AMC 10 · 2014 · #11

학년 7 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps
percentageoptimizationdecimal-arithmetic bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: percentage
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
한 상점이 단 한 번의 n% 할인을 내놓는데, 손님이 보기에 이 할인이 다음 세 가지 조건보다 더 유리하다(최종 가격이 더 낮다): 15% 할인 두 번 연속, 10% 할인 세 번 연속, 그리고 25% 할인 뒤 5% 할인. 이 한 번의 할인이 세 조건을 모두 이기게 하는 가장 작은 양의 정수 n 을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\ 27$
(B)
28
(C)
29
(D)
31
(E)
33

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 극단의 원리

세 조건을 한꺼번에 이기는 것은 세 가지 일처럼 보이지만, 도구 #14(극단의 원리)가 이를 하나로 줄인다: 가격이 가장 낮은 조건이 이기기 가장 어려우므로, 그 챔피언만 이기면 나머지도 모두 이긴다. 도구 #4(변수 도입하기)로 원래 가격을 편리하게 100으로 두면 각 퍼센트가 곧바로 최종 가격이 된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세 최종 가격을 배율을 곱해 따로 계산한다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "챔피언보다 싸다"를 하나의 부등식으로 바꾸고, 다시 극단의 원리로 그 경계를 넘는 가장 작은 정수를 읽어낸다.

1STEP 1

가격을 100으로 고정하기

원래 가격을 100으로 두면, 한 번의 n% 할인 후 최종 가격은 100-n 이다.

한 번의 n%: 100(1-n/100)=100-n
2STEP 2

세 경쟁 조건의 가격 계산하기

각 할인은 100에 배율을 곱한다: 0.85 두 번, 0.90 세 번, 0.75 뒤 0.95는 각각 72.25, 72.90, 71.25.

(1) 100(0.85)²=72.25, (2) 100(0.90)³=72.90, (3) 100(0.75)(0.95)=71.25
3STEP 3

이기기 가장 어려운 조건 찾기

가장 싼 상대만이 기준이다: 25% 뒤 5% 조건의 71.25, 실질 28.75% 할인.

min(72.25, 72.90, 71.25)=71.25 → 실질 할인율=28.75%
4STEP 4

"챔피언보다 싸다"를 부등식으로 바꾸기

따라서 100-n 이 71.25 보다 작아야 하고, 정리하면 n 은 28.75 보다 크다.

100-n ＜ 71.25 → n ＞ 100-71.25 → n ＞ 28.75
5STEP 5

경계를 넘는 가장 작은 정수 고르기

28.75를 넘는 첫 정수는 29: 28은 72를 남겨 71.25 보다 높고, 29는 71을 남겨 셋 다 이긴다.

n ＞ 28.75, ninZ^+ → n=29; 100-29=71 ＜ 71.25 → (C)
정답
29
경계를 양쪽에서 확인하자. n=29 일 때 가격은 71로 챔피언 71.25 보다, 또 72.25와 72.90 보다 작으므로 29% 는 세 조건을 모두 진짜로 이긴다. n=28 일 때 가격은 72로 71.25 보다 크므로 25% 뒤 5% 조건이 여전히 더 싸고 28은 실패한다. 따라서 29가 성립하는 첫 정수이며 (C)와 일치한다. 답은 100 선택과 무관하다: 가격을 P 로 두면 같은 비교가 (1-n/100)P ＜ 0.7125P 가 되어 P 가 약분된다.
💡핵심 정리

여러 겹으로 쌓인 조건을 한꺼번에 이기려면 가장 깊은 하나만 이기면 된다: 여기서는 28.75% 할인이므로, 이를 이기는 가장 작은 정수 할인은 29% 이다.

  • 가격을 100으로 고정하기
  • 세 경쟁 조건의 가격 계산하기
  • 이기기 가장 어려운 조건 찾기
  • "챔피언보다 싸다"를 부등식으로 바꾸기
  • 경계를 넘는 가장 작은 정수 고르기

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