AMC 10 · 2014 · #2

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

exponentsfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: exponents

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

$\frac{2^3 + 2^3}{2^{-3} + 2^{-3}}$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 분수 $\dfrac{2^3 + 2^3}{2^{-3} + 2^{-3}}$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: 분수의 위(분자)는 $2^3 + 2^3$; 분수의 아래(분모)는 $2^{-3} + 2^{-3}$; 음의 지수는 역수를 뜻함: $2^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}}$; 선택지: (A) $16$, (B) $24$, (C) $32$, (D) $48$, (E) $64$

구하는 것: 분수 전체가 같아지는 하나의 수

이해

문제 재정리: 분수 $\dfrac{2^3 + 2^3}{2^{-3} + 2^{-3}}$ 의 값을 구하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

이 분수는 사실 작은 일 세 개가 쌓여 있는 것이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 하나씩 처리합니다: 먼저 위에 있는 같은 거듭제곱 두 개를 더하고, 다음 아래에 있는 같은 역수 두 개를 더하고, 마지막에 나눕니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 점검입니다 — 아래가 아주 작은 수($\tfrac14$)이므로 그것으로 나누면 답은 위의 값 $16$ 보다 훨씬 커야 하고, 이는 (A) $16$ 을 바로 지웁니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 1

위에 있는 같은 거듭제곱 두 개 더하기

위는 $2^3 + 2^3$ 입니다.
$2^3 = 8$ 이므로 $8 + 8 = 16$ 입니다.
같은 것 두 개를 더하는 것은 두 배로 만드는 것이므로, 위는 $2 \cdot 2^3 = 2^4 = 16$ 과 같습니다.

$$2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16$$

💡 같은 거듭제곱 두 개를 더하면 그 거듭제곱의 두 배가 되고, 이는 지수를 하나 올린 것과 같습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.1 단계 2

아래에 있는 같은 역수 두 개 더하기

아래는 $2^{-3} + 2^{-3}$ 입니다.
음의 지수는 역수를 뜻하므로 $2^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}} = \dfrac{1}{8}$ 입니다.
두 개를 더하면 $\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$ 입니다.

$$2^{-3} + 2^{-3} = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$$

💡 음의 지수는 거듭제곱을 분수의 아래로 뒤집어 $2^{-3}$ 을 $\tfrac18$ 로 만듭니다.

#3 가능성 지우기 6.NS.A.1 단계 3

위를 아래로 나누기

이제 분수는 $\dfrac{16}{\,1/4\,}$ 입니다.
$\dfrac14$ 로 나누는 것은 그 역수 $4$ 를 곱하는 것과 같으므로 $16 \div \dfrac14 = 16 \cdot 4 = 64$ 입니다.
이는 선택지 (E)와 일치하며, 작은 분모가 이미 (A)를 지웠습니다.

$$\dfrac{16}{\;\frac{1}{4}\;} = 16 \cdot 4 = 64 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 $\tfrac14$ 로 나누는 것은 그 안에 $\tfrac14$ 이 몇 개 들어가는지 세는 것이며, 그 수의 네 배가 됩니다.

[1] #7 6.EE.A.1 위는 $2^3 + 2^3$ 입니다. $2^3 = 8$ 이므로 $8 + 8 = 16$ 입니다. 같은 것 두 개를 더하는 것은 두 배로 만드는 것이

[2] #7 8.EE.A.1 아래는 $2^{-3} + 2^{-3}$ 입니다. 음의 지수는 역수를 뜻하므로 $2^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}} = \dfrac{1

[3] #3 6.NS.A.1 이제 분수는 $\dfrac{16}{\,1/4\,}$ 입니다. $\dfrac14$ 로 나누는 것은 그 역수 $4$ 를 곱하는 것과 같으므로 $16

검토

합리성 확인: 위는 $16$ 이고 아래는 작은 $\tfrac14$ 이므로 나누면 결과가 $16$ 보다 훨씬 커져야 하고 — 위의 네 배인 $64$ 에 도달하는 것이 자연스럽습니다. 음의 지수를 잊고 아래도 $2^3 + 2^3 = 16$ 으로 읽은 학생은 $16/16 = 1$ 을 얻는데, 이는 선택지에도 없어 역수 단계가 중요함을 분명히 알려 줍니다.

대안 접근: 모두 $2$ 의 거듭제곱으로 두고 봅니다. 위는 $2 \cdot 2^3 = 2^4$ 이고 아래는 $2 \cdot 2^{-3} = 2^{-2}$ 이므로 분수는 $\dfrac{2^4}{2^{-2}} = 2^{4-(-2)} = 2^{6} = 64$ 이 되어 (E)가 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식을 쓰고 계산한다 ($2^3 = 8$ 을 계산하고 분수 위의 $2^3 + 2^3 = 16$ 을 더하는 데 사용.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용한다 (음의 지수 $2^{-3}$ 을 역수 $\dfrac{1}{8}$ 로 다시 써서 아래를 더하는 데 사용.)
6.NS.A.1 분수의 나눗셈의 몫을 해석하고 계산한다 (역수를 곱해 $16 \div \dfrac14 = 16 \cdot 4 = 64$ 를 계산하는 데 사용.)

⭐ 지저분한 분수는 위, 아래, 나눗셈으로 쪼개세요 — 그리고 음의 지수는 거듭제곱을 분수의 아래로 뒤집는다는 것을 기억하세요.