AMC 10 · 2014 · #25
학년 8 arithmetic수 5867은 22013과 22014 사이에 있다. 1≤m≤2012이고 5n<2m<2m+2<5n+1? 를 만족하는 정수 쌍 (m,n)은 몇 쌍인가?
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AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $5$의 거듭제곱이 수직선을 여러 구간으로 나눈다. 지수 $n$에 대응하는 구간은 $5^n$과 $5^{n+1}$ 사이의 열린 구간이다. $1\le m\le 2012$이면서 $5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$을 만족하는 정수 순서쌍 $(m,n)$의 개수를 구하라. 즉 연속한 세 개의 $2$의 거듭제곱 $2^m,2^{m+1},2^{m+2}$을 품는 구간이 몇 개인지 세는 것이다. $5^{867}$은 $2^{2013}$과 $2^{2014}$ 사이에 있다고 주어진다.
주어진 것: $2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$; $1\le m\le 2012$인 정수 순서쌍 $(m,n)$을 찾는다; 순서쌍이 만족해야 할 조건은 $5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$; 보기: (A) $278$, (B) $279$, (C) $280$, (D) $281$, (E) $282$
구하는 것: 부등식 사슬을 만족하는 순서쌍 $(m,n)$의 개수
이해
문제 재정리: $5$의 거듭제곱이 수직선을 여러 구간으로 나눈다. 지수 $n$에 대응하는 구간은 $5^n$과 $5^{n+1}$ 사이의 열린 구간이다. $1\le m\le 2012$이면서 $5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$을 만족하는 정수 순서쌍 $(m,n)$의 개수를 구하라. 즉 연속한 세 개의 $2$의 거듭제곱 $2^m,2^{m+1},2^{m+2}$을 품는 구간이 몇 개인지 세는 것이다. $5^{867}$은 $2^{2013}$과 $2^{2014}$ 사이에 있다고 주어진다.
주어진 것: $2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$; $1\le m\le 2012$인 정수 순서쌍 $(m,n)$을 찾는다; 순서쌍이 만족해야 할 조건은 $5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$; 보기: (A) $278$, (B) $279$, (C) $280$, (D) $281$, (E) $282$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #16 관점 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기
수천 개에 이르는 순서쌍 $(m,n)$을 하나하나 좇는 것은 불가능하므로, 문제 전체를 작은 연립방정식으로 바꾸는 것이 계획이다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 '순서쌍 세기'를 '$2$의 거듭제곱 세 개를 품는 구간 $(5^n,5^{n+1})$ 세기'로 다시 본다. 그런 구간 하나가 순서쌍 하나를 정확히 만들기 때문이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 세기를 유한하게 만드는 두 사실을 준다: 모든 구간은 $2$의 거듭제곱을 $2$개 또는 $3$개만 품는다($4<5<8$이므로), 그리고 주어진 기준 $2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$이 구간의 개수와 $2$의 거듭제곱의 개수를 확정한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 두 종류의 구간을 $a$와 $b$로 두고 '전체 구간 수'와 '전체 거듭제곱 수'를 두 개의 일차방정식으로 적어 푼다. 어려움 전체가 한 식에서 다른 식을 빼는 것으로 무너진다.
실행 — 정답: B
8.EE.A.1 단계 1 구간마다 2의 거듭제곱은 두 개 또는 세 개
- 한 구간, 즉 $5^n$과 $5^{n+1}$ 사이를 보자.
- 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝으로 가면 $5$배가 된다.
- $2$의 한 거듭제곱에서 다음 거듭제곱으로 가면 $2$배가 된다.
- $2^2=4<5<8=2^3$이므로 $5$배는 $2$배 두 번보다는 크고 세 번보다는 작다.
- 따라서 각 구간은 $2$의 거듭제곱을 정확히 $2$개 또는 정확히 $3$개 품는다 — 더 적지도 더 많지도 않다.
💡 $5$가 $4$와 $8$ 사이에 있으므로 $5$배 한 걸음은 $2$배 두 걸음 또는 세 걸음과 같다.
6.EE.B.5 단계 2 목표를 '거듭제곱 3개 구간'으로 다시 쓰기
- 조건 $5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$은 연속한 세 거듭제곱 $2^m$, $2^{m+1}$, $2^{m+2}$을 $5^n$과 $5^{n+1}$ 사이 구간 안에 완전히 집어넣는다.
- 그래서 어떤 구간에 대해 순서쌍 $(m,n)$이 존재하는 것은 정확히 그 구간이 $2$의 거듭제곱 $3$개를 품을 때이고, 그때 $m$은 저절로 정해진다 — 안에 든 가장 작은 거듭제곱의 지수다.
- 따라서 순서쌍 $(m,n)$을 세는 일은 거듭제곱 $3$개를 품는 구간을 세는 일과 완전히 같다.
💡 $2$배를 세 번 넣을 만큼 넉넉한 구간이 순서쌍 하나를 주므로, 순서쌍 대신 넉넉한 구간을 센다.
6.NS.C.7 단계 3 구간과 2의 거듭제곱 개수 세기
- 구간은 $5^0$과 $5^1$ 사이 구간부터 $5^{866}$과 $5^{867}$ 사이 구간까지, $n=0,1,\ldots,866$마다 하나씩 있으므로 $867$개다.
