AMC 10 · 2014 · #15

학년 8 geometry-2d

thirty-sixty-ninety-trianglearea-trianglesarea-rectangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: thirty-sixty-ninety-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 $ABCD$ 에서 $DC = 2 \cdot CB$ 이고, 그림과 같이 $\overline{ED}$ 와 $\overline{FD}$ 가 $\angle ADC$ 를 삼등분하도록 점 $E$ 와 $F$ 가 $\overline{AB}$ 위에 놓여 있다. $\triangle DEF$ 의 넓이 대 직사각형 $ABCD$ 의 넓이의 비는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ \frac{\sqrt{3}}{6}$

(B)

$\frac{\sqrt{6}}{8}$

(C)

$\frac{3\sqrt{3}}{16}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 $ABCD$에서 아래 변 $DC$의 길이는 세로 변 $CB$의 두 배이다. 꼭짓점 $D$에서 나온 두 반직선 $DE$와 $DF$가 직각 $\angle ADC$를 똑같이 세 조각으로 나누고, $E$와 $F$는 위 변 $AB$ 위에 놓인다. 삼각형 $DEF$의 넓이가 직사각형 전체 넓이에 비해 얼마인지 구하라.

주어진 것: $ABCD$는 $DC = 2\cdot CB$인 직사각형이다.; $E$와 $F$는 변 $\overline{AB}$ 위에 있다.; $\overline{ED}$와 $\overline{FD}$가 직각 $\angle ADC$를 삼등분한다.

구하는 것: 삼각형 넓이와 직사각형 넓이의 비 $\dfrac{[\triangle DEF]}{[ABCD]}$.

이해

주어진 것: $ABCD$는 $DC = 2\cdot CB$인 직사각형이다.; $E$와 $F$는 변 $\overline{AB}$ 위에 있다.; $\overline{ED}$와 $\overline{FD}$가 직각 $\angle ADC$를 삼등분한다.

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

위치와 도형에 관한 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 앞장선다. $D$를 원점에 두고 $DC$를 x축 위에 놓으면 삼등분된 직각이 깔끔한 $30^\circ$ 반직선들로 바뀌어 $E$와 $F$를 쉽게 찾을 수 있다. 넓이의 비만 물으므로 도구 #4(변수 도입하기)로 짧은 변 $CB=1$을 한 번에 고정한다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 세 조각—위 변에서 $E$와 $F$ 찾기, $\triangle DEF$의 넓이 구하기, 직사각형 넓이로 나누기—으로 나눈다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 4.MD.C.7 단계 1

좌표를 잡고 직각을 나누기

$D$를 원점에 두고 $DC$를 오른쪽 x축 방향으로, $DA$를 위쪽 y축 방향으로 놓으면 $\angle ADC = 90^\circ$이다.
넓이의 비만 필요하므로 짧은 변 $CB = 1$로 정한다.
그러면 $DC = 2$이고 위 변 $AB$는 높이 $1$인 선이다.
두 반직선이 $90^\circ$ 모서리를 똑같은 $30^\circ$ 세 각으로 나누므로, $DA$에서부터 재면 반직선 $DE$는 $30^\circ$, $DF$는 $60^\circ$ 위치이다.

$$\angle ADC = 90^\circ = 30^\circ + 30^\circ + 30^\circ,\qquad CB = 1,\; DC = 2$$

💡 삼등분된 직각은 $30^\circ$가 세 번 모인 것이라, 각 반직선의 기울기를 정확히 알 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

위 변에서 E와 F 찾기

$E$와 $F$에서 세로 변 $DA$로 수직으로 내리면 그 발은 $A$이다($A$는 높이 $1$인 왼쪽 위 꼭짓점).
삼각형 $DAE$는 $A$에서 직각, $D$에서 $30^\circ$, $DA = 1$이므로 변의 비가 $1 : \sqrt{3} : 2$인 $30$-$60$-$90$ 삼각형이다.
따라서 가로 변은 $AE = \dfrac{DA}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$이다.
삼각형 $DAF$는 $D$에서 $60^\circ$이므로 가로 변이 긴 쪽이 되어 $AF = DA\cdot\sqrt{3} = \sqrt{3}$이다.

$$AE = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3},\qquad AF = \sqrt{3}$$

💡 $30$-$60$-$90$ 삼각형은 변의 비 $1:\sqrt{3}:2$가 고정되어, 한 변만 알면 나머지가 정해진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

