AMC 10 · 2014 · #10
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AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
복면산은 숨은 값에 이름을 붙이고 각 자리의 관계를 읽어내면 풀린다. 도구 #4(변수 도입하기)로 자리 사이의 받아올림 c₁,…,c₄을 변수로 두면 그림이 다섯 개의 정확한 방정식으로 바뀐다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 자리를 하나의 작은 방정식으로 보고 두 자리를 비교하면 받아올림이 모두 0이 되고 C=0이 정해진다. 문제가 A+B=D 로 줄어들면 도구 #14(극단의 원리)로 D 의 최솟값과 최댓값을 찾고, 그 사이 값이 모두 가능함을 확인하여 개수를 센다.
자리마다 받아올림에 이름 붙이기
자릿값을 맞추어 세우고, 일·십·백·천의 자리에서 넘어가는 받아올림을 c₁,c₂,c₃,c₄ 라 하자. 각각 0 또는 1이다.
자리마다 받아올림을 하나의 미지수로 두면, 그림이 추측 대신 계산할 수 있는 방정식으로 바뀐다.
6.EE.B.6Introduce A Variable일의 자리와 백의 자리 비교하기
일과 백은 둘 다 A+B 를 더하므로 빼면 c₂ = 10(c₃-c₁)만 남는다. 10의 배수인 받아올림이니 c₂ = 0, c₃ = c₁.
받아올림 하나이면서 동시에 10의 배수인 수는 0 일 수밖에 없다.
올림 하나이면서 동시에 10의 배수인 값은 0일 수밖에 없다.
▸ 왜?
한 자리에서 나오는 올림은 0이나 1뿐인데, 각 자리에 숫자가 하나만 들어가기 때문이다.
▸ 왜?
그 두 값 가운데 10의 배수는 0뿐이므로, 다른 하나는 곧바로 배제된다.
모든 받아올림과 C를 0으로 몰아넣기
십의 자리 식은 C+c₁=0이 되고 숫자는 음수가 아니므로 C = 0, c₁=0이다. 이어서 c₃=0, 천의 자리에서 c₄=0.
받아올림이 새어 나갈 틈이 없으니, 가운데 글자 C 는 0까지 눌려 내려간다.
6.EE.B.5Identify Subproblems문제 전체를 A + B = D 로 줄이기
받아올림이 없으니 일·백·만의 자리가 모두 A+B=D (A+B ≤ 9)를 말하고, A ≠ B 면 서로 다름은 저절로 만족된다.
받아올림이 사라지면 다섯 글자짜리 탑은 사실 작은 덧셈 하나일 뿐이다.
4.NBT.B.4Introduce A VariableD를 최솟값부터 최댓값까지 훑기
최소는 1+2=3, 최대는 4+5=9이고 사이 값도 모두 만들 수 있으므로 D 는 3부터 9까지 — 7 가지, 답은 (C).
두 극단을 찾고 그 사이에 빠진 값이 없음을 확인하면, 개수는 곧 그 구간의 길이이다.
4.NBT.B.4Extreme Principle숨은 받아올림마다 이름을 붙이면 각 자리가 C=0과 A+B=D 를 강제하므로, D 는 3부터 9까지 어떤 숫자든 될 수 있다 — 모두 일곱 가지이다.
- 자리마다 받아올림에 이름 붙이기
- 일의 자리와 백의 자리 비교하기
- 모든 받아올림과 C를 0으로 몰아넣기
- 문제 전체를 A + B = D 로 줄이기
- D를 최솟값부터 최댓값까지 훑기