AMC 10 · 2014 · #20

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

polynomial-factoringsign-analysisperfect-squares bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: polynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$x^4-51x^2+50$ 이 음수가 되는 정수 $x$ 는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $x^4-51x^2+50$ 의 값이 음수가 되도록 하는 정수 $x$ 가 몇 개인지 세어라.

주어진 것: 식 $x^4-51x^2+50$; 값의 부호만 중요하다 — $0$ 보다 작아야 한다; $x$ 는 정수여야 한다; 선택지: (A) $8$, (B) $10$, (C) $12$, (D) $14$, (E) $16$

구하는 것: 이 식을 음수로 만드는 정수 $x$ 의 개수

이해

문제 재정리: $x^4-51x^2+50$ 의 값이 음수가 되도록 하는 정수 $x$ 가 몇 개인지 세어라.

주어진 것: 식 $x^4-51x^2+50$; 값의 부호만 중요하다 — $0$ 보다 작아야 한다; $x$ 는 정수여야 한다; 선택지: (A) $8$, (B) $10$, (C) $12$, (D) $14$, (E) $16$

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기

식에는 $x^4$ 과 $x^2$ 만 나오므로 $y=x^2$ 로 놓으면(도구 #4) 무서운 사차식이 쉽게 인수분해되는 평범한 이차식 $y^2-51y+50$ 으로 바뀐다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 나눈다: 먼저 인수분해하고, 언제 곱이 음수인지 정하고, 그것을 $x$ 의 범위로 되돌린다. 마지막으로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 범위 안의 정수를 세되, 양수 값마다 짝이 되는 음수 값이 있다는 점을 기억한다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

치환해서 이차식으로

식에 나오는 $x$ 의 거듭제곱은 모두 짝수이므로 $x^2$ 을 한 글자 $y$ 로 바꾼다.
그러면 $x^4=(x^2)^2=y^2$ 이 되어 식은 $y^2-51y+50$ 이 된다.
$x$ 에 대한 사차식이 이제 $y$ 에 대한 익숙한 이차식이 되었다.

$$y=x^2 \text{ 로 놓으면} \;\Rightarrow\; x^4-51x^2+50 = y^2-51y+50$$

💡 반복되는 조각 $x^2$ 을 한 변수로 이름 붙이면 무서운 지수가 사라지고 평범한 이차식만 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 2

인수분해하고 치환 되돌리기

곱하면 $50$, 더하면 $51$ 이 되는 두 수를 찾는다: $1$ 과 $50$ 이다.
따라서 $y^2-51y+50=(y-1)(y-50)$ 이다.
$y=x^2$ 을 다시 넣으면 $(x^2-1)(x^2-50)$ 이 된다.
전개해서 확인하면 $x^4-50x^2-x^2+50=x^4-51x^2+50$ 으로 맞다.

$$y^2-51y+50=(y-1)(y-50)\;\Rightarrow\;(x^2-1)(x^2-50)$$

💡 인수분해는 합 모양의 식을 곱으로 바꾸고, 곱의 부호는 다루기 쉽다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.2 단계 3

언제 곱이 음수인지 정하기

두 수의 곱은 한 인수가 양수이고 다른 인수가 음수일 때에만 음수가 된다.
두 인수를 비교하면 $x^2-1$ 은 항상 $x^2-50$ 보다 크다($1$ 을 빼는 것이 $50$ 을 빼는 것보다 덜 줄인다).
그러므로 더 큰 $x^2-1$ 이 양수 인수, 더 작은 $x^2-50$ 이 음수 인수여야 한다.
즉 $x^2-1>0$ 과 $x^2-50<0$ 이 동시에 성립해야 한다.

$$(x^2-1)(x^2-50)<0 \;\Rightarrow\; x^2-1>0 \text{ 그리고 } x^2-50<0$$

💡 곱이 $0$ 아래로 내려가려면 두 인수가 서로 밀어야 한다 — 하나는 양수로, 하나는 음수로.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 4

두 조건을 범위로 바꾸기

두 조건은 $x^2>1$ 이고 $x^2<50$ 이라는 뜻이므로, $x^2$ 은 $1$ 과 $50$ 사이에 엄격히 들어와야 한다.
$7^2=49$ 는 아직 $50$ 미만이지만 $8^2=64$ 는 넘으므로, $x$ 의 크기는 $2,3,4,5,6,7$ 이 될 수 있다(크기 $1$ 은 $x^2=1$ 이 되어 $1$ 보다 크지 않으므로 제외).

