AMC 10 · 2014 · #14

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

digit-decompositiondivisibility-rulesdigit-constraints convert-to-algebra ↑ 선수 지식: digit-decomposition

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

다니카는 새 차를 몰고 정수 시간 동안 여행을 했으며, 평균 속력은 시속 $55$ 마일이었다. 여행을 시작할 때 주행 기록계에는 $abc$ 마일이 표시되어 있었는데, 여기서 $abc$ 는 $a\ge1$ 이고 $a+b+c\le7$ 을 만족하는 세 자리 수이다. 여행이 끝났을 때 주행 기록계에는 $cba$ 마일이 표시되었다. $a^2+b^2+c^2$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다니카는 시속 $55$ 마일의 일정한 속도로 정수 시간 동안 운전한다. 주행 거리계는 $3$ 자리 수 $\overline{abc}=100a+10b+c$ (단, $a\ge 1$, $a+b+c\le 7$)에서 시작하여 자릿수를 뒤집은 수 $\overline{cba}=100c+10b+a$ 에서 끝난다. $a^2+b^2+c^2$ 을 구하여라.

주어진 것: 속도는 시속 $55$ 마일이고 운전 시간은 정수 시간 $h$ 이다; 출발 거리계 값은 $3$ 자리 수 $\overline{abc}=100a+10b+c$ 이다; 도착 거리계 값은 $\overline{cba}=100c+10b+a$ 이다; 숫자 조건: $a\ge 1$, $a+b+c\le 7$; 보기: (A) $26$, (B) $27$, (C) $36$, (D) $37$, (E) $41$

구하는 것: 숫자 $a$, $b$, $c$ 와 그에 따른 $a^2+b^2+c^2$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기, #14 극단의 원리

이 여행에는 세 개의 숫자와 운전 시간이 숨어 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 그것들을 $a,b,c,h$ 라 이름 붙이고 두 거리계 값을 자릿값으로 다시 쓴다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 '시속 곱하기 정수 시간'을 깔끔한 거리 $55h$ 로 바꾸면, 이것이 거리계 차와 같아야 한다. 그 차는 $99(c-a)$ 이고, $55h$ 와 맞추면 나눗셈 조건이 나오는데, 도구 #3(가능성 지우기)이 $c-a=5$ 만 남기고 나머지 자릿수 차를 모두 지운다. 마지막으로 빡빡한 제한 $a+b+c\le 7$ 은 경계 조건이므로, 도구 #14(극단의 원리)로 숫자를 하나로 좁힌다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

숫자와 운전 시간에 이름 붙이기

출발 값을 $\overline{abc}=100a+10b+c$, 도착 값을 자릿수를 뒤집은 수 $\overline{cba}=100c+10b+a$ 라 하자.
다니카가 운전한 정수 시간을 $h$ 라 하자.
각 값을 자릿값으로 쓰는 것이 여행을 이야기가 아닌 방정식으로 바꿔 준다.

$$\overline{abc}=100a+10b+c,\qquad \overline{cba}=100c+10b+a,\qquad h\in\{1,2,3,\dots\}$$

💡 모르는 숫자에 문자를 붙이면 자릿값이 대신 뜻을 실어 준다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 2

거리를 두 가지 방법으로 쓰기

거리는 속도 곱하기 시간이므로 여행 거리는 $55\times h=55h$ 마일이다.
같은 거리는 거리계가 늘어난 양, 즉 도착값 빼기 출발값이다.
빼면 $10b$ 항이 지워지고 백의 자리와 일의 자리가 맞바뀌어 $99(c-a)$ 가 남는다.
거리에 대한 두 식을 같다고 놓으면 핵심 방정식이 나온다.

$$\overline{cba}-\overline{abc}=(100c+10b+a)-(100a+10b+c)=99(c-a)=55h$$

💡 거리는 하나의 수이므로, 속도 형태 $55h$ 와 거리계 형태 $99(c-a)$ 가 같아야 한다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 3

정리하여 자릿수 차 확정하기

$99$ 와 $55$ 는 모두 $11$ 을 인수로 가지므로 방정식을 $11$ 로 나누면 $9(c-a)=5h$ 가 된다.
오른쪽은 $5$ 의 배수이므로 왼쪽도 그래야 한다.
$9$ 는 $5$ 의 배수가 아니므로 차 $c-a$ 가 $5$ 의 배수여야 한다.
거리계가 늘었으니 $c>a$ 라서 $c-a$ 는 양의 한 자리 수이다.
여기에 맞는 $5$ 의 배수는 $c-a=5$ 뿐이고, 그러면 $9\cdot 5=5h$ 에서 $h=9$ 이다.

$$9(c-a)=5h\ \Rightarrow\ 5\mid (c-a),\quad 1\le c-a\le 9\ \Rightarrow\ c-a=5,\quad h=9$$

💡 $9\times(\text{차})$ 로 만든 $5$ 의 배수는 그 차 자체가 $5$ 의 배수일 때만 성립한다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.8 단계 4

