AMC 10 · 2014 · #18

학년 6 arithmetic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known

mean-median-mode-rangeoptimizationcasework casework ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$11$ 개의 양의 정수로 이루어진 목록의 평균은 $10$ , 중앙값은 $9$ , 그리고 유일한 최빈값은 $8$ 이다. 이 목록에 있는 정수가 가질 수 있는 가장 큰 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수 $11$개로 이루어진 목록의 평균은 $10$, 중앙값은 $9$, 유일한 최빈값은 $8$이다. 목록에 있는 한 정수가 가질 수 있는 가장 큰 값을 구하라.

주어진 것: 목록은 정확히 양의 정수 $11$개로 이루어진다; 평균이 $10$이므로 $11$개 수의 합은 $11 \times 10 = 110$이다; 중앙값이 $9$이다: 정렬했을 때 $6$번째 수가 $9$이다; 최빈값이 $8$이고 유일하다: $8$은 다른 어떤 값보다도 더 많이 나타난다; 선택지: (A) $24$, (B) $30$, (C) $31$, (D) $33$, (E) $35$

구하는 것: 목록에 있는 한 정수가 가질 수 있는 가장 큰 값

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #4 변수 도입하기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

열한 수의 합은 $110$으로 고정되어 있다. 한 항을 최대한 크게 밀어 올리려면(도구 #14, 극단의 원리) 나머지 항을 규칙이 허용하는 한 최대한 작게 눌러야 한다. 도구 #4(변수 도입하기)로 목록을 $a_1 \le \dots \le a_{11}$로 정렬하면 중앙값이 $a_6 = 9$를 못 박고 최빈값은 낮은 자리로 강제된다. 유일하게 남는 선택은 $8$을 몇 개 쓰느냐이다: $8$을 더 쓰면 최빈값의 빈도가 올라가(다른 수가 반복되며 작게 유지될 수 있음) 좋지만 합을 더 쓰게 되므로, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 개수를 시험한다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 결과를 다섯 선택지에 비추어 본다 — 흥미롭게도 선택지들은 서로 다른 $8$의 개수가 만들어 내는 값과 정확히 일치한다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 6.SP.B.5 단계 1

세 통계량을 확실한 사실로 바꾸기

각 대푯값을 해독한다.
$11$개 수의 평균이 $10$이면 합은 $11 \times 10 = 110$이다.
중앙값이 $9$이면 정렬한 목록 $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_{11}$에서 가운데($6$번째) 수가 $a_6 = 9$이다.
유일한 최빈값 $8$은 $8$이 다른 어떤 값보다도 더 자주 나타난다는 뜻이다.
$8 < 9 = a_6$이므로 모든 $8$은 처음 다섯 자리 $a_1..a_5$에 있어야 한다.

$$\text{합} = 110, \quad a_6 = 9, \quad \#(8) > \#(\text{다른 어떤 값})$$

💡 평균, 중앙값, 최빈값은 같은 목록을 세 가지로 요약한 것일 뿐이며, 각각은 사실 수들이 지켜야 할 규칙이다.

#14 극단의 원리 6.EE.B.6 단계 2

합은 고정, 나머지는 줄이기

합은 $110$에 묶여 있다.
한 항이 거대해지려면 나머지 열 항이 규칙이 허용하는 만큼 작아야 하는데, 가장 큰 항은 $110$에서 나머지 열 항의 합을 뺀 값이기 때문이다.
그래서 목표는 $a_6 = 9$, 정렬 순서, 유일 최빈값 규칙을 지키면서 $a_1 + \dots + a_{10}$을 최소화하는 것이 된다.

$$a_{11} = 110 - (a_1 + a_2 + \dots + a_{10})$$

💡 $110$이라는 고정된 총량에서 한 수를 크게 만드는 것은 나머지 모두를 작게 만드는 것과 같다.

#6 추측하고 확인하기 6.SP.B.5 단계 3

값싼 아래쪽 절반 만들기

최빈값 $8$은 $a_1..a_5$ 자리에 있다.
$8$을 세 번 쓰는 것이 최적점이다: 뒤에서 필요한 다른 값 하나가 두 번 나타나도록 허용하면서도 합을 너무 쓰지 않는다.
남은 낮은 두 자리는 가장 작은 양의 정수 $1$로 채운다.
그러면 아래쪽 다섯은 $1, 1, 8, 8, 8$이고 합은 $26$, 최빈값을 세 번 쓴다.

$$a_1..a_5 = 1, 1, 8, 8, 8 \;\Rightarrow\; \#(8) = 3, \quad \text{합} = 26$$

💡 $8$이 세 개면 표에서 앞서기에 충분하므로 남은 자리는 $1$까지 떨어뜨릴 수 있다.