$$1<x^2<50 \;\Rightarrow\; 2\le |x|\le 7$$

💡 $1$ 과 $50$ 사이의 완전제곱수는 $4,9,16,25,36,49$ 이고, 이것이 $x$ 의 크기로 가능한 자연수를 정확히 정해 준다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.5 단계 5

두 부호를 모두 세기

식은 $x$ 와 $-x$ 를 똑같이 다루므로, 허용된 크기마다 양수와 음수 두 개의 정수가 나온다.
양수는 $2,3,4,5,6,7$, 음수는 $-2,-3,-4,-5,-6,-7$ 이다.
그러면 $6+6=12$ 개의 정수이고, 이것이 선택지 (C)이다.

$$\{\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6,\pm7\}\;\Rightarrow\;6\times2=12\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 짝수 거듭제곱만 나오므로 모든 양수 해는 음수 짝을 가진다 — 한쪽만 세고 두 배 하면 된다.

[1] #4 6.EE.B.6 식에 나오는 $x$ 의 거듭제곱은 모두 짝수이므로 $x^2$ 을 한 글자 $y$ 로 바꾼다. 그러면 $x^4=(x^2)^2=y^2$ 이 되어 식

[2] #7 6.EE.A.3 곱하면 $50$, 더하면 $51$ 이 되는 두 수를 찾는다: $1$ 과 $50$ 이다. 따라서 $y^2-51y+50=(y-1)(y-50)$ 이다

[3] #7 7.NS.A.2 두 수의 곱은 한 인수가 양수이고 다른 인수가 음수일 때에만 음수가 된다. 두 인수를 비교하면 $x^2-1$ 은 항상 $x^2-50$ 보다 크다

[4] #7 8.EE.A.2 두 조건은 $x^2>1$ 이고 $x^2<50$ 이라는 뜻이므로, $x^2$ 은 $1$ 과 $50$ 사이에 엄격히 들어와야 한다. $7^2=49$

[5] #2 6.EE.B.5 식은 $x$ 와 $-x$ 를 똑같이 다루므로, 허용된 크기마다 양수와 음수 두 개의 정수가 나온다. 양수는 $2,3,4,5,6,7$, 음수는 $

검토

합리성 확인: 경계값과 내부값을 확인한다. $x=1$ 일 때: $1-51+50=0$ 으로 음수가 아니어서 올바르게 제외된다. $x=2$ 일 때: $16-204+50=-138$ 로 음수여서 포함된다. $x=7$ 일 때: $2401-2499+50=-48$ 로 음수여서 포함된다. $x=8$ 일 때: $4096-3264+50=882$ 로 양수여서 올바르게 제외된다. 따라서 사용 가능한 크기는 정말로 $2$ 부터 $7$ 까지이고, $12$ 개의 정수가 되어 (C)와 일치한다.

대안 접근: $y=x^4-51x^2+50$ 을 $x^2$ 에 대해 위로 열린 곡선으로 보면 근이 $x^2=1$ 과 $x^2=50$ 에 있고, 그 두 근 사이에서만 $0$ 아래로 내려간다. 즉 $1<x^2<50$ 이다. $2\le|x|\le7$ 인 정수 $x$ 를 읽어 내면 다시 $12$ 개가 되어, 몇 개 어긋나는 함정 (B) $10$ 이나 (D) $14$ 가 아니라 (C)임을 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems ($y=x^2$ 으로 치환하여 사차식 $x^4-51x^2+50$ 을 이차식 $y^2-51y+50$ 으로 다시 쓰기.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($y^2-51y+50=(y-1)(y-50)$ 로 인수분해하고 $(x^2-1)(x^2-50)$ 으로 되돌리기.)
7.NS.A.2 Apply and extend understanding of multiplication and division of rational numbers (곱이 음수가 되려면 두 인수의 부호가 서로 달라야 한다는 사실 이용하기.)
8.EE.A.2 Use square root and cube root symbols to represent solutions (완전제곱수를 이용해 $1<x^2<50$ 을 크기 범위 $2\le|x|\le7$ 로 바꾸기.)
6.EE.B.5 Understand solving an equation or inequality as a process of finding values ($2\le|x|\le7$ 을 만족하는 정수를 나열하고 양수·음수 짝을 세기.)

⭐ $x^2$ 을 한 글자로 이름 붙여 두 조각으로 인수분해하면, 답은 제곱이 $1$ 과 $50$ 사이에 엄격히 들어오는 정수를 양쪽 부호 모두 센 것뿐이다.