AMC 10 · 2014 · #10

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

digit-constraintsplace-valuemulti-digit-arithmeticlogical-deduction logical-deduction ↑ 선수 지식: place-value

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

아래에 주어진 덧셈에서 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 는 서로 다른 숫자이다. $D$ 가 가질 수 있는 서로 다른 값은 몇 개인가?

$\begin{array}[t]{r} ABBCB \\ + \ BCADA \\ \hline DBDDD \end{array}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세로셈 $\begin{array}{r} ABBCB \\ +\,BCADA \\ \hline DBDDD \end{array}$ 에서 $A$, $B$, $C$, $D$ 는 서로 다른 네 개의 숫자이다. $D$ 가 될 수 있는 값이 몇 가지인지 세어라.

주어진 것: 두 다섯 자리 수 $ABBCB$ 와 $BCADA$ 를 더하면 다섯 자리 수 $DBDDD$ 가 된다; $A$, $B$, $C$, $D$ 는 $0$ 부터 $9$ 까지의 숫자이며 서로 모두 다르다; $A$, $B$, $D$ 는 맨 앞자리 숫자이므로 $0$ 이 아니다; 보기: (A) $2$, (B) $4$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: $D$ 가 가질 수 있는 서로 다른 값의 개수

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #14 극단의 원리

복면산은 숨은 값에 이름을 붙이고 각 자리의 관계를 읽어내면 풀린다. 도구 #4(변수 도입하기)로 자리 사이의 받아올림 $c_1,\dots,c_4$ 을 변수로 두면 그림이 다섯 개의 정확한 방정식으로 바뀐다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 자리를 하나의 작은 방정식으로 보고 두 자리를 비교하면 받아올림이 모두 $0$ 이 되고 $C=0$ 이 정해진다. 문제가 $A+B=D$ 로 줄어들면 도구 #14(극단의 원리)로 $D$ 의 최솟값과 최댓값을 찾고, 그 사이 값이 모두 가능함을 확인하여 개수를 센다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

자리마다 받아올림에 이름 붙이기

덧셈을 자릿값에 맞추어 세우고, 일의 자리·십의 자리·백의 자리·천의 자리에서 넘어가는 받아올림을 각각 $c_1,c_2,c_3,c_4$ 라 하자.
각 받아올림은 $0$ 또는 $1$ 이다.
오른쪽부터 각 자리를 '숫자 더하기 받아올림 = 결과 숫자 더하기 10배의 다음 받아올림'으로 읽으면 다섯 개의 방정식이 나온다.
십의 자리에는 양쪽에 $D$ 가, 천의 자리에는 양쪽에 $B$ 가 있어 바로 간단해진다.

$$\text{일: } A+B=D+10c_1,\quad \text{십: } C+D+c_1=D+10c_2\Rightarrow C+c_1=10c_2,\\ \text{백: } A+B+c_2=D+10c_3,\quad \text{천: } B+C+c_3=B+10c_4\Rightarrow C+c_3=10c_4,\quad \text{만: } A+B+c_4=D$$

💡 자리마다 받아올림을 하나의 미지수로 두면, 그림이 추측 대신 계산할 수 있는 방정식으로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.5 단계 2

일의 자리와 백의 자리 비교하기

일의 자리와 백의 자리는 둘 다 $A+B$ 를 더한다.
백의 자리 식에서 일의 자리 식을 빼면 $A+B$ 와 $D$ 가 지워지고 $c_2 = 10c_3 - 10c_1 = 10(c_3-c_1)$ 만 남는다.
그런데 $c_2$ 는 $0$ 또는 $1$ 뿐이고 $10(c_3-c_1)$ 은 $10$ 의 배수이다.
그러므로 $c_2 = 0$ 이어야 하고, 이때 $c_3 = c_1$ 이 된다.

$$(A+B+c_2)-(A+B)=(D+10c_3)-(D+10c_1)\;\Rightarrow\; c_2=10(c_3-c_1)\;\Rightarrow\; c_2=0,\; c_3=c_1$$

💡 받아올림 하나이면서 동시에 $10$ 의 배수인 수는 $0$ 일 수밖에 없다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.5 단계 3

모든 받아올림과 C를 0으로 몰아넣기

$c_2=0$ 을 십의 자리 식 $C+c_1=10c_2$ 에 넣으면 $C+c_1=0$ 이 된다.
숫자는 음수가 아니므로 $C=0$, $c_1=0$ 이다.
따라서 $c_3=c_1=0$.
마지막으로 천의 자리 식 $C+c_3=10c_4$ 는 $0=10c_4$ 가 되어 $c_4=0$ 이다.
모든 받아올림이 $0$ 이고 $C=0$ 이다.

$$C+c_1=0\Rightarrow C=0,\;c_1=0;\quad c_3=c_1=0;\quad C+c_3=10c_4\Rightarrow c_4=0$$

💡 받아올림이 새어 나갈 틈이 없으니, 가운데 글자 $C$ 는 $0$ 까지 눌려 내려간다.

#4 변수 도입하기 4.NBT.B.4 단계 4

문제 전체를 A + B = D 로 줄이기

받아올림이 모두 $0$ 이므로 일·백·만의 자리 식은 모두 같은 말을 한다: $A+B=D$.
받아올림이 없으니 $A+B\le 9$ 이다.
$A$ 와 $B$ 는 $0$ 이 아닌 맨 앞자리 숫자여서 $D=A+B$ 는 둘보다 항상 크고, 따라서 $D$ 는 $A$, $B$ 와 다르다.
또 $D\ge 3>0=C$ 이므로 $C$ 와도 다르다.
결국 $A\ne B$ 이기만 하면 서로 다름 조건은 저절로 만족된다.

$$A+B=D,\quad A,B\ge 1,\quad A\ne B,\quad C=0,\quad D=A+B\le 9$$

💡 받아올림이 사라지면 다섯 글자짜리 탑은 사실 작은 덧셈 하나일 뿐이다.