#6 추측하고 확인하기 6.NS.C.7 단계 4

값싼 위쪽 절반 만들기

가운데는 $a_6 = 9$이다.
$a_7..a_{10}$ 자리는 $\ge 9$여야 하고, 어떤 값도 복사본이 $3$개에 이르면 안 된다(최빈값의 개수 $3$과 동점이 되기 때문).
그래서 $9$는 많아야 두 번 나올 수 있으니 $9$를 하나 더 쓰고(총 두 개), 그 위로 가장 작은 반복인 $10, 10$, 그다음 $11$을 쓴다.
그러면 $a_6..a_{10} = 9, 9, 10, 10, 11$로 합은 $49$이고 모든 값이 세 개 미만으로 유지된다.

$$a_6..a_{10} = 9, 9, 10, 10, 11, \quad \text{합} = 49, \quad \#(9)=\#(10)=2$$

💡 $9$ 바로 위 수들을 작게 유지하되, 그중 어떤 것도 세 개의 $8$과 동점이 되지 않게 한다.

#14 극단의 원리 6.NS.B.3 단계 5

최댓값 읽어내기

처음 열 수의 합은 $26 + 49 = 75$이다.
열한 번째이자 가장 큰 수는 $110 - 75 = 35$이다.
완성된 목록 $1, 1, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 35$를 확인하면: 합 $110$(평균 $10$), $6$번째 값 $9$(중앙값 $9$), $8$은 세 번 나타나고 다른 모든 값은 많아야 두 번(유일 최빈값 $8$).
가능한 가장 큰 정수는 $35$, 선택지 $\textbf{(E)}$이다.

$$a_{11} = 110 - 75 = 35 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 아래의 모든 수를 합법적인 최솟값까지 짜냈으므로, 남는 것은 마지막의 가장 큰 수로 몰린다.

[1] #4 6.SP.B.5 각 대푯값을 해독한다. $11$개 수의 평균이 $10$이면 합은 $11 \times 10 = 110$이다. 중앙값이 $9$이면 정렬한 목록 $a

[2] #14 6.EE.B.6 합은 $110$에 묶여 있다. 한 항이 거대해지려면 나머지 열 항이 규칙이 허용하는 만큼 작아야 하는데, 가장 큰 항은 $110$에서 나머지 열

[3] #6 6.SP.B.5 최빈값 $8$은 $a_1..a_5$ 자리에 있다. $8$을 세 번 쓰는 것이 최적점이다: 뒤에서 필요한 다른 값 하나가 두 번 나타나도록 허용하

[4] #6 6.NS.C.7 가운데는 $a_6 = 9$이다. $a_7..a_{10}$ 자리는 $\ge 9$여야 하고, 어떤 값도 복사본이 $3$개에 이르면 안 된다(최빈값의

[5] #14 6.NS.B.3 처음 열 수의 합은 $26 + 49 = 75$이다. 열한 번째이자 가장 큰 수는 $110 - 75 = 35$이다. 완성된 목록 $1, 1, 8,

검토

합리성 확인: 우승 목록 $1, 1, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 35$를 다시 확인한다: 합 $= 110$이므로 평균 $= 10$; 정렬하면 $6$번째 항이 $9$이므로 중앙값 $= 9$; 개수는 $8{:}3$, $9{:}2$, $10{:}2$, $1{:}2$, $11{:}1$, $35{:}1$이므로 $8$이 유일한 최빈값이다. 세 조건이 모두 성립하고 $35$가 선택지 중 가장 큰 값이므로 그보다 큰 것은 없다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): $8$의 개수를 하나씩 시험한다. $8$이 다섯 개면 아래가 $8,8,8,8,8,9,9,9,9,10$으로 강제되어 $24$(선택지 A)가 남는다. 네 개면 최댓값 $30$(선택지 B). 두 개면 다른 값이 모두 서로 달라져 $33$(선택지 D). 세 개면 $35$(선택지 E)로 가장 크다. 잘못된 $8$의 개수가 정확히 오답 선택지들에 떨어지므로, $8$을 세 개 쓰고 $35$가 정답이라는 강력한 확증이 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 Summarize numerical data sets by reporting number of observations and measures (평균 $10$을 합 $110$으로, 중앙값 $9$를 정렬한 $6$번째 값으로, 유일 최빈값 $8$을 엄격한 개수 조건으로 변환하는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (가장 큰 항을 $110$에서 나머지 열 항의 합을 뺀 값으로 쓰는 데 사용 — 나머지를 최소화하면 최대화된다.)
6.NS.C.7 Understand ordering and absolute value of rational numbers (목록을 정렬하고 최빈값 개수와 동점이 되지 않게 각 자리에서 가장 작은 합법적 값을 고르는 데 사용.)
6.NS.B.3 Fluently add, subtract, multiply, and divide multi-digit decimals (작은 열 개 항을 더해 $75$를 얻고 $110$에서 빼 최댓값 $35$를 구하는 데 사용.)

⭐ 합이 고정되어 있을 때는, 평균·중앙값·최빈값 규칙이 허용하는 최소값까지 다른 모든 수를 짜내면 한 수를 거대하게 만들 수 있다.