AMC 10 · 2014 · #14

학년 6 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
digit-decompositiondivisibility-rulesdigit-constraints convert-to-algebra ↑ 선수 지식: digit-decomposition
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
다니카는 시속 55 마일의 일정한 속도로 정수 시간 동안 운전한다. 주행 거리계는 3 자리 수 abc=100a+10b+c (단, a ≥ 1, a+b+c ≤ 7)에서 시작하여 자릿수를 뒤집은 수 cba=100c+10b+a 에서 끝난다. a²+b²+c²을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
26
(B)
27
(C)
36
(D)
37
(E)
41

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

이 여행에는 세 개의 숫자와 운전 시간이 숨어 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 그것들을 a,b,c,h 라 이름 붙이고 두 거리계 값을 자릿값으로 다시 쓴다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 '시속 곱하기 정수 시간'을 깔끔한 거리 55h 로 바꾸면, 이것이 거리계 차와 같아야 한다. 그 차는 99(c-a)이고, 55h 와 맞추면 나눗셈 조건이 나오는데, 도구 #3(가능성 지우기)이 c-a=5만 남기고 나머지 자릿수 차를 모두 지운다. 마지막으로 빡빡한 제한 a+b+c ≤ 7은 경계 조건이므로, 도구 #14(극단의 원리)로 숫자를 하나로 좁힌다.

1STEP 1

숫자와 운전 시간에 이름 붙이기

출발값을 abc=100a+10b+c, 도착값을 cba=100c+10b+a, 운전한 정수 시간을 h 라 하자.

abc=100a+10b+c, cba=100c+10b+a, h∈{1,2,3,…}
2STEP 2

거리를 두 가지 방법으로 쓰기

거리는 55h 마일이고 거리계 증가분은 cba-abc=99(c-a) 이므로 99(c-a)=55h 이다.

cba-abc=(100c+10b+a)-(100a+10b+c)=99(c-a)=55h
3STEP 3

정리하여 자릿수 차 확정하기

양변을 11로 나누면 9(c-a)=5h 이고, 5 ∣ (c-a)와 0 ＜ c-a ≤ 9 에서 c-a=5, h=9 이다.

9(c-a)=5h → 5 ∣ (c-a), 1 ≤ c-a ≤ 9 → c-a=5, h=9
4STEP 4

숫자 예산으로 숫자 확정하기

c=a+5를 a+b+c ≤ 7에 넣으면 2a+b ≤ 2이고, a ≥ 1이라 여유가 없어 a=1, b=0, c=6 이다.

c=a+5, 2a+b ≤ 2, a ≥ 1 → a=1, b=0, c=6
5STEP 5

요구된 제곱의 합 계산하기

a=1, b=0, c=6 이므로 a²+b²+c²=1²+0²+6²=1+0+36=37이고, 보기 (D)이다.

a²+b²+c²=1²+0²+6²=1+0+36=37 → (D)
정답
37
(a,b,c)=(1,0,6)으로 여행 전체를 확인하자: 거리계는 106 에서 시작해 601 에서 끝나므로 495 마일 늘었다. 나누면 495 ÷ 55=9로 정수 시간이라 시속 55 마일 조건이 정확히 성립한다. 숫자 예산도 a+b+c=1+0+6=7 ≤ 7, a=1 ≥ 1로 모두 만족한다. 모든 것이 일관되고 a²+b²+c²=37은 답 (D)와 일치한다.
💡핵심 정리

거리를 두 가지로 써라: 자릿수를 뒤집은 3 자리 수의 차는 언제나 99 곱하기 (끝 빼기 시작) 자릿수 차이고, 이를 55×시간 과 맞추면 숫자가 정해진다.

  • 숫자와 운전 시간에 이름 붙이기
  • 거리를 두 가지 방법으로 쓰기
  • 정리하여 자릿수 차 확정하기
  • 숫자 예산으로 숫자 확정하기
  • 요구된 제곱의 합 계산하기

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