숫자 예산으로 숫자 확정하기

$c-a=5$ 에서 $c=a+5$ 이다.
이를 예산 $a+b+c\le 7$ 에 넣으면 $a+b+(a+5)\le 7$, 즉 $2a+b\le 2$ 가 된다.
$a\ge 1$ 이므로 이미 $2a\ge 2$ 라서 여유가 없어 $b=0$, $a=1$ 이다.
그러면 $c=a+5=6$ 이다.
숫자는 유일한 세 쌍 $(a,b,c)=(1,0,6)$ 으로 정해진다.

$$c=a+5,\quad 2a+b\le 2,\quad a\ge 1\ \Rightarrow\ a=1,\ b=0,\ c=6$$

💡 예산 $a+b+c\le 7$ 이 너무 빡빡해서 경계에 오직 하나의 합법적인 숫자 조합만 남는다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.1 단계 5

요구된 제곱의 합 계산하기

$a=1$, $b=0$, $c=6$ 이므로 $a^2+b^2+c^2=1^2+0^2+6^2=1+0+36=37$ 을 계산한다.
이는 보기 (D)와 일치한다.

$$a^2+b^2+c^2=1^2+0^2+6^2=1+0+36=37\ \Rightarrow\ \textbf{(D)}$$

💡 숫자가 정해지면 답은 세 제곱을 더한 것일 뿐이다.

[1] #4 6.EE.B.6 출발 값을 $\overline{abc}=100a+10b+c$, 도착 값을 자릿수를 뒤집은 수 $\overline{cba}=100c+10b+a$

[2] #8 6.RP.A.3 거리는 속도 곱하기 시간이므로 여행 거리는 $55\times h=55h$ 마일이다. 같은 거리는 거리계가 늘어난 양, 즉 도착값 빼기 출발값이다

[3] #3 4.OA.B.4 $99$ 와 $55$ 는 모두 $11$ 을 인수로 가지므로 방정식을 $11$ 로 나누면 $9(c-a)=5h$ 가 된다. 오른쪽은 $5$ 의 배수

[4] #14 6.EE.B.8 $c-a=5$ 에서 $c=a+5$ 이다. 이를 예산 $a+b+c\le 7$ 에 넣으면 $a+b+(a+5)\le 7$, 즉 $2a+b\le 2$

[5] #4 6.EE.A.1 $a=1$, $b=0$, $c=6$ 이므로 $a^2+b^2+c^2=1^2+0^2+6^2=1+0+36=37$ 을 계산한다. 이는 보기 (D)와 일

검토

합리성 확인: $(a,b,c)=(1,0,6)$ 으로 여행 전체를 확인하자: 거리계는 $106$ 에서 시작해 $601$ 에서 끝나므로 $495$ 마일 늘었다. 나누면 $495\div 55=9$ 로 정수 시간이라 시속 $55$ 마일 조건이 정확히 성립한다. 숫자 예산도 $a+b+c=1+0+6=7\le 7$, $a=1\ge 1$ 로 모두 만족한다. 모든 것이 일관되고 $a^2+b^2+c^2=37$ 은 답 (D)와 일치한다.

대안 접근: 나눗셈 논증 대신 거리 $99(c-a)$ 가 $55$ 의 배수여야 함에 주목할 수도 있다. $c-a=1,2,\dots$ 를 넣으면 $99,198,297,396,495,\dots$ 인데, $55$ 의 배수가 되는 첫 값은 $c-a=5$ 일 때의 $495=55\cdot 9$ 이다. 여기서 예산 $a+b+c\le 7$ 과 $c=a+5$ 가 다시 $(1,0,6)$ 을 강제하므로 $a^2+b^2+c^2=37$, 답은 (D)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (숫자 $a,b,c$ 와 시간 $h$ 에 이름을 붙이고 두 거리계 값을 자릿값으로 쓰는 데 사용.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (시속 $55$ 마일로 정수 시간 $h$ 를 달린 것을 거리 $55h$ 로 바꾸고 거리계 차와 같다고 놓는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($9(c-a)$ 가 $5$ 의 배수라는 점이 차 $c-a$ 를 $5$ 의 배수로 강제하여 $c-a=5$ 를 얻는 데 사용.)
6.EE.B.8 Write an inequality of the form x > c or x < c and graph on a number line (제한 $a+b+c\le 7$ 과 $c=a+5$ 로 숫자를 좁혀 $a=1,\,b=0,\,c=6$ 을 강제하는 데 사용.)
6.EE.A.1 Write and evaluate numerical expressions involving whole-number exponents ($a^2+b^2+c^2=1^2+0^2+6^2=37$ 을 계산하는 데 사용.)

⭐ 거리를 두 가지로 써라: 자릿수를 뒤집은 $3$ 자리 수의 차는 언제나 $99$ 곱하기 (끝 빼기 시작) 자릿수 차이고, 이를 $55\times\text{시간}$ 과 맞추면 숫자가 정해진다.