AMC 10 · 2014 · #18
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AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
열한 수의 합은 110으로 고정되어 있다. 한 항을 최대한 크게 밀어 올리려면(도구 #14, 극단의 원리) 나머지 항을 규칙이 허용하는 한 최대한 작게 눌러야 한다. 도구 #4(변수 도입하기)로 목록을 a₁ ≤ … ≤ a₁₁로 정렬하면 중앙값이 a₆ = 9를 못 박고 최빈값은 낮은 자리로 강제된다. 유일하게 남는 선택은 8을 몇 개 쓰느냐이다: 8을 더 쓰면 최빈값의 빈도가 올라가(다른 수가 반복되며 작게 유지될 수 있음) 좋지만 합을 더 쓰게 되므로, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 개수를 시험한다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 결과를 다섯 선택지에 비추어 본다 — 흥미롭게도 선택지들은 서로 다른 8의 개수가 만들어 내는 값과 정확히 일치한다.
세 통계량을 확실한 사실로 바꾸기
11개 수의 평균 10이면 합은 110, 중앙값이 a₆ = 9를 못 박고, 8은 더 작으니 모두 a₁~a₅ 자리에 온다.
평균, 중앙값, 최빈값은 같은 목록을 세 가지로 요약한 것일 뿐이며, 각각은 사실 수들이 지켜야 할 규칙이다.
평균과 중앙값과 최빈값은 같은 목록의 세 가지 요약이며, 각각이 그 수들이 따라야 할 규칙이다.
▸ 왜?
평균은 총합을 정하는데, 그것이 총합을 개수로 나눈 것이기 때문이다.
▸ 왜?
가운데 값은 순서를 정하는데, 아래와 위의 개수가 같아야 하기 때문이다.
합은 고정, 나머지는 줄이기
합이 묶여 있으니 가장 큰 항은 110에서 나머지 열 항을 뺀 값 — 그 열 항을 규칙이 허용하는 최소로 줄인다.
110이라는 고정된 총량에서 한 수를 크게 만드는 것은 나머지 모두를 작게 만드는 것과 같다.
6.EE.B.6Extreme Principle값싼 아래쪽 절반 만들기
낮은 다섯 자리는 8 세 개와 가장 작은 양의 정수 1 두 개로: 1, 1, 8, 8, 8의 합은 26이다.
8이 세 개면 표에서 앞서기에 충분하므로 남은 자리는 1까지 떨어뜨릴 수 있다.
6.SP.B.5Guess And Check값싼 위쪽 절반 만들기
a₆부터는 어떤 값도 세 개가 될 수 없으니 가장 싼 배열은 9, 9, 10, 10, 11, 합은 49이다.
9 바로 위 수들을 작게 유지하되, 그중 어떤 것도 세 개의 8과 동점이 되지 않게 한다.
6.NS.C.7Guess And Check최댓값 읽어내기
처음 열 수의 합이 26 + 49 = 75이므로 마지막 가장 큰 수는 110 - 75 = 35, 선택지 (E)이다.
아래의 모든 수를 합법적인 최솟값까지 짜냈으므로, 남는 것은 마지막의 가장 큰 수로 몰린다.
6.NS.B.3Extreme Principle합이 고정되어 있을 때는, 평균·중앙값·최빈값 규칙이 허용하는 최소값까지 다른 모든 수를 짜내면 한 수를 거대하게 만들 수 있다.
- 세 통계량을 확실한 사실로 바꾸기
- 합은 고정, 나머지는 줄이기
- 값싼 아래쪽 절반 만들기
- 값싼 위쪽 절반 만들기
- 최댓값 읽어내기
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