AMC 10 · 2014 · #8

학년 8 number-theory
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perfect-squaresfactorialprime-factorization convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: factorialperfect-squares
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
각 보기는 (연속한 두 팩토리얼의 곱)을 2로 나눈 꼴이며, 다섯 보기는 14!·15!/2, 15!·16!/2, 16!·17!/2, 17!·18!/2, 18!·19!/2 이다. 완전제곱수란 어떤 자연수를 두 번 곱한 값과 같은 정수이다. 다섯 보기 중 완전제곱수인 것은 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\dfrac{14!15!}2$
(B)
$\dfrac{15!16!}2$
(C)
$\dfrac{16!17!}2$
(D)
$\dfrac{17!18!}2$
(E)
$\dfrac{18!19!}2$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

거대한 팩토리얼 식 다섯 개를 하나씩 계산하는 것은 무리다 — 18! 하나만도 15자리 수다. 도구 #5로 다섯 보기가 모두 n이 14,15,16,17,18로 변하는 같은 식 (n! (n+1)!)/2 임을 알아챈다. 도구 #4로 그 지표를 n이라 이름 붙이고 공통 꼴을 다시 써서, 완전제곱수 여부를 n에 대한 아주 작은 조건으로 줄인다. (n+1)! = (n+1) · n! 이므로 곱 n! (n+1)! 은 (n!)²(n+1) — 완전제곱수에 남은 인수를 곱한 꼴 — 이 된다. 전체가 완전제곱수가 되는 것은 그 남은 인수 (n+1)/2 자체가 완전제곱수일 때뿐이다. 도구 #3으로 마무리한다: 각 보기의 n을 이 작은 조건에 넣어 하나만 남을 때까지 지워 나간다 — 팩토리얼은 끝까지 한 번도 계산할 필요가 없다.

1STEP 1

공통 꼴에 이름 붙이기

다섯 보기는 지표만 다른 같은 꼴이다. 작은 팩토리얼을 n으로 두면 보기는 곧 n = 14, 15, 16, 17, 18.

(n! (n+1)!)/2 (n = 14, 15, 16, 17, 18)
2STEP 2

완전제곱수 끌어내기

(n+1)! = (n+1)·n! 이므로 곱은 (n!)²(n+1), 2로 나누면 제곱 (n!)²에 (n+1)/2 를 곱한 꼴이다.

(n! (n+1)!)/2 = (n! (n+1) n!)/2 = (n!)²·(n+1)/2
3STEP 3

작은 조건 하나로 줄이기

제곱수에 곱한 수가 제곱수일 때만 전체가 제곱수다. 그러니 관건은 (n+1)/2 이 제곱수인지 뿐이다.

(n!)²·(n+1)/2 가 완전제곱수⇔ (n+1)/2 가 완전제곱수
4STEP 4

각 보기 확인하기

(n+1)/2을 보면 15/2, 17/2, 19/2는 정수가 아니고 16/2 = 8은 제곱수가 아니다. 18/2 = 9 만 통과.

n=14:15/2 (정수 아님); n=15:16/2=8; n=16:17/2 (정수 아님); n=17:18/2=9=3²; n=18:19/2 (정수 아님)
5STEP 5

정답 확정하기

n = 17만 (n+1)/2을 9 = 3²로 만든다. 조립하면 17!·18!/2 = (17!)²·9 = (3·17!)² → (D).

17! 18!/2 = (17!)² · 9 = (3 · 17!)² → (D)
정답
17!18!/2
이 조건은 (n+1)/2이 완전제곱수일 때만 보기가 성립한다고 말하며, 이는 n+1이 완전제곱수의 두 배여야 함을 뜻한다. 15, 16, 17, 18, 19 중 짝수는 16 = 2 · 8과 18 = 2 · 9 인데, 이 중 완전제곱수(9)를 돌려주는 것은 18 뿐이므로 정확히 한 보기만 조건을 만족한다 — AMC 정답답게. (D)를 직접 확인하면 17! 18!/2 = (3 · 17!)², 진짜 제곱이다. 아깝게 빗나간 경우들도 이를 뒷받침한다: (B)는 8 (2²과 3² 사이)을 주고, (A), (C), (E)는 반으로 나누면 정수조차 아니다. 정답은 (D)로, 정답 키와 일치한다.
💡핵심 정리

연속한 팩토리얼의 곱 속에는 완전제곱수 (n!)² 이 숨어 있다 — 그래서 중요한 것은 남은 조각 (n+1)/2도 완전제곱수인지 뿐이다.

  • 공통 꼴에 이름 붙이기
  • 완전제곱수 끌어내기
  • 작은 조건 하나로 줄이기
  • 각 보기 확인하기
  • 정답 확정하기

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