AMC 10 · 2014 · #16
학년 7 probability공정한 정육면체 주사위 4개를 던진다. 네 개의 주사위 중 적어도 세 개가 같은 값을 나타낼 확률은 얼마인가?
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AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 공정한 육면체 주사위 네 개를 동시에 굴린다. 네 주사위 중 적어도 세 개가 같은 값을 보일 확률을 구하여라.
주어진 것: 주사위 네 개를 굴리며, 각각 $1$부터 $6$까지의 눈을 가진 공정한 주사위이다; 주사위들은 서로 독립이므로 모든 결과가 똑같이 나올 가능성을 가진다; "적어도 세 개가 같다"는 것은 세 개가 같거나 네 개가 모두 같은 경우를 뜻한다; 선택지: (A) $\frac{1}{36}$, (B) $\frac{7}{72}$, (C) $\frac{1}{9}$, (D) $\frac{5}{36}$, (E) $\frac{1}{6}$
구하는 것: 네 주사위 중 적어도 세 개가 같은 값을 보일 확률
이해
문제 재정리: 공정한 육면체 주사위 네 개를 동시에 굴린다. 네 주사위 중 적어도 세 개가 같은 값을 보일 확률을 구하여라.
주어진 것: 주사위 네 개를 굴리며, 각각 $1$부터 $6$까지의 눈을 가진 공정한 주사위이다; 주사위들은 서로 독립이므로 모든 결과가 똑같이 나올 가능성을 가진다; "적어도 세 개가 같다"는 것은 세 개가 같거나 네 개가 모두 같은 경우를 뜻한다; 선택지: (A) $\frac{1}{36}$, (B) $\frac{7}{72}$, (C) $\frac{1}{9}$, (D) $\frac{5}{36}$, (E) $\frac{1}{6}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기
똑같이 가능한 결과들에서 확률은 (유리한 경우의 수)를 (전체 경우의 수)로 나눈 값이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 애매한 표현 "적어도 세 개가 같다"를 겹치지 않는 두 경우, 즉 네 개가 모두 같은 경우와 정확히 세 개만 같고 하나가 다른 경우로 나눈다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 반복되는 값, 다른 주사위의 위치, 그 값을 차례로 골라 각 경우를 센다. 두 경우의 수를 더해 $6^4$으로 나누면 답이 나온다.
실행 — 정답: B
7.SP.C.7 단계 1 전체 경우의 수를 세고 목표를 나누기
- 각 주사위는 독립적으로 $6$가지 값 중 하나를 보이므로 똑같이 가능한 결과는 $6^4 = 1296$가지이다.
- "적어도 세 개가 같은 값"이라는 사건은 겹치지 않는 두 가지로 일어난다: 네 개가 모두 같거나, 정확히 세 개만 같고 네 번째가 다른 경우이다.
- 각각을 따로 세어 더한 뒤 $1296$으로 나눈다.
💡 모든 굴림이 똑같이 가능하면 확률은 그저 분수, 즉 좋은 굴림을 전체 굴림으로 나눈 값이다.
7.SP.C.8 단계 2 네 개가 모두 같은 경우 세기
- 네 주사위가 모두 같다면 선택할 것은 그들이 공통으로 보이는 값 하나뿐이다.
- 값은 $6$가지이고, 값 하나가 굴림 전체를 정한다(예: $3333$).
- 따라서 이런 결과는 $6$가지이다.
💡 같은 값 하나가 굴림 전체를 정하므로 더 고를 것이 없다.
7.SP.C.8 단계 3 정확히 세 개가 같은 경우 세기
- 이런 굴림은 세 번의 순서 있는 선택으로 만든다.
- 먼저 세 번 나오는 값을 고른다: $6$가지.
- 다음으로 네 주사위 중 어느 하나가 다른 것인지 고른다: $4$가지.
- 마지막으로 그 다른 주사위의 값을 고르는데, 세 번 나온 값과 달라야 한다: $5$가지.
- 곱하면 $6 \times 4 \times 5 = 120$가지 결과이다.
