AMC 10 · 2014 · #20

학년 8 arithmetic
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polynomial-factoringsign-analysisperfect-squares bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: polynomial-factoring
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
x⁴-51x²+50 의 값이 음수가 되도록 하는 정수 x 가 몇 개인지 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
8
(B)
10
(C)
12
(D)
14
(E)
16

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

식에는 x⁴과 x²만 나오므로 y=x²로 놓으면(도구 #4) 무서운 사차식이 쉽게 인수분해되는 평범한 이차식 y²-51y+50으로 바뀐다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 나눈다: 먼저 인수분해하고, 언제 곱이 음수인지 정하고, 그것을 x 의 범위로 되돌린다. 마지막으로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 범위 안의 정수를 세되, 양수 값마다 짝이 되는 음수 값이 있다는 점을 기억한다.

1STEP 1

치환해서 이차식으로

x 의 거듭제곱이 모두 짝수이니 y=x²로 두면 식은 이차식 y²-51y+50 이 된다.

y=x²로 놓으면 → x⁴-51x²+50 = y²-51y+50
2STEP 2

인수분해하고 치환 되돌리기

곱이 50, 합이 51 인 두 수는 1과 50 이므로 (y-1)(y-50), 되돌리면 (x²-1)(x²-50).

y²-51y+50=(y-1)(y-50) → (x²-1)(x²-50)
3STEP 3

언제 곱이 음수인지 정하기

곱이 음수이려면 부호가 반대여야 하고, 늘 더 큰 x²-1이 양수, x²-50이 음수다.

(x²-1)(x²-50) ＜ 0 → x²-1 ＞ 0 그리고 x²-50 ＜ 0
4STEP 4

두 조건을 범위로 바꾸기

즉 1 ＜ x² ＜ 50이고, 7²=49는 되지만 8²=64는 넘으니 x 의 크기는 2부터 7 까지다.

1 ＜ x² ＜ 50 → 2 ≤ |x| ≤ 7
5STEP 5

두 부호를 모두 세기

크기마다 양수·음수 짝이 있으니 2,3,4,5,6,7과 그 음수로 6×2=12 개, 즉 (C)이다.

{±2,±3,±4,±5,±6,±7} → 6×2=12 → (C)
정답
12
경계값과 내부값을 확인한다. x=1 일 때: 1-51+50=0으로 음수가 아니어서 올바르게 제외된다. x=2 일 때: 16-204+50=-138로 음수여서 포함된다. x=7 일 때: 2401-2499+50=-48로 음수여서 포함된다. x=8 일 때: 4096-3264+50=882로 양수여서 올바르게 제외된다. 따라서 사용 가능한 크기는 정말로 2부터 7 까지이고, 12 개의 정수가 되어 (C)와 일치한다.
💡핵심 정리

x²을 한 글자로 이름 붙여 두 조각으로 인수분해하면, 답은 제곱이 1과 50 사이에 엄격히 들어오는 정수를 양쪽 부호 모두 센 것뿐이다.

  • 치환해서 이차식으로
  • 인수분해하고 치환 되돌리기
  • 언제 곱이 음수인지 정하기
  • 두 조건을 범위로 바꾸기
  • 두 부호를 모두 세기

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