삼각형 DEF의 넓이

$E$와 $F$는 모두 높이 $1$인 위 변에 있으므로 선분 $EF$는 수평이고, 그 길이는 두 발 사이의 간격이다: $EF = AF - AE = \sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
$EF$를 $\triangle DEF$의 밑변으로 삼으면, 높이는 높이 $0$인 $D$에서 그 위 변까지의 수직 거리인 $1$이다.
따라서 넓이는 밑변 곱하기 높이의 반이다.

$$EF = \sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3},\qquad [\triangle DEF] = \tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\cdot 1 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$

💡 밑변이 위 변에 평평하게 놓이므로 삼각형의 높이는 곧 직사각형의 높이이다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.1 단계 4

직사각형과 비교하고 답 고르기

직사각형의 넓이는 $DC \cdot CB = 2 \cdot 1 = 2$이다.
삼각형 넓이를 직사각형 넓이로 나누면 $\dfrac{\sqrt{3}/3}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$이다.
이를 다섯 선택지와 맞춰 보면 정확히 (A)이고, 나머지는 $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$과 같지 않다.
따라서 답은 (A)이다.

$$\dfrac{[\triangle DEF]}{[ABCD]} = \dfrac{\sqrt{3}/3}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 두 넓이의 비는 정한 크기와 무관하므로, 한 수 $\sqrt{3}/6$이 곧 전체 답이다.

[1] #1 4.MD.C.7 $D$를 원점에 두고 $DC$를 오른쪽 x축 방향으로, $DA$를 위쪽 y축 방향으로 놓으면 $\angle ADC = 90^\circ$이다. 넓

[2] #7 8.G.B.7 $E$와 $F$에서 세로 변 $DA$로 수직으로 내리면 그 발은 $A$이다($A$는 높이 $1$인 왼쪽 위 꼭짓점). 삼각형 $DAE$는 $A$

[3] #7 6.G.A.1 $E$와 $F$는 모두 높이 $1$인 위 변에 있으므로 선분 $EF$는 수평이고, 그 길이는 두 발 사이의 간격이다: $EF = AF - AE

[4] #3 6.RP.A.1 직사각형의 넓이는 $DC \cdot CB = 2 \cdot 1 = 2$이다. 삼각형 넓이를 직사각형 넓이로 나누면 $\dfrac{\sqrt{3}

검토

합리성 확인: $\dfrac{\sqrt{3}}{6}\approx 0.29$는 직사각형의 그럴듯한 일부이다. 삼각형은 $E$의 $x=\tfrac{\sqrt3}{3}\approx0.58$에서 $F$의 $x=\sqrt3\approx1.73$까지 퍼져 있고 직사각형은 $0$부터 $2$까지 뻗으므로, 사분의 일보다 조금 넘게 차지하여 $0.29$와 일치한다. 또 $CB$를 어떤 값으로 정하든 답은 같은데, $CB=1$로 고른 것은 비를 구하기 위한 자유로운 크기 선택이었기 때문이다. 이 풀이는 $30$-$60$-$90$ 변의 비에 기대는데, 이는 K-8 범위의 맨 위에 있는 초기 고등학교 기하 내용이다.

대안 접근: 좌표를 건너뛰고 삼각비(탄젠트)를 바로 쓴다: $DA = 1$일 때 $AE = \tan 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{3}$, $AF = \tan 60^\circ = \sqrt3$이므로 $EF = \tfrac{2\sqrt3}{3}$, $[\triangle DEF] = \tfrac12\cdot\tfrac{2\sqrt3}{3}\cdot 1 = \tfrac{\sqrt3}{3}$이다. 이를 직사각형 넓이 $2$로 나누면 다시 $\tfrac{\sqrt3}{6}$이 되어 (A)를 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.MD.C.7 각의 크기가 더해짐을 이해하고 미지의 각을 구하기 (삼등분된 직각을 세 개의 똑같은 $30^\circ$ 각으로 나누기 ($90 = 30+30+30$).)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 이용해 직각삼각형의 미지 변의 길이 구하기 ($30$-$60$-$90$ 변의 비 $1:\sqrt{3}:2$로 가로 변 $AE$와 $AF$ 구하기.)
6.G.A.1 도형을 합치거나 나누어 삼각형과 다각형의 넓이 구하기 (밑변 $EF$를 위 변에 두고 $[\triangle DEF] = \tfrac12 \cdot EF \cdot \text{높이}$ 계산하기.)
6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비의 언어 사용하기 (삼각형 넓이와 직사각형 넓이의 비를 만들어 답 읽어내기.)

⭐ 모서리를 원점에 고정하고, $30$-$60$-$90$ 삼각형의 고정된 비 $1:\sqrt{3}:2$로 점을 찍은 뒤, 삼각형 넓이를 직사각형 넓이와 비교하라.