AMC 10 · 2014 · #11

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

percentageoptimizationdecimal-arithmetic bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

소비자 입장에서, $n\%$ 의 단일 할인이 다음 할인들 중 어느 것보다도 더 유리하다:

(1) $15\%$ 할인을 연속으로 두 번 적용

(2) $10\%$ 할인을 연속으로 세 번 적용

(3) $25\%$ 할인을 적용한 후 $5\%$ 할인을 적용

$n$ 이 될 수 있는 가장 작은 양의 정수 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 27$

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 상점이 단 한 번의 $n\%$ 할인을 내놓는데, 손님이 보기에 이 할인이 다음 세 가지 조건보다 더 유리하다(최종 가격이 더 낮다): $15\%$ 할인 두 번 연속, $10\%$ 할인 세 번 연속, 그리고 $25\%$ 할인 뒤 $5\%$ 할인. 이 한 번의 할인이 세 조건을 모두 이기게 하는 가장 작은 양의 정수 $n$ 을 구하라.

주어진 것: 조건 (1): $15\%$ 할인을 연속 두 번; 조건 (2): $10\%$ 할인을 연속 세 번; 조건 (3): $25\%$ 할인 후 $5\%$ 할인; 한 번의 $n\%$ 할인은 세 조건 각각보다 최종 가격이 엄밀히 더 낮아야 한다; 보기: (A) $27$, (B) $28$, (C) $29$, (D) $31$, (E) $33$

구하는 것: 한 번의 할인이 세 조건을 모두 이기게 하는 가장 작은 양의 정수 $n$

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

세 조건을 한꺼번에 이기는 것은 세 가지 일처럼 보이지만, 도구 #14(극단의 원리)가 이를 하나로 줄인다: 가격이 가장 낮은 조건이 이기기 가장 어려우므로, 그 챔피언만 이기면 나머지도 모두 이긴다. 도구 #4(변수 도입하기)로 원래 가격을 편리하게 $\$100$ 으로 두면 각 퍼센트가 곧바로 최종 가격이 된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세 최종 가격을 배율을 곱해 따로 계산한다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "챔피언보다 싸다"를 하나의 부등식으로 바꾸고, 다시 극단의 원리로 그 경계를 넘는 가장 작은 정수를 읽어낸다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 1

가격을 100으로 고정하기

원래 가격을 $\$100$ 이라 하자. $p\%$ 할인은 가격의 $\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$ 만큼을 내게 하므로, 한 번의 $n\%$ 할인은 최종 가격을 $100-n$ 달러로 만든다.
시작 가격이 모든 조건에서 같으므로 최종 가격을 비교하는 것이 곧 조건을 비교하는 것이고, 최종 가격이 작을수록 더 좋은 조건이다.

$$\text{한 번의 } n\%:\quad 100\left(1-\tfrac{n}{100}\right)=100-n$$

💡 $\$100$ 에서 시작하면 모든 퍼센트가 곧바로 달러로 읽히므로, 조건들이 줄 세울 수 있는 숫자가 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.3 단계 2

세 경쟁 조건의 가격 계산하기

각 조건은 $\$100$ 에 할인마다 배율 하나씩을 곱한다. $15\%$ 할인 두 번은 $0.85$ 를 두 번, $10\%$ 할인 세 번은 $0.90$ 을 세 번, $25\%$ 뒤 $5\%$ 는 $0.75$ 다음 $0.95$ 를 곱한다.
각각을 최종 가격(달러)까지 계산한다.

$$(1)\ 100(0.85)^2=72.25,\quad (2)\ 100(0.90)^3=72.90,\quad (3)\ 100(0.75)(0.95)=71.25$$

💡 연속 할인은 반복된 곱셈으로 쌓일 뿐이므로, 각 조건은 하나의 최종 가격으로 줄어든다.

#14 극단의 원리 7.RP.A.3 단계 3

이기기 가장 어려운 조건 찾기

한 번의 할인은 세 조건을 모두 이겨야 하므로 세 가격 중 가장 낮은 것보다 싸야 한다.
$72.25$, $72.90$, $71.25$ 중 가장 작은 값은 $71.25$ 로, $25\%$ 뒤 $5\%$ 조건에서 나온다.
그 조건이 챔피언이다 — 실질 할인율이 가장 큰 $100-71.25=28.75\%$.
한 번의 할인이 이 조건을 이기면 나머지 둘은 자동으로 이긴다.

$$\min(72.25,\;72.90,\;71.25)=71.25\;\Rightarrow\;\text{실질 할인율}=28.75\%$$

💡 가장 강한 상대만이 기준을 정한다; 가장 어려운 하나를 넘으면 쉬운 것들은 이미 넘은 것이다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 4

"챔피언보다 싸다"를 부등식으로 바꾸기

한 번의 할인 최종 가격 $100-n$ 은 챔피언의 $71.25$ 보다 엄밀히 작아야 한다.
이를 부등식으로 쓰고 $n$ 에 대해 푼다.
옮기고 정리하면 $n$ 의 아래 경계가 나온다.