- 이 전체 범위 안, 즉 $5^0=1$보다 크고 $5^{867}$보다 작은 $2$의 거듭제곱은 $2^1,2^2,\ldots,2^{2013}$이다.
- 기준 $2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$이 $2^{2013}$이 $5^{867}$보다 작은 마지막 $2$의 거듭제곱임을 말해 주기 때문이다.
- 그래서 $2013$개의 거듭제곱이 $867$개의 구간에 나뉘어 들어간다.
💡 $5$의 거듭제곱과 $2$의 거듭제곱을 순서대로 늘어놓고, 범위 안에 각각 몇 개가 드는지 읽으면 된다.
8.EE.C.8 단계 4 두 방정식을 세워 풀기
- $2$의 거듭제곱 $3$개를 품는 구간 수를 $a$, $2$개를 품는 구간 수를 $b$라 하자.
- 모든 구간은 둘 중 하나이므로 $a+b=867$이다.
- 구간별로 거듭제곱을 더하면 $3$-구간이 $3a$, $2$-구간이 $2b$를 내놓고, 둘을 합치면 전체 $2013$개를 이루므로 $3a+2b=2013$이다.
- 두 번째 식에서 첫 식의 두 배를 빼면 $b$가 사라진다: $(3a+2b)-(2a+2b)=2013-1734$이므로 $a=279$이다.
- $a$가 곧 유효한 순서쌍의 개수이므로 답은 (B) $279$이다.
💡 두 개의 합계 — 구간 수와 거듭제곱 수 — 가 두 미지의 개수를 정확히 못박는다.
8.EE.A.1 한 구간, 즉 $5^n$과 $5^{n+1}$ 사이를 보자. 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝으로 가면 $5$배가 된다. $2$의 한 거듭제곱에서 다음 거듭 6.EE.B.5 조건 $5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$은 연속한 세 거듭제곱 $2^m$, $2^{m+1}$, $2^{m+2}$을 $5^n$과 $5^ 6.NS.C.7 구간은 $5^0$과 $5^1$ 사이 구간부터 $5^{866}$과 $5^{867}$ 사이 구간까지, $n=0,1,\ldots,866$마다 하나씩 8.EE.C.8 $2$의 거듭제곱 $3$개를 품는 구간 수를 $a$, $2$개를 품는 구간 수를 $b$라 하자. 모든 구간은 둘 중 하나이므로 $a+b=867$ 검토
합리성 확인: $a=279$이면 $b=867-279=588$이 되고, 두 합계가 모두 맞다: 구간 $279+588=867$개, 거듭제곱 $3\cdot 279+2\cdot 588=837+1176=2013$개. 한 구간당 평균 $2013/867\approx 2.32$개의 거듭제곱을 품어 $2$와 $3$ 사이이면서 $2$에 더 가까운데, 이는 $2$-구간($588$개)이 $3$-구간($279$개)보다 많다는 사실과 일치한다. $278$이나 $280$ 같은 이웃 보기는 두 합계 중 하나를 깨뜨리므로 $279$만이 모순 없는 값이다. 센 모든 $m$은 최대 $2011$이므로 $m\le 2012$ 조건도 지켜진다.
대안 접근: 연속적으로 생각해 보자. $5$배 한 번은 $\log_2 5\approx 2.3219$번의 $2$배와 같으므로, 각 구간은 $\log_2 5-2\approx 0.3219$개의 추가 거듭제곱을 얻는 셈이다. $867$개 구간에 대해 $0.3219\times 867\approx 279$개의 세-거듭제곱 구간이 나온다. 이 균등분포 관점도 똑같이 $279$에 이르고, 답이 $867$의 약 삼분의 일에 가까운 이유를 설명한다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.A.1Know and apply the properties of integer exponents ($2$와 $5$의 거듭제곱을 지수로 비교하여 각 구간 $(5^n,5^{n+1})$이 $2$의 거듭제곱을 $2$개 또는 $3$개 품음을 보이기.)6.EE.B.5Understand solving an equation or inequality as a process of finding values (부등식 사슬 $5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$을 '이 구간은 연속한 세 거듭제곱을 품는다'는 문장으로 읽기.)6.NS.C.7Understand ordering and absolute value of rational numbers ($5$와 $2$의 거듭제곱을 수직선 위에 순서대로 늘어놓아 구간 $867$개와, 기준 $2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$을 통해 그 안의 거듭제곱 $2013$개를 세기.)8.EE.C.8Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations ($a+b=867$과 $3a+2b=2013$을 풀어 세-거듭제곱 구간 수 $a=279$ 구하기.)
⭐ $5$의 거듭제곱 사이의 각 틈은 $2$의 거듭제곱을 $2$개 또는 $3$개 품는다. 두 합계 — 틈 $867$개와 거듭제곱 $2013$개 — 가 넉넉한 세-거듭제곱 틈이 정확히 $279$개임을 못박는다.
⭐ $5$의 거듭제곱 사이의 각 틈은 $2$의 거듭제곱을 $2$개 또는 $3$개 품는다. 두 합계 — 틈 $867$개와 거듭제곱 $2013$개 — 가 넉넉한 세-거듭제곱 틈이 정확히 $279$개임을 못박는다.
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