AMC 10 · 2014 · #15

학년 8 geometry-2d

thirty-sixty-ninety-trianglearea-trianglesarea-rectangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: thirty-sixty-ninety-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 ABCD에서 아래 변 DC의 길이는 세로 변 CB의 두 배이다. 꼭짓점 D에서 나온 두 반직선 DE와 DF가 직각 ∠ ADC를 똑같이 세 조각으로 나누고, E와 F는 위 변 AB 위에 놓인다. 삼각형 DEF의 넓이가 직사각형 전체 넓이에 비해 얼마인지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{\sqrt{3}}{6}$

(B)

$\frac{\sqrt{6}}{8}$

(C)

$\frac{3\sqrt{3}}{16}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

위치와 도형에 관한 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 앞장선다. D를 원점에 두고 DC를 x축 위에 놓으면 삼등분된 직각이 깔끔한 30° 반직선들로 바뀌어 E와 F를 쉽게 찾을 수 있다. 넓이의 비만 물으므로 도구 #4(변수 도입하기)로 짧은 변 CB=1을 한 번에 고정한다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 세 조각—위 변에서 E와 F 찾기, △ DEF의 넓이 구하기, 직사각형 넓이로 나누기—으로 나눈다.

1STEP 1

좌표를 잡고 직각을 나누기

D를 원점에 두고 CB = 1로 잡으면 DC = 2이고, D의 직각은 30°씩 세 조각으로 나뉜다.

∠ ADC = 90° = 30° + 30° + 30°, CB = 1, DC = 2

2STEP 2

위 변에서 E와 F 찾기

삼각형 DAE와 DAF는 DA = 1인 30-60-90 삼각형이므로 AE = √(3)/3, AF = √(3)이다.

AE = 1/√(3) = √(3)/3, AF = √(3)

3STEP 3

삼각형 DEF의 넓이

밑변 EF = AF - AE = 2√(3)/3이 위 변에 놓이고 높이는 1이므로 [△ DEF] = √(3)/3이다.

EF = √(3) - √(3)/3 = 2√(3)/3, [△ DEF] = 1/2·2√(3)/3 · 1 = √(3)/3

4STEP 4

직사각형과 비교하고 답 고르기

직사각형의 넓이는 2 · 1 = 2이므로 비는 (√(3)/3)/2 = √(3)/6, 곧 선택지 (A)이다.

([△ DEF])/[ABCD] = (√(3)/3)/2 = √(3)/6 → (A)

정답

√(3)/6

√(3)/6≈ 0.29는 직사각형의 그럴듯한 일부이다. 삼각형은 E의 x=√3/3≈0.58에서 F의 x=√3≈1.73까지 퍼져 있고 직사각형은 0부터 2까지 뻗으므로, 사분의 일보다 조금 넘게 차지하여 0.29와 일치한다. 또 CB를 어떤 값으로 정하든 답은 같은데, CB=1로 고른 것은 비를 구하기 위한 자유로운 크기 선택이었기 때문이다. 이 풀이는 30-60-90 변의 비에 기대는데, 이는 K-8 범위의 맨 위에 있는 초기 고등학교 기하 내용이다.

💡핵심 정리

모서리를 원점에 고정하고, 30-60-90 삼각형의 고정된 비 1:√(3):2로 점을 찍은 뒤, 삼각형 넓이를 직사각형 넓이와 비교하라.

좌표를 잡고 직각을 나누기
위 변에서 E와 F 찾기
삼각형 DEF의 넓이
직사각형과 비교하고 답 고르기

좌표를 잡고 직각을 나누기

위 변에서 E와 F 찾기

삼각형 DEF의 넓이

직사각형과 비교하고 답 고르기

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