$$100-n<71.25\;\Rightarrow\; n>100-71.25\;\Rightarrow\; n>28.75$$

💡 "최종 가격이 더 낮다"는 곧 "할인율이 더 크다"이고, 이는 $n$ 에 대한 깔끔한 부등식 하나이다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.5 단계 5

경계를 넘는 가장 작은 정수 고르기

$n>28.75$ 를 만족하는 가장 작은 양의 정수가 필요하다.
$28$ 은 실패하고($28\%$ 할인뿐이라 챔피언의 $28.75\%$ 보다 약하다), $28$ 이하의 모든 정수도 실패한다.
$28.75$ 보다 큰 첫 정수는 $29$ 이며, $29\%$ 할인은 $\$71$ 을 남겨 $72.25$, $72.90$, $71.25$ 모두보다 낮다. 따라서 가장 작은 값은 $n=29$, 보기 (C)이다.

$$n>28.75,\; n\in\mathbb{Z}^+ \;\Rightarrow\; n=29;\quad 100-29=71<71.25\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 경계 $28.75$ 를 갓 넘으면, 허용되는 첫 정수는 바로 그다음 정수인 $29$ 이다.

[1] #4 6.RP.A.3 원래 가격을 $\$100$ 이라 하자. $p\%$ 할인은 가격의 $\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$ 만큼을 내게 하므로,

[2] #7 6.NS.B.3 각 조건은 $\$100$ 에 할인마다 배율 하나씩을 곱한다. $15\%$ 할인 두 번은 $0.85$ 를 두 번, $10\%$ 할인 세 번은 $0

[3] #14 7.RP.A.3 한 번의 할인은 세 조건을 모두 이겨야 하므로 세 가격 중 가장 낮은 것보다 싸야 한다. $72.25$, $72.90$, $71.25$ 중 가장

[4] #13 7.EE.B.4 한 번의 할인 최종 가격 $100-n$ 은 챔피언의 $71.25$ 보다 엄밀히 작아야 한다. 이를 부등식으로 쓰고 $n$ 에 대해 푼다. 옮기고

[5] #14 6.EE.B.5 $n>28.75$ 를 만족하는 가장 작은 양의 정수가 필요하다. $28$ 은 실패하고($28\%$ 할인뿐이라 챔피언의 $28.75\%$ 보다 약

검토

합리성 확인: 경계를 양쪽에서 확인하자. $n=29$ 일 때 가격은 $\$71$ 로 챔피언 $\$71.25$ 보다, 또 $\$72.25$ 와 $\$72.90$ 보다 작으므로 $29\%$ 는 세 조건을 모두 진짜로 이긴다. $n=28$ 일 때 가격은 $\$72$ 로 $\$71.25$ 보다 크므로 $25\%$ 뒤 $5\%$ 조건이 여전히 더 싸고 $28$ 은 실패한다. 따라서 $29$ 가 성립하는 첫 정수이며 (C)와 일치한다. 답은 $\$100$ 선택과 무관하다: 가격을 $P$ 로 두면 같은 비교가 $\left(1-\tfrac{n}{100}\right)P<0.7125P$ 가 되어 $P$ 가 약분된다.

대안 접근: 달러 대신 실질 할인율(퍼센트)로만 계산할 수도 있다. $15\%$ 두 번은 $1-0.85^2=27.75\%$ 할인, $10\%$ 세 번은 $1-0.90^3=27.1\%$ 할인, $25\%$ 뒤 $5\%$ 는 $1-0.75\cdot0.95=28.75\%$ 할인이다. 한 번의 할인은 이들 중 가장 큰 $28.75\%$ 를 넘어야 하므로 $n>28.75$, 가장 작은 정수는 $n=29$, 다시 (C)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems ($p\%$ 할인을 가격에 $\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$ 을 곱하는 것으로 읽고 가격을 $\$100$ 으로 고정하는 데 사용.)
6.NS.B.3 Fluently add, subtract, multiply, and divide multi-digit decimals (할인 배율을 곱해 세 최종 가격 $72.25$, $72.90$, $71.25$ 를 얻는 데 사용.)
7.RP.A.3 Use proportional relationships to solve multi-step ratio and percent problems (여러 단계의 세 퍼센트 조건을 비교하고 이겨야 할 가장 깊은 실질 할인율($28.75\%$)을 찾는 데 사용.)
7.EE.B.4 Use variables to represent quantities and construct simple equations and inequalities (부등식 $100-n<71.25$ 를 세우고 풀어 $n>28.75$ 를 얻는 데 사용.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values ($n>28.75$ 를 만족하는 가장 작은 양의 정수 $n=29$ 를 고르는 데 사용.)

⭐ 여러 겹으로 쌓인 조건을 한꺼번에 이기려면 가장 깊은 하나만 이기면 된다: 여기서는 $28.75\%$ 할인이므로, 이를 이기는 가장 작은 정수 할인은 $29\%$ 이다.