AMC 10 · 2014 · #25

학년 8 number-theorycounting

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exponentspattern-recognitioninterval-arithmetic convert-to-algebracomplementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

수

5^{867}

은

2^{2013}

과

2^{2014}

사이에 있다.

1 \le m \le 2012

이고

5^n \lt 2^m \lt 2^{m+2} \lt 5^{n+1}

을 만족하는 정수 순서쌍

(m,n)

의 개수를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

278

(B)

279

(C)

280

(D)

281

(E)

282

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

수천 개에 이르는 순서쌍 (m,n)을 하나하나 좇는 것은 불가능하므로, 문제 전체를 작은 연립방정식으로 바꾸는 것이 계획이다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 '순서쌍 세기'를 '2의 거듭제곱 세 개를 품는 구간 (5ⁿ,5ⁿ⁺¹) 세기'로 다시 본다. 그런 구간 하나가 순서쌍 하나를 정확히 만들기 때문이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 세기를 유한하게 만드는 두 사실을 준다: 모든 구간은 2의 거듭제곱을 2개 또는 3개만 품는다(4 ＜ 5 ＜ 8이므로), 그리고 주어진 기준 2²⁰¹³ ＜ 5⁸⁶⁷ ＜ 2²⁰¹⁴이 구간의 개수와 2의 거듭제곱의 개수를 확정한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 두 종류의 구간을 a와 b로 두고 '전체 구간 수'와 '전체 거듭제곱 수'를 두 개의 일차방정식으로 적어 푼다. 어려움 전체가 한 식에서 다른 식을 빼는 것으로 무너진다.

1STEP 1

구간마다 2의 거듭제곱은 두 개 또는 세 개

$5^n$ 부터 $5^{n+1}$ 까지를 한 구간이라 하자. $2^2 \lt 5 \lt 2^3$ 이므로 구간은 2의 거듭제곱을 2개 또는 3개만 품는다.

2²=4 ＜ 5 ＜ 8=2³

2STEP 2

목표를 '거듭제곱 3개 구간'으로 다시 쓰기

$5^n \lt 2^m \lt 2^{m+2} \lt 5^{n+1}$ 은 그 구간이 거듭제곱 3개를 품는다는 뜻이고, 그러면 m은 저절로 정해진다.

5ⁿ ＜ 2^m ＜ 2^m+1 ＜ 2^m+2 ＜ 5ⁿ⁺¹⇔ 구간 (5ⁿ,5ⁿ⁺¹)이 2의 거듭제곱 3개를 품음

3STEP 3

구간과 2의 거듭제곱 개수 세기

구간은 $(5^0,5^1)$ 부터 $(5^{866},5^{867})$ 까지 867개, 그 안의 2의 거듭제곱 $2^1$ ~ $2^{2013}$ 은 2013개다.

867개 구간; 2¹,2²,…,2²⁰¹³→ 2013개의 2의 거듭제곱

4STEP 4

두 방정식을 세워 풀기

3개짜리 구간 수 a, 2개짜리 b로 두면 $a+b=867$ , $3a+2b=2013$ 이고, 첫 식의 두 배를 빼면 279, 곧 (B)다.

a+b=867, 3a+2b=2013 → a=2013-2 · 867=279 → (B)

정답

279

a=279이면 b=867-279=588이 되고, 두 합계가 모두 맞다: 구간 279+588=867개, 거듭제곱 3 · 279+2 · 588=837+1176=2013개. 한 구간당 평균 2013/867≈ 2.32개의 거듭제곱을 품어 2와 3 사이이면서 2에 더 가까운데, 이는 2-구간(588개)이 3-구간(279개)보다 많다는 사실과 일치한다. 278이나 280 같은 이웃 보기는 두 합계 중 하나를 깨뜨리므로 279만이 모순 없는 값이다. 센 모든 m은 최대 2011이므로 m ≤ 2012 조건도 지켜진다.

💡핵심 정리

5의 거듭제곱 사이의 각 틈은 2의 거듭제곱을 2개 또는 3개 품는다. 두 합계 — 틈 867개와 거듭제곱 2013개 — 가 넉넉한 세-거듭제곱 틈이 정확히 279개임을 못박는다.

구간마다 2의 거듭제곱은 두 개 또는 세 개
목표를 '거듭제곱 3개 구간'으로 다시 쓰기
구간과 2의 거듭제곱 개수 세기
두 방정식을 세워 풀기

구간마다 2의 거듭제곱은 두 개 또는 세 개

목표를 '거듭제곱 3개 구간'으로 다시 쓰기

구간과 2의 거듭제곱 개수 세기

두 방정식을 세워 풀기

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