · 2014 · #24

학년 6 arithmetic

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula

pattern-recognitionsequences-arithmetictriangular-numbers pattern-recognitionconvert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 자연수의 수열은 다음과 같이 만들어진다. 처음 $4$ 개를 나열하고, 한 개를 건너뛰고, 다음 $5$ 개를 나열하고, $2$ 개를 건너뛰고, $6$ 개를 나열하고, $3$ 개를 건너뛰며, $n$ 번째 단계에서는 $n+3$ 개를 나열하고 $n$ 개를 건너뛴다. 이 수열은 $1,2,3,4,6,7,8,9,10,13$ 으로 시작한다. 이 수열의 $500,\!000$ 번째 수는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$996,\!506$

(B)

$996,\!507$

(C)

$996,\!508$

(D)

$996,\!509$

(E)

$996,\!510$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 자연수 목록을 여러 라운드로 만든다. 라운드 $n$에서는 다음 $n+3$개의 수를 적고, 그다음 $n$개의 수를 건너뛴다. 그래서 라운드 1은 $4$개를 적고 $1$개를 건너뛰며, 라운드 2는 $5$개를 적고 $2$개를 건너뛰고, 이런 식으로 이어져 적힌 목록은 $1,2,3,4,\;6,7,8,9,10,\;13,\dots$ 이 된다. 실제로 적힌 수들 중 $500{,}000$번째 수를 구하라.

주어진 것: 라운드 $n$은 연속한 자연수 $n+3$개를 적고, 그다음 $n$개를 건너뛴다; 적힌 목록은 $1,2,3,4,6,7,8,9,10,13,\dots$ 으로 시작한다; 적힌 수들 중 $500{,}000$번째 수의 값을 구한다; 선택지: (A) $996{,}506$, (B) $996{,}507$, (C) $996{,}508$, (D) $996{,}509$, (E) $996{,}510$

구하는 것: 적힌 목록에서 $500{,}000$번째 수의 실제 값

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #6 추측하고 확인하기, #16 관점 바꾸기

도구 #5(패턴 찾기)로 긴 규칙을 깔끔한 블록 구조로 바꾼다: 라운드 $n$은 적힌 수 $n+3$개와 건너뛴 수 $n$개를 만든다. 도구 #4(변수 도입하기)로 라운드 번호 $k$를 이름 붙이고, $k$번의 라운드 후 적힌 수가 몇 개인지 공식으로 세워 백만 개의 항을 나열하지 않아도 되게 한다. 도구 #6(추측하고 확인하기)로 $k=996$과 $k=997$을 그 공식에 넣어 $500{,}000$번째 적힌 수가 어느 라운드에 있는지 짚어낸다. 마지막으로 도구 #16(관점 바꾸기)으로 질문을 건너뛴 수 쪽으로 뒤집는다: 적힌 수의 값은 그 순번에 그 앞에서 건너뛴 수의 개수를 더한 것과 같고, 그 건너뛴 총합은 짧은 삼각수 계산이다.

실행 — 정답: A

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

라운드 패턴 읽기

수열을 라운드로 묶는다.
라운드 $n$은 $n+3$개를 적고 $n$개를 건너뛴다.
그래서 적히는 블록의 크기는 $4,5,6,7,\dots$ 이고 블록 사이 간격의 크기는 $1,2,3,\dots$ 이다.
적은 뒤 건너뛰므로 라운드 $n$은 다음 라운드가 시작되기 전까지 자연수를 모두 $(n+3)+n = 2n+3$개 사용한다.

$$\text{라운드 }n:\ (n+3)\text{개 적기},\ n\text{개 건너뛰기} \ \Rightarrow\ 2n+3\text{개 사용}$$

💡 반복되는 한 라운드에 이름을 붙이면 끝없는 목록 전체를 규칙 하나로 설명할 수 있다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

k번 라운드 후 적힌 수 세기

$k$를 라운드 번호라 하자.
$k$번의 라운드를 마친 뒤 적힌 총 개수는 $4+5+6+\dots+(k+3)$ 이다.
이는 합 $\sum_{n=1}^{k}(n+3)=\frac{k(k+1)}{2}+3k=\frac{k^2+7k}{2}$ 이다.
이것을 $L(k)$라 하자: 라운드 $k$를 마쳤을 때 적힌 수의 개수다.

$$L(k)=\sum_{n=1}^{k}(n+3)=\frac{k(k+1)}{2}+3k=\frac{k^2+7k}{2}$$

💡 블록 크기의 누적 합은 각 항에 상수를 더한 삼각수 합일 뿐이다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.A.2 단계 3

500,000번째 수가 든 라운드 찾기

$L(k)$가 $500{,}000$에 이르러야 하므로 $\frac{k^2+7k}{2}\approx 500{,}000$, 즉 $k^2+7k\approx 1{,}000{,}000$ 을 풀면 $k\approx 996.5$ 이다.
가까운 두 라운드를 확인한다.
$L(996)=\frac{996^2+7\cdot996}{2}=\frac{992016+6972}{2}=499{,}494$.
$L(997)=\frac{997^2+7\cdot997}{2}=\frac{994009+6979}{2}=500{,}494$.
$499{,}494 < 500{,}000 \le 500{,}494$ 이므로, $500{,}000$번째 적힌 수는 라운드 $997$의 적힌 블록 안에 있다.

$$L(996)=499{,}494,\quad L(997)=500{,}494,\quad 499{,}494 < 500{,}000 \le 500{,}494$$

💡 연속한 두 라운드에서 총합을 계산하면 목표가 그 사이에 갇힌다.

