AMC 10 · 2014 · #5
학년 6 arithmetic어떤 대수 시험에서 학생의 10%가 70점, 35%가 80점, 30%가 90점을 받았고, 나머지는 100점을 받았다. 이 시험에서 학생들 점수의 평균과 중앙값의 차이는 얼마인가?
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AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 어떤 퀴즈에서 학생의 $10\%$가 $70$점, $35\%$가 $80$점, $30\%$가 $90$점을 받았고, 나머지는 모두 $100$점을 받았습니다. 점수의 평균과 중앙값의 차이를 구하세요.
주어진 것: $10\%$가 $70$점; $35\%$가 $80$점; $30\%$가 $90$점; 나머지는 $100$점; 보기: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$
구하는 것: 전체 점수의 평균; 전체 점수의 중앙값; 평균과 중앙값의 (양의) 차이
이해
문제 재정리: 어떤 퀴즈에서 학생의 $10\%$가 $70$점, $35\%$가 $80$점, $30\%$가 $90$점을 받았고, 나머지는 모두 $100$점을 받았습니다. 점수의 평균과 중앙값의 차이를 구하세요.
주어진 것: $10\%$가 $70$점; $35\%$가 $80$점; $30\%$가 $90$점; 나머지는 $100$점; 보기: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$
계획
주요 도구: #15 다르게 정리하기
보조 도구: #16 관점 바꾸기, #4 변수 도입하기
점수가 그냥 나열된 목록이 아니라 분포(각 점수를 받은 학생의 비율)로 주어졌어요. 도구 #15는 이럴 때 데이터를 표로 정리하라고 말합니다 — 점수, 학생 비율, 누적 비율을 나란히 두면 그 표 하나가 두 답을 모두 내줍니다. 평균은 비율로 계산한 가중합이고, 중앙값은 누적 비율이 절반을 처음 넘는 지점이에요. 먼저 도구 #16으로 빈칸을 메웁니다: 네 집단의 합이 $100\%$여야 하므로 언급되지 않은 집단은 나머지의 여집합입니다. 그다음 도구 #4로 세는 일을 구체화합니다 — 비율을 그대로 다루는 대신 편한 학급 인원을 하나 골라 모든 집단이 학생 정수 명이 되게 하면 중앙값을 콕 집기 쉬워집니다.
실행 — 정답: C
6.RP.A.3 단계 1 빠진 집단 찾기
- 네 집단이 모든 학생을 다 차지해야 하므로 비율의 합은 $100\%$입니다.
- 알려진 세 비율을 빼서 마지막 비율을 구합니다.
💡 "나머지"는 언제나 이름 붙은 부분들을 뺀 나머지 — 전체까지 채우는 여집합이에요.
6.RP.A.3 단계 2 편한 학급 인원 고르기
- 실제 인원수에 답이 의존하지 않으니, 모든 비율이 학생 정수 명이 되는 수를 고릅니다.
- $20$명이면 됩니다: $20$의 $10\%$, $35\%$, $30\%$, $25\%$가 모두 정수예요.
💡 비율을 실제 학생 $20$명으로 바꾸면 한가운데 학생을 찾기가 쉬워져요.
6.SP.B.5 단계 3 평균 구하기
- 평균은 $20$명의 점수 총합을 $20$으로 나눈 값입니다.
- 각 점수에 그 점수를 받은 학생 수를 곱해 더한 뒤 나눕니다.
💡 가중평균은 각 점수를 실제로 나온 횟수만큼 세어 주는 것뿐이에요.
6.SP.B.5 단계 4 중앙값 찾기
- $20$개의 점수를 작은 것부터 큰 것까지 줄 세웁니다.
- 중앙값은 $10$번째와 $11$번째 점수의 평균이에요.
- 누적으로 보면 $1$–$2$번째는 $70$, $3$–$9$번째는 $80$, $10$–$15$번째는 $90$입니다.
- 따라서 $10$번째와 $11$번째 점수는 모두 $90$입니다.