💡 반복되는 값, 패턴을 깨는 주사위, 그 다른 값을 차례로 고르면 각 굴림을 딱 한 번씩 센다.
7.SP.C.8 단계 4 두 경우를 더하고 나누기
- 두 경우는 서로 겹치지 않으므로 경우의 수를 더한다: $6 + 120 = 126$가지의 유리한 결과가 $1296$가지 중에 있다.
- 분자와 분모를 $18$로 나누어 분수를 약분한다: $\frac{126}{1296} = \frac{7}{72}$.
- 따라서 확률은 $\frac{7}{72}$이며, 이는 답 (B)이다.
💡 겹치지 않는 경우들은 따로 세어 그냥 더한 뒤 전체로 나누면 된다.
7.SP.C.7 각 주사위는 독립적으로 $6$가지 값 중 하나를 보이므로 똑같이 가능한 결과는 $6^4 = 1296$가지이다. "적어도 세 개가 같은 값"이라는 7.SP.C.8 네 주사위가 모두 같다면 선택할 것은 그들이 공통으로 보이는 값 하나뿐이다. 값은 $6$가지이고, 값 하나가 굴림 전체를 정한다(예: $3333 7.SP.C.8 이런 굴림은 세 번의 순서 있는 선택으로 만든다. 먼저 세 번 나오는 값을 고른다: $6$가지. 다음으로 네 주사위 중 어느 하나가 다른 것인지 7.SP.C.8 두 경우는 서로 겹치지 않으므로 경우의 수를 더한다: $6 + 120 = 126$가지의 유리한 결과가 $1296$가지 중에 있다. 분자와 분모를 검토
합리성 확인: 답 $\frac{7}{72}\approx 0.097$은 작지만 아주 작지는 않은데, 이는 이치에 맞다: 주사위 네 개 중 세 개가 같아지는 일은 흔하지 않지만 그렇다고 드물지도 않다. 경우의 수를 점검하면, "정확히 세 개" 경우($120$)가 "네 개 모두" 경우($6$)보다 훨씬 커야 하는데 실제로 그렇다. 네 번째까지 같게 강제하는 것이 하나를 다르게 두는 것보다 훨씬 어렵기 때문이다. 유리한 총합 $126$은 $1296$보다 작으므로 확률은 확실히 $1$ 미만이다. 이 모든 것이 선택지 (B)와 일치한다.
대안 접근: 첫 주사위의 값을 기준으로 고정하고 조건부 확률을 쓴다. 특정한 세 주사위가 패턴에 맞을 확률을 각 주사위의 확률 $\frac{1}{6}$로부터 만들고, 세 개 묶음의 위치 $\binom{4}{3}=4$가지를 곱한 뒤 네 개 모두인 경우의 겹침을 조정한다. 계산하면 정확히 세 개인 경우는 $6\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot 4\cdot\frac{5}{6}$, 네 개 모두인 경우는 $6\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^4$이 되어 합이 다시 $\frac{7}{72}$이 된다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.7확률 모형을 세우고 이를 이용하여 사건의 확률 구하기 ($6^4$가지 굴림을 똑같이 가능한 것으로 다루어 확률을 유리한 경우의 수 나누기 전체 경우의 수로 계산함.)7.SP.C.8정리된 목록, 표, 세기를 이용하여 복합 사건의 확률 구하기 (네 개 모두 같은 경우($6$)와 정확히 세 개 같은 경우($120$)를 세어 $\frac{126}{1296}=\frac{7}{72}$로 합침.)
⭐ "적어도 세 개가 같다"를 "네 개 모두"($6$가지)와 "정확히 세 개"($6\times4\times5=120$가지)로 나눈 뒤, $126$을 $1296$으로 나누어 $\frac{7}{72}$을 얻는다.
⭐ "적어도 세 개가 같다"를 "네 개 모두"($6$가지)와 "정확히 세 개"($6\times4\times5=120$가지)로 나눈 뒤, $126$을 $1296$으로 나누어 $\frac{7}{72}$을 얻는다.
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