AMC 10 · 2014 · #12
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
N 의 거대한 약수들을 큰 것부터 하나씩 나열하는 것은 번거롭다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 문제를 뒤집는다. N 의 모든 약수 d 는 짝이 되는 N/d 와 한 쌍을 이루고, 두 수의 곱은 N 이다. d 가 가장 작은 약수 1, 2, 4, 5, … 를 지나갈 때, 짝 N/d 는 가장 큰 약수 N, N/2, N/4, … 를 같은 순서로 지나간다. 따라서 다섯 번째로 큰 약수는 단지 N 을 다섯 번째로 작은 약수로 나눈 값이며, 훨씬 다루기 쉬운 목표가 된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 밑작업을 한다. N 을 소인수분해하여 어떤 작은 수들이 N 을 나누는지 정확히 파악한다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 가장 작은 약수들을 차례대로 짚어 다섯 번째 약수를 찾고, 나눗셈 한 번으로 마무리한다.
가장 큰 약수를 가장 작은 약수로 뒤집기
약수는 d · (N/d) = N 으로 짝을 이루므로, 다섯 번째로 큰 약수는 N 을 다섯 번째로 작은 약수로 나눈 값이다.
약수는 곱이 N 이 되는 짝끼리 늘어서므로, 위에서부터 세는 것이 아래에서부터 세는 것과 거울처럼 대응한다.
약수는 곱해서 그 수가 되는 짝으로 늘어서므로, 위에서부터 세는 것은 아래에서부터 세는 것을 비춘 것이다.
▸ 왜?
약수는 그런 짝으로 오므로, 가장 큰 것이 가장 작은 것과, 그다음이 그다음과 맞아떨어진다.
▸ 왜?
각 약수에는 짝이 정확히 하나 있으므로, 두 목록이 남김없이 맞아떨어진다.
10의 거듭제곱 떼어내기
N = 2014 × 1,000,000이고, 끝의 0 여섯 개가 10⁶ = 2⁶ · 5⁶을 그대로 내준다.
끝의 0 하나는 곧 10 = 2 × 5 하나이므로, 0 여섯 개가 2⁶ · 5⁶을 공짜로 준다.
5.NBT.A.2Identify SubproblemsN 을 소인수분해하기
2014 = 2 · 19 · 53 이므로 N = 2⁷ · 5⁶ · 19 · 53이고, 소인수는 2, 5, 19, 53 뿐이다.
소수 벽돌을 알고 나면 어떤 작은 수들이 N 을 나눌 수 있는지 정확히 알 수 있다.
6.NS.B.4Identify Subproblems가장 작은 다섯 약수 나열하기
3과 7이 없으므로 약수는 1, 2, 4, 5, 8로 시작하고, 다섯 번째로 작은 약수는 8 이다.
N 에 없는 소수(3 이나 7)를 가진 수는 건너뛰면, 약수 사다리가 저절로 세워진다.
4.OA.B.4Make A Systematic ListN 을 8로 나누기
2³을 떼어내면 N/8 = 2⁴ · 5⁶ · 19 · 53 = 251,750,000, 즉 선택지 (C)이다.
8로 나누는 것은 소인수분해에서 2 세 개를 벗겨내는 것과 같다.
6.NS.B.2Identify Subproblems약수는 항상 곱이 전체가 되는 짝끼리 오기 때문에, 다섯 번째로 큰 약수는 그 수를 다섯 번째로 작은 약수로 나눈 값일 뿐이다.
- 가장 큰 약수를 가장 작은 약수로 뒤집기
- 10의 거듭제곱 떼어내기
- N 을 소인수분해하기
- 가장 작은 다섯 약수 나열하기
- N 을 8로 나누기