#16 관점 바꾸기 5.NBT.B.5 단계 4

건너뛴 수로 관점 바꾸기

핵심 전환은 이렇다: $500{,}000$번째 적힌 수까지의 모든 자연수는 적혔거나 건너뛴 것이므로, 그 값은 순번($500{,}000$)에 그 앞에서 건너뛴 수의 개수를 더한 것과 같다.
$500{,}000$번째 적힌 수는 라운드 $997$의 블록 안에 있고, 이 블록은 라운드 $997$이 아직 아무것도 건너뛰기 전에 온다.
따라서 먼저 일어난 건너뛰기는 라운드 $1$부터 $996$까지뿐이다: 그 총합은 $S=1+2+\dots+996=\frac{996\cdot997}{2}=496{,}506$ 이다.

$$S=\sum_{n=1}^{996}n=\frac{996\cdot997}{2}=496{,}506$$

💡 적힌 수의 값은 자연수 속을 얼마나 걸어왔는지다: 밟은 걸음(적은 것)에 건너뛴 걸음을 더한 것이다.

#16 관점 바꾸기 4.NBT.B.4 단계 5

순번과 건너뛴 수 합치기

건너뛴 개수를 순번에 다시 더한다: 값 $=500{,}000+496{,}506=996{,}506$.
이는 선택지 (A)와 일치한다.
일의 자리로 빠르게 확인하면: 건너뛴 총합은 $6$으로 끝나고 $500{,}000$은 $0$으로 끝나므로 답은 $6$으로 끝나야 한다 — (A)만 그렇다.
수열의 $500{,}000$번째 수는 $\textbf{(A)}\ 996{,}506$ 이다.

$$500{,}000+496{,}506=996{,}506\ \Rightarrow\ \textbf{(A)}$$

💡 순번에 그 앞에서 건너뛴 모든 것을 더하면 덧셈 한 번으로 실제 값이 나온다.

[1] #5 4.OA.C.5 수열을 라운드로 묶는다. 라운드 $n$은 $n+3$개를 적고 $n$개를 건너뛴다. 그래서 적히는 블록의 크기는 $4,5,6,7,\dots$ 이고

[2] #4 6.EE.B.6 $k$를 라운드 번호라 하자. $k$번의 라운드를 마친 뒤 적힌 총 개수는 $4+5+6+\dots+(k+3)$ 이다. 이는 합 $\sum_{n=

[3] #6 6.EE.A.2 $L(k)$가 $500{,}000$에 이르러야 하므로 $\frac{k^2+7k}{2}\approx 500{,}000$, 즉 $k^2+7k\app

[4] #16 5.NBT.B.5 핵심 전환은 이렇다: $500{,}000$번째 적힌 수까지의 모든 자연수는 적혔거나 건너뛴 것이므로, 그 값은 순번($500{,}000$)에 그

[5] #16 4.NBT.B.4 건너뛴 개수를 순번에 다시 더한다: 값 $=500{,}000+496{,}506=996{,}506$. 이는 선택지 (A)와 일치한다. 일의 자리로

검토

합리성 확인: 자연수를 직접 따라가며 교차 확인한다. 라운드 $996$ 후 사용된 수(적힌 것과 건너뛴 것)는 총 $L(996)+S=499{,}494+496{,}506=996{,}000$ 이므로, 라운드 $997$은 $996{,}001$부터 적기 시작한다. 라운드 $997$은 $1000$개를 적어 적힌 순번 $499{,}495$부터 $500{,}494$까지를 차지한다. $500{,}000$번째 적힌 수는 이 중 $(500{,}000-499{,}494)=506$번째이고, 값은 $996{,}001+505=996{,}506$ 이다. 두 방법이 일치하며, 답은 선택지 무리의 한가운데에 있어 $996{,}500$ 부근 값이 놓일 자리에 정확히 들어맞는다. 따라서 (A)가 확정된다.

대안 접근: 라운드별 장부 정리를 건너뛰고 어림으로 시작할 수도 있다: $m$번째 적힌 수의 값은 대략 $m$에 건너뛴 수 약 $m/2$개를 더한 것이므로(각 라운드는 적는 수의 약 절반을 건너뛴다) 대략 $1.5\times500{,}000=750{,}000$ 규모로 잡은 뒤 정확한 삼각수 합으로 다듬는다. 더 깔끔하게는 값 $=$ 순번 $+$ 건너뛴 수라 두고, 건너뛴 수를 삼각수 $\frac{k(k+1)}{2}$로 쓴 뒤 순번 $500{,}000$이 라운드 $k+1$ 안에 들어가게 하는 $k$를 구하면 $k=996$과 같은 $996{,}506$이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 만들기 (적기-건너뛰기 규칙을 블록 크기 $n+3$과 간격 $n$의 반복되는 라운드 구조로 바꾸기.)
6.EE.B.6 변수를 사용해 수를 나타내고 문제 해결을 위한 식 세우기 (라운드 변수 $k$를 도입하고 적힌 개수 $L(k)=\frac{k^2+7k}{2}$ 유도하기.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (목표가 든 라운드를 찾기 위해 $L(996)=499{,}494$와 $L(997)=500{,}494$ 계산하기.)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수를 능숙하게 곱하기 (건너뛴 총합 $\frac{996\cdot997}{2}=496{,}506$ 계산하기.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수를 능숙하게 더하고 빼기 (순번과 건너뛴 수의 덧셈 $500{,}000+496{,}506=996{,}506$, 그리고 교차 확인 $499{,}494+496{,}506=996{,}000$.)

⭐ 적힌 수의 값은 자연수에서 네가 서 있는 자리다: 건너뛴 것을 모두 더해 네 순번에 얹어라.