AMC 10 · 2014 · #8
학년 8 number-theory다음 수 중에서 완전제곱수인 것은 무엇인가?
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AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 각 보기는 (연속한 두 팩토리얼의 곱)을 $2$로 나눈 꼴이다. 이 중 완전제곱수 — 어떤 자연수를 두 번 곱한 값과 같은 정수 — 인 것이 무엇인지 찾아라.
주어진 것: 보기 (A)는 $\dfrac{14!\,15!}{2}$; 보기 (B)는 $\dfrac{15!\,16!}{2}$; 보기 (C)는 $\dfrac{16!\,17!}{2}$; 보기 (D)는 $\dfrac{17!\,18!}{2}$; 보기 (E)는 $\dfrac{18!\,19!}{2}$
구하는 것: 다섯 보기 중 완전제곱수인 것
이해
문제 재정리: 각 보기는 (연속한 두 팩토리얼의 곱)을 $2$로 나눈 꼴이다. 이 중 완전제곱수 — 어떤 자연수를 두 번 곱한 값과 같은 정수 — 인 것이 무엇인지 찾아라.
주어진 것: 보기 (A)는 $\dfrac{14!\,15!}{2}$; 보기 (B)는 $\dfrac{15!\,16!}{2}$; 보기 (C)는 $\dfrac{16!\,17!}{2}$; 보기 (D)는 $\dfrac{17!\,18!}{2}$; 보기 (E)는 $\dfrac{18!\,19!}{2}$
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기
거대한 팩토리얼 식 다섯 개를 하나씩 계산하는 것은 무리다 — $18!$ 하나만도 15자리 수다. 도구 #5로 다섯 보기가 모두 $n$이 $14,15,16,17,18$로 변하는 같은 식 $\dfrac{n!\,(n+1)!}{2}$ 임을 알아챈다. 도구 #4로 그 지표를 $n$이라 이름 붙이고 공통 꼴을 다시 써서, 완전제곱수 여부를 $n$에 대한 아주 작은 조건으로 줄인다. $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$ 이므로 곱 $n!\,(n+1)!$ 은 $(n!)^2(n+1)$ — 완전제곱수에 남은 인수를 곱한 꼴 — 이 된다. 전체가 완전제곱수가 되는 것은 그 남은 인수 $\dfrac{n+1}{2}$ 자체가 완전제곱수일 때뿐이다. 도구 #3으로 마무리한다: 각 보기의 $n$을 이 작은 조건에 넣어 하나만 남을 때까지 지워 나간다 — 팩토리얼은 끝까지 한 번도 계산할 필요가 없다.
실행 — 정답: D
6.EE.A.2 단계 1 공통 꼴에 이름 붙이기
- 다섯 보기는 시작하는 수만 다를 뿐 모양이 똑같다.
- 작은 팩토리얼을 변수 $n$으로 두어 공통 꼴을 쓰면, 다섯 보기는 곧 $n = 14, 15, 16, 17, 18$ 이 된다.
💡 글자 하나가 거의 같은 식 다섯 개를 대신하니, 한 번에 모두 풀 수 있다.
6.EE.A.1 단계 2 완전제곱수 끌어내기
- 다음 팩토리얼은 앞의 것에 인수 하나를 더 곱한 것이다: $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$.
- 이를 대입하면 두 팩토리얼은 $n!\cdot n!\cdot (n+1) = (n!)^2(n+1)$ 이 된다.
- $2$로 나누면 완전제곱수 $(n!)^2$ 에 $\dfrac{n+1}{2}$ 를 곱한 형태가 남는다.
💡 $n!$ 두 개를 곱한 것은 $(n!)^2$ — 저절로 생기는 완전제곱수라 옆으로 치워 둘 수 있다.
8.EE.A.2 단계 3 작은 조건 하나로 줄이기
- 완전제곱수에 다른 수를 곱한 값이 완전제곱수가 되는 것은 그 다른 수도 완전제곱수일 때뿐이다.
- $(n!)^2$ 은 이미 완전제곱수이므로, 전체 식이 완전제곱수가 되는 것은 $\dfrac{n+1}{2}$ 이 완전제곱수일 때와 정확히 같다.
💡 제곱 부분은 스스로 제곱을 유지하니, 남은 인수만이 제곱을 깨거나 완성할 수 있다.
8.EE.A.2 단계 4 각 보기 확인하기
- 각 보기의 $n$에 대해 $\dfrac{n+1}{2}$ 를 계산하고 완전제곱수인지 확인한다.
- 먼저 정수여야 하고, 그 다음 제곱수여야 한다.
