AMC 10 · 2014 · #9

학년 8 geometry-2d

area-trianglespythagorean-theorem identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 직각삼각형의 두 직각변은 (동시에 두 개의 높이이기도 하며) 길이가 각각 $2\sqrt3$ 과 $6$ 이다. 이 삼각형의 세 번째 높이의 길이는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직각삼각형의 두 변(직각을 낀 변)의 길이가 각각 $2\sqrt3$과 $6$이다. 직각삼각형에서는 두 변이 서로 수직이므로 각 변은 상대 변에 대한 높이(수선)이기도 하다. 따라서 주어진 두 길이는 이 삼각형의 세 높이 중 두 개다. 세 번째 높이, 곧 직각에서 빗변으로 내린 수선의 길이를 구하여라.

주어진 것: 삼각형에 직각이 있고, 직각을 낀 두 변의 길이가 각각 $2\sqrt3$과 $6$이다; 두 변은 서로 수직이므로 이 삼각형의 세 높이 중 두 개다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 세 번째 높이 — 직각에서 빗변으로 내린 수선의 길이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기

세 번째 높이는 곧바로 읽어낼 수 없으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 과제를 세 조각으로 나눈다: 두 변으로 넓이를 구하고, 빗변을 구하고, 그 빗변에 대응하는 높이를 구한다. 도구 #1(그림 그리기)은 핵심 사실을 눈에 보이게 한다 — 서로 수직인 두 변이 이미 밑변과 높이의 짝을 이루므로 넓이가 쉽게 나온다. 도구 #4(변수 도입하기)로 모르는 높이를 $h$로 놓으면, 고정된 넓이를 다른 방식으로 한 번 더 써서 풀 수 있다. 핵심 고리는 어느 변을 밑변으로 잡아도 넓이가 같다는 점이다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

두 변을 밑변과 높이로 읽기

두 변은 직각에서 만나므로 서로 수직이다.
한 변이 높이이면 다른 변이 밑변이 된다.
그러면 넓이가 바로 나온다: $\text{넓이} = \tfrac12 \cdot 2\sqrt3 \cdot 6 = 6\sqrt3$.

$$\text{넓이} = \tfrac12 \cdot 2\sqrt3 \cdot 6 = 6\sqrt3$$

💡 직각삼각형의 두 변은 이미 서로 수직이므로, 한 변을 밑변으로 잡는 순간 다른 변이 곧 높이가 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

빗변의 제곱 구하기

빗변은 직각의 맞은편 변이다.
피타고라스 정리에 따라 빗변의 제곱은 두 변의 제곱의 합이다: $c^2 = (2\sqrt3)^2 + 6^2 = 12 + 36 = 48$.

$$c^2 = (2\sqrt3)^2 + 6^2 = 12 + 36 = 48$$

💡 피타고라스 정리는 어떤 직각삼각형에서든 두 변에서 빗변으로 곧장 이어지는 다리다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 3

빗변 간단히 하기

제곱근을 취하고 완전제곱 인수를 밖으로 꺼낸다: $c = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt3$.
이것이 세 번째 높이의 밑변이 된다.

$$c = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt3$$

💡 근호 안에서 완전제곱을 빼내면 지저분한 $\sqrt{48}$이 계산하기 쉬운 $4\sqrt3$으로 깔끔해진다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 4

세 번째 높이 풀기

빗변에 대한 세 번째 높이를 $h$라 하자.
이 밑변으로 쓴 넓이는 $\tfrac12 \cdot 4\sqrt3 \cdot h = 2\sqrt3\,h$이다.
넓이는 여전히 $6\sqrt3$이므로 두 식을 같게 놓는다: $2\sqrt3\,h = 6\sqrt3$, 따라서 $h = 3$.
세 번째 높이의 길이는 $3$이고, 이는 선택지 (C)다.

$$2\sqrt3\,h = 6\sqrt3 \Rightarrow h = 3 \quad \textbf{(C)}$$

💡 넓이는 변하지 않으므로, 새 밑변으로 같은 넓이를 놓으면 그에 대응하는 높이가 바로 풀린다.

[1] #1 6.G.A.1 두 변은 직각에서 만나므로 서로 수직이다. 한 변이 높이이면 다른 변이 밑변이 된다. 그러면 넓이가 바로 나온다: $\text{넓이} = \tf

[2] #7 8.G.B.7 빗변은 직각의 맞은편 변이다. 피타고라스 정리에 따라 빗변의 제곱은 두 변의 제곱의 합이다: $c^2 = (2\sqrt3)^2 + 6^2 = 1

[3] #7 8.EE.A.2 제곱근을 취하고 완전제곱 인수를 밖으로 꺼낸다: $c = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt3$. 이것이 세

[4] #4 6.EE.B.7 빗변에 대한 세 번째 높이를 $h$라 하자. 이 밑변으로 쓴 넓이는 $\tfrac12 \cdot 4\sqrt3 \cdot h = 2\sqrt3\

검토

합리성 확인: 다시 대입하면, 밑변 $4\sqrt3$과 높이 $3$으로 넓이는 $\tfrac12 \cdot 4\sqrt3 \cdot 3 = 6\sqrt3$이 되어 두 변으로 구한 넓이와 일치한다. 값도 타당하다. 빗변에 대한 높이는 직각에서 맞은편 변까지의 가장 짧은 거리이므로 어느 변보다도 짧아야 한다. 실제로 $3 < 2\sqrt3 \approx 3.46$이고 $3 < 6$이다. 그래서 변보다 큰 선택지 (D) $4$와 (E) $5$는 배제된다. 따라서 $3$, 곧 (C)가 맞다.

대안 접근: 직각삼각형에서 빗변에 대한 높이는 두 변의 곱을 빗변으로 나눈 값이라는 지름길을 쓸 수 있다: $h = \dfrac{2\sqrt3 \cdot 6}{4\sqrt3} = \dfrac{12\sqrt3}{4\sqrt3} = 3$. (이는 넓이 공식 두 개를 한 줄로 합친 것이다.) 또한 두 변 $2\sqrt3$과 $6$은 30-60-90 삼각형임을 드러내며, 그 빗변에 대한 높이는 $3$으로 답을 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 Find the area of right triangles, other triangles, and polygons by composing or decomposing shapes (서로 수직인 두 변을 밑변과 높이로 삼아 넓이 $6\sqrt3$을 구함.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (두 변으로부터 빗변의 제곱 $c^2 = 12 + 36 = 48$을 구함.)
8.EE.A.2 Use square root symbols to represent solutions and evaluate square roots of small perfect squares ($\sqrt{48}$을 $4\sqrt3$으로 간단히 하여 빗변 길이를 얻음.)
6.EE.B.7 Solve real-world and mathematical problems by writing and solving equations of the form px = q ($2\sqrt3\,h = 6\sqrt3$을 풀어 세 번째 높이 $h = 3$을 구함.)

⭐ 넓이는 어느 밑변으로 잡아도 같으니, 두 변으로 넓이를 구하고 피타고라스로 빗변을 구한 뒤 다시 나눠 마지막 높이 $3$을 얻는다.