💡 중앙값은 누적 개수가 절반을 처음 넘는 자리에 있어요 — 여기서는 $90$ 집단 안이죠.
6.NS.B.3 단계 5 차이 구하기
- 큰 중심값에서 작은 중심값을 뺍니다.
- 평균은 $87$, 중앙값은 $90$이므로 차이는 $90 - 87 = 3$입니다.
💡 낮은 $70$점들이 평균을 중앙값보다 아래로 끌어내리므로, 그 사이의 간격이 우리가 답할 값이에요.
6.RP.A.3 네 집단이 모든 학생을 다 차지해야 하므로 비율의 합은 $100\%$입니다. 알려진 세 비율을 빼서 마지막 비율을 구합니다. 6.RP.A.3 실제 인원수에 답이 의존하지 않으니, 모든 비율이 학생 정수 명이 되는 수를 고릅니다. $20$명이면 됩니다: $20$의 $10\%$, $35\ 6.SP.B.5 평균은 $20$명의 점수 총합을 $20$으로 나눈 값입니다. 각 점수에 그 점수를 받은 학생 수를 곱해 더한 뒤 나눕니다. 6.SP.B.5 $20$개의 점수를 작은 것부터 큰 것까지 줄 세웁니다. 중앙값은 $10$번째와 $11$번째 점수의 평균이에요. 누적으로 보면 $1$–$2$번째 6.NS.B.3 큰 중심값에서 작은 중심값을 뺍니다. 평균은 $87$, 중앙값은 $90$이므로 차이는 $90 - 87 = 3$입니다. 검토
합리성 확인: 답은 학급 인원에 의존하면 안 되는데 실제로 의존하지 않습니다: 비율을 그대로 써도 평균은 $0.10\cdot70 + 0.35\cdot80 + 0.30\cdot90 + 0.25\cdot100 = 7 + 28 + 27 + 25 = 87$로 같고, 중앙값도 여전히 $90$입니다. $90$ 아래를 받은 학생이 $45\%$인 반면 위를 받은 학생은 $25\%$뿐이라, 절반 지점의 학생이 $90$ 집단에 놓이기 때문이죠. 평균 $87$, 중앙값 $90$, 차이 $3$. 평균이 중앙값보다 낮게 나온 것도 자연스러워요 — 적지만 무거운 $70$점 꼬리가 평균을 아래로 끌어당깁니다. 답 $3$은 보기 (C)입니다.
대안 접근: 학급 인원을 고르지 않고 비율만으로 따질 수도 있어요(중앙값에 도구 #16 적용): 아래쪽 $10\% + 35\% = 45\%$가 $80$점 이하이고, 여기에 $90$ 집단을 더하면 $75\%$에 이르므로 $50\%$ 지점은 $90$ 집단 안에 놓입니다 — 중앙값 $90$. 평균은 비율 가중합 $87$. 인원수를 지어낼 필요 없이 같은 차이 $3$이 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.RP.A.3비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기 (빠진 $25\%$ 집단을 $100\%$의 여집합으로 구하고, 각 비율을 $20$명 중 학생 정수 명으로 바꾸는 데 사용.)6.SP.B.5관측값의 개수와 중심 측도를 보고하여 수치 자료를 요약하기 (평균을 가중평균으로 계산하고, 순서대로 정렬한 점수/누적값에서 중앙값을 찾는 데 사용.)6.NS.B.3여러 자리 소수를 능숙하게 더하고, 빼고, 곱하고, 나누기 (가중합 계산과 마지막 뺄셈 $90 - 87 = 3$을 수행하는 데 사용.)
⭐ 비율 더미는 사실 순서 있는 데이터 목록이에요 — 표를 한 번 만들면 평균은 가중평균으로 나오고, 중앙값은 절반 지점에 앉아 있는 점수일 뿐입니다.
⭐ 비율 더미는 사실 순서 있는 데이터 목록이에요 — 표를 한 번 만들면 평균은 가중평균으로 나오고, 중앙값은 절반 지점에 앉아 있는 점수일 뿐입니다.
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