💡 $n+1$ 이 짝수이면서 완전제곱수의 두 배일 때만 통과하는데, $18 = 2\cdot 9$ 가 바로 그 경우다.
8.EE.A.2 단계 5 정답 확정하기
- $n = 17$ 만이 $\dfrac{n+1}{2}$ 을 완전제곱수 $9 = 3^2$ 로 만든다.
- 이것이 보기 (D)이다.
- 다시 조립해 보면 전체 식이 깔끔한 제곱임이 드러난다.
💡 제곱 $(17!)^2$ 에 또 다른 제곱 $3^2$ 을 곱해도 완전제곱수가 그대로 유지되므로 (D)가 성립한다.
6.EE.A.2 다섯 보기는 시작하는 수만 다를 뿐 모양이 똑같다. 작은 팩토리얼을 변수 $n$으로 두어 공통 꼴을 쓰면, 다섯 보기는 곧 $n = 14, 15 6.EE.A.1 다음 팩토리얼은 앞의 것에 인수 하나를 더 곱한 것이다: $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$. 이를 대입하면 두 팩토리얼은 $n!\cd 8.EE.A.2 완전제곱수에 다른 수를 곱한 값이 완전제곱수가 되는 것은 그 다른 수도 완전제곱수일 때뿐이다. $(n!)^2$ 은 이미 완전제곱수이므로, 전체 8.EE.A.2 각 보기의 $n$에 대해 $\dfrac{n+1}{2}$ 를 계산하고 완전제곱수인지 확인한다. 먼저 정수여야 하고, 그 다음 제곱수여야 한다. 8.EE.A.2 $n = 17$ 만이 $\dfrac{n+1}{2}$ 을 완전제곱수 $9 = 3^2$ 로 만든다. 이것이 보기 (D)이다. 다시 조립해 보면 전체 검토
합리성 확인: 이 조건은 $\dfrac{n+1}{2}$ 이 완전제곱수일 때만 보기가 성립한다고 말하며, 이는 $n+1$ 이 완전제곱수의 두 배여야 함을 뜻한다. $15, 16, 17, 18, 19$ 중 짝수는 $16 = 2\cdot 8$ 과 $18 = 2\cdot 9$ 인데, 이 중 완전제곱수($9$)를 돌려주는 것은 $18$ 뿐이므로 정확히 한 보기만 조건을 만족한다 — AMC 정답답게. (D)를 직접 확인하면 $\dfrac{17!\,18!}{2} = (3\cdot 17!)^2$, 진짜 제곱이다. 아깝게 빗나간 경우들도 이를 뒷받침한다: (B)는 $8$ ($2^2$ 과 $3^2$ 사이)을 주고, (A), (C), (E)는 반으로 나누면 정수조차 아니다. 정답은 (D)로, 정답 키와 일치한다.
대안 접근: 소인수로 논증할 수도 있다. $\dfrac{n!\,(n+1)!}{2}$ 에서 $(n!)^2$ 부분은 모든 소인수의 지수를 짝수로만 기여한다. 따라서 완전제곱수가 되는 것은 $\dfrac{n+1}{2}$ 도 모든 지수를 짝수로 기여할 때, 즉 그 자체가 제곱수일 때뿐이다. 보기를 훑어보면 $\dfrac{17+1}{2} = 9 = 3^2$ 만이 완전제곱수이므로 (D)이다. 어떤 팩토리얼도 펼치지 않고 같은 결론에 이른다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.EE.A.2Write, read, and evaluate expressions in which letters stand for numbers (다섯 보기를 하나의 식 $\dfrac{n!\,(n+1)!}{2}$ 로 담기 위해 변수 $n$ 을 도입함.)6.EE.A.1Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents ($n!\cdot n!$ 을 $(n!)^2$ 으로 다시 써서 각 보기 안에 내장된 완전제곱수를 드러냄.)8.EE.A.2Use square root and cube root symbols to represent solutions (완전제곱수에 대한 추론: $\dfrac{n+1}{2}$ 이 완전제곱수여야 한다는 조건으로 줄이고 보기 (D)에서 $9 = 3^2$ 임을 인식함.)
⭐ 연속한 팩토리얼의 곱 속에는 완전제곱수 $(n!)^2$ 이 숨어 있다 — 그래서 중요한 것은 남은 조각 $\dfrac{n+1}{2}$ 도 완전제곱수인지 뿐이다.
⭐ 연속한 팩토리얼의 곱 속에는 완전제곱수 $(n!)^2$ 이 숨어 있다 — 그래서 중요한 것은 남은 조각 $\dfrac{n+1}{2}$ 도 완전제곱수인지 뿐이다.
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