AMC 10 · 2014 · #24

학년 6 arithmetic
유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula
pattern-recognitionsequences-arithmetictriangular-numbers pattern-recognitionconvert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
자연수 목록을 여러 라운드로 만든다. 라운드 n에서는 다음 n+3개의 수를 적고, 그다음 n개의 수를 건너뛴다. 그래서 라운드 1은 4개를 적고 1개를 건너뛰며, 라운드 2는 5개를 적고 2개를 건너뛰고, 이런 식으로 이어져 적힌 목록은 1,2,3,4, 6,7,8,9,10, 13,… 이 된다. 실제로 적힌 수들 중 500,000번째 수를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$996,\!506$
(B)
$996,\!507$
(C)
$996,\!508$
(D)
$996,\!509$
(E)
$996,\!510$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

도구 #5(패턴 찾기)로 긴 규칙을 깔끔한 블록 구조로 바꾼다: 라운드 n은 적힌 수 n+3개와 건너뛴 수 n개를 만든다. 도구 #4(변수 도입하기)로 라운드 번호 k를 이름 붙이고, k번의 라운드 후 적힌 수가 몇 개인지 공식으로 세워 백만 개의 항을 나열하지 않아도 되게 한다. 도구 #6(추측하고 확인하기)로 k=996과 k=997을 그 공식에 넣어 500,000번째 적힌 수가 어느 라운드에 있는지 짚어낸다. 마지막으로 도구 #16(관점 바꾸기)으로 질문을 건너뛴 수 쪽으로 뒤집는다: 적힌 수의 값은 그 순번에 그 앞에서 건너뛴 수의 개수를 더한 것과 같고, 그 건너뛴 총합은 짧은 삼각수 계산이다.

1STEP 1

라운드 패턴 읽기

라운드 n은 n+3개를 적고 n개를 건너뛴다: 블록 4,5,6,… 간격 1,2,3,… 한 라운드가 2n+3개를 쓴다.

라운드 n: (n+3)개 적기, n개 건너뛰기 → 2n+3개 사용
2STEP 2

k번 라운드 후 적힌 수 세기

k번 라운드 후 적힌 개수는 4+5+…+(k+3), 곧 삼각수 합이다: L(k)=(k²+7k)/2.

L(k)=Σ_n=1^k(n+3)=(k(k+1))/2+3k=(k²+7k)/2
3STEP 3

500,000번째 수가 든 라운드 찾기

(k²+7k)/2≈500,000 → k≈996.5, L(996)=499,494 ＜ 500,000 ≤ L(997), 라운드 997.

L(996)=499,494, L(997)=500,494, 499,494 ＜ 500,000 ≤ 500,494
4STEP 4

건너뛴 수로 관점 바꾸기

관점 전환: 값 = 순번 + 앞의 건너뛴 개수. 라운드 997은 적은 뒤에야 건너뛰므로 S=1+2+…+996=496,506.

S=Σ_n=1⁹⁹⁶n=(996·997)/2=496,506
5STEP 5

순번과 건너뛴 수 합치기

건너뛴 개수를 더한다: 500,000+496,506=996,506, 곧 (A). 일의 자리가 6인 선택지도 (A)뿐이다.

500,000+496,506=996,506 → (A)
정답
996, 506
자연수를 직접 따라가며 교차 확인한다. 라운드 996 후 사용된 수(적힌 것과 건너뛴 것)는 총 L(996)+S=499,494+496,506=996,000 이므로, 라운드 997은 996,001부터 적기 시작한다. 라운드 997은 1000개를 적어 적힌 순번 499,495부터 500,494까지를 차지한다. 500,000번째 적힌 수는 이 중 (500,000-499,494)=506번째이고, 값은 996,001+505=996,506 이다. 두 방법이 일치하며, 답은 선택지 무리의 한가운데에 있어 996,500 부근 값이 놓일 자리에 정확히 들어맞는다. 따라서 (A)가 확정된다.
💡핵심 정리

적힌 수의 값은 자연수에서 네가 서 있는 자리다: 건너뛴 것을 모두 더해 네 순번에 얹어라.

  • 라운드 패턴 읽기
  • k번 라운드 후 적힌 수 세기
  • 500,000번째 수가 든 라운드 찾기
  • 건너뛴 수로 관점 바꾸기
  • 순번과 건너뛴 수 합치기

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