AMC 10 · 2014 · #9

학년 8 geometry-2d

area-trianglespythagorean-theorem identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

직각삼각형의 두 변(직각을 낀 변)의 길이가 각각 2√3과 6이다. 직각삼각형에서는 두 변이 서로 수직이므로 각 변은 상대 변에 대한 높이(수선)이기도 하다. 따라서 주어진 두 길이는 이 삼각형의 세 높이 중 두 개다. 세 번째 높이, 곧 직각에서 빗변으로 내린 수선의 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

세 번째 높이는 곧바로 읽어낼 수 없으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 과제를 세 조각으로 나눈다: 두 변으로 넓이를 구하고, 빗변을 구하고, 그 빗변에 대응하는 높이를 구한다. 도구 #1(그림 그리기)은 핵심 사실을 눈에 보이게 한다 — 서로 수직인 두 변이 이미 밑변과 높이의 짝을 이루므로 넓이가 쉽게 나온다. 도구 #4(변수 도입하기)로 모르는 높이를 h로 놓으면, 고정된 넓이를 다른 방식으로 한 번 더 써서 풀 수 있다. 핵심 고리는 어느 변을 밑변으로 잡아도 넓이가 같다는 점이다.

1STEP 1

두 변을 밑변과 높이로 읽기

두 변은 직각에서 만나니 하나가 밑변, 다른 하나가 높이다. 넓이 = 1/2 · 2√3 · 6 = 6√3.

넓이 = 1/2 · 2√3 · 6 = 6√3

2STEP 2

빗변의 제곱 구하기

빗변은 직각의 맞은편이다. 피타고라스 정리로 c² = (2√3)² + 6² = 12 + 36 = 48.

c² = (2√3)² + 6² = 12 + 36 = 48

3STEP 3

빗변 간단히 하기

제곱근을 취해 완전제곱을 꺼낸다: c = √(48) = √(16 · 3) = 4√3. 이것이 세 번째 높이의 밑변이다.

c = √(48) = √(16 · 3) = 4√3

4STEP 4

세 번째 높이 풀기

빗변을 밑변, h를 그 위의 높이로 쓰면 1/2 · 4√3 · h = 6√3이므로 h = 3, 곧 선택지 (C)다.

2√3 h = 6√3 → h = 3 (C)

정답

다시 대입하면, 밑변 4√3과 높이 3으로 넓이는 1/2 · 4√3 · 3 = 6√3이 되어 두 변으로 구한 넓이와 일치한다. 값도 타당하다. 빗변에 대한 높이는 직각에서 맞은편 변까지의 가장 짧은 거리이므로 어느 변보다도 짧아야 한다. 실제로 3 ＜ 2√3 ≈ 3.46이고 3 ＜ 6이다. 그래서 변보다 큰 선택지 (D) 4와 (E) 5는 배제된다. 따라서 3, 곧 (C)가 맞다.

💡핵심 정리

넓이는 어느 밑변으로 잡아도 같으니, 두 변으로 넓이를 구하고 피타고라스로 빗변을 구한 뒤 다시 나눠 마지막 높이 3을 얻는다.

두 변을 밑변과 높이로 읽기
빗변의 제곱 구하기
빗변 간단히 하기
세 번째 높이 풀기

두 변을 밑변과 높이로 읽기

빗변의 제곱 구하기

빗변 간단히 하기

세 번째 높이 풀기

비슷한 유형 더 풀어보기