#14 극단의 원리 4.NBT.B.4 단계 5

D를 최솟값부터 최댓값까지 훑기

이제 극단의 경우를 쓴다.
서로 다른 두 개의 $0$ 이 아닌 숫자로 만드는 가장 작은 $D=A+B$ 는 $1+2=3$ 이다.
$9$ 이하로 가장 큰 값은 합이 $9$ 인 쌍, 예를 들어 $1+8=9$ 이다.
$3$ 부터 $9$ 까지의 모든 정수는 서로 다른 두 개의 $0$ 이 아닌 숫자의 합으로 만들 수 있다(예: $3=1+2$, $4=1+3$, $5=1+4$, $6=2+4$, $7=3+4$, $8=1+7$, $9=4+5$).
따라서 $D\in\{3,4,5,6,7,8,9\}$ 로 $7$ 가지이다.
답은 (C).

$$D_{\min}=1+2=3,\quad D_{\max}=9,\quad D\in\{3,4,5,6,7,8,9\}\;\Rightarrow\; 7\text{가지}\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 두 극단을 찾고 그 사이에 빠진 값이 없음을 확인하면, 개수는 곧 그 구간의 길이이다.

[1] #4 6.EE.B.6 덧셈을 자릿값에 맞추어 세우고, 일의 자리·십의 자리·백의 자리·천의 자리에서 넘어가는 받아올림을 각각 $c_1,c_2,c_3,c_4$ 라 하자

[2] #7 6.EE.B.5 일의 자리와 백의 자리는 둘 다 $A+B$ 를 더한다. 백의 자리 식에서 일의 자리 식을 빼면 $A+B$ 와 $D$ 가 지워지고 $c_2 = 1

[3] #7 6.EE.B.5 $c_2=0$ 을 십의 자리 식 $C+c_1=10c_2$ 에 넣으면 $C+c_1=0$ 이 된다. 숫자는 음수가 아니므로 $C=0$, $c_1=0

[4] #4 4.NBT.B.4 받아올림이 모두 $0$ 이므로 일·백·만의 자리 식은 모두 같은 말을 한다: $A+B=D$. 받아올림이 없으니 $A+B\le 9$ 이다. $A$

[5] #14 4.NBT.B.4 이제 극단의 경우를 쓴다. 서로 다른 두 개의 $0$ 이 아닌 숫자로 만드는 가장 작은 $D=A+B$ 는 $1+2=3$ 이다. $9$ 이하로 가

검토

합리성 확인: 한 경우를 끝까지 확인하자. $A=1$, $B=2$ 로 두면 $C=0$, $D=A+B=3$ 이다. 그러면 $ABBCB=12202$, $BCADA=20131$ 이고 $12202+20131=32333$ 인데, 이는 정확히 $DBDDD=32333$ ($D=3$, $B=2$)이다. 규칙이 들어맞고 네 숫자 $1,2,0,3$ 은 서로 다르다. 같은 $A+B=D$ 규칙이 모든 유효한 쌍에서 작동하고 $D$ 가 $3$ 부터 $9$ 까지 일곱 정수를 훑으므로, 개수 $7$ 은 답 (C)와 일치한다.

대안 접근: 받아올림 대수를 건너뛰고 자릿수로 바로 생각할 수도 있다. 덧수 $BCADA$ 의 맨 앞은 $B$, 합 $DBDDD$ 의 맨 앞은 $D$ 인데, $ABBCB$ 에 다섯 자리 수를 더해도 결과가 다섯 자리로 유지되므로 맨 위 자리에서 받아올림이 빠져나갈 수 없다. 따라서 맨 위 자리가 곧바로 $A+B=D$ 를 준다. 그다음 십의 자리 $C+D=D$ 는 받아올림 없이 $C=0$ 을 강제한다. 나머지는 그대로 따라온다. $A+B\le 9$ 인 서로 다른 $0$ 이 아닌 숫자에서 $D=A+B$ 를 세면 다시 $\{3,\dots,9\}$, 일곱 가지, 답 (C)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (받아올림 변수 $c_1,\dots,c_4$ 를 도입하고 덧셈의 각 자리마다 방정식 하나를 세우는 데 사용.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values ($c_2=10(c_3-c_1)$ 와 $C+c_1=0$ 을 만족하는 받아올림 값을 따져 모든 받아올림과 $C$ 를 $0$ 으로 강제하는 데 사용.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (각 자리를 받아올림 없는 $A+B=D$ 로 줄이고 구체적인 합 $12202+20131=32333$ 을 확인하는 데 사용.)
4.NBT.A.2 Read and write multi-digit whole numbers and compare using symbols (이름 붙인 각 자리를 자릿값으로 읽고 맨 앞자리 $A$, $B$, $D$ 가 $0$ 이 아님을 지키는 데 사용.)

⭐ 숨은 받아올림마다 이름을 붙이면 각 자리가 $C=0$ 과 $A+B=D$ 를 강제하므로, $D$ 는 $3$ 부터 $9$ 까지 어떤 숫자든 될 수 있다 — 모두 일곱 가지이다.