AMC 10 · 2014 · #16

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccaseworkcombinations-basic casework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

공정한 육면체 주사위 네 개를 동시에 굴린다. 각 주사위는 1부터 6까지의 값 중 하나를 독립적으로 보인다. 네 주사위 중 적어도 세 개가 같은 값을 보일 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{36}$

(B)

$\frac{7}{72}$

(C)

$\frac{1}{9}$

(D)

$\frac{5}{36}$

(E)

$\frac{1}{6}$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

똑같이 가능한 결과들에서 확률은 (유리한 경우의 수)를 (전체 경우의 수)로 나눈 값이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 애매한 표현 "적어도 세 개가 같다"를 겹치지 않는 두 경우, 즉 네 개가 모두 같은 경우와 정확히 세 개만 같고 하나가 다른 경우로 나눈다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 반복되는 값, 다른 주사위의 위치, 그 값을 차례로 골라 각 경우를 센다. 두 경우의 수를 더해 6⁴으로 나누면 답이 나온다.

1STEP 1

전체 경우의 수를 세고 목표를 나누기

각 주사위가 독립이므로 전체 굴림은 6⁴ = 1296 가지이다. 목표는 네 개 모두 같음과 정확히 세 개만 같음.

전체 경우의 수 = 6⁴ = 1296

2STEP 2

네 개가 모두 같은 경우 세기

네 개 모두 같으면 공통 값 하나만 고르면 되고, 값 6개 각각이 3333처럼 굴림 전체를 정하므로 결과 6가지.

6 가지 값 → 6 가지 결과

3STEP 3

정확히 세 개가 같은 경우 세기

정확히 세 개면 세 번 나올 값 6가지, 다른 주사위 4가지, 그 다른 값 5가지를 곱해 120가지.

6 × 4 × 5 = 120 가지 결과

4STEP 4

두 경우를 더하고 나누기

겹치지 않으므로 6 + 120 = 126 가지가 1296 가지 중 유리하고, 약분하면 7/72, 선택지 (B)이다.

(6 + 120)/1296 = 126/1296 = 7/72 → (B)

정답

7/72

답 7/72≈ 0.097은 작지만 아주 작지는 않은데, 이는 이치에 맞다: 주사위 네 개 중 세 개가 같아지는 일은 흔하지 않지만 그렇다고 드물지도 않다. 경우의 수를 점검하면, "정확히 세 개" 경우(120)가 "네 개 모두" 경우(6)보다 훨씬 커야 하는데 실제로 그렇다. 네 번째까지 같게 강제하는 것이 하나를 다르게 두는 것보다 훨씬 어렵기 때문이다. 유리한 총합 126은 1296보다 작으므로 확률은 확실히 1 미만이다. 이 모든 것이 선택지 (B)와 일치한다.

💡핵심 정리

"적어도 세 개가 같다"를 "네 개 모두"(6가지)와 "정확히 세 개"(6×4×5=120가지)로 나눈 뒤, 126을 1296으로 나누어 7/72을 얻는다.

전체 경우의 수를 세고 목표를 나누기
네 개가 모두 같은 경우 세기
정확히 세 개가 같은 경우 세기
두 경우를 더하고 나누기

전체 경우의 수를 세고 목표를 나누기

네 개가 모두 같은 경우 세기

정확히 세 개가 같은 경우 세기

두 경우를 더하고 나누기

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