AMC 10 · 2014 · #7

학년 7 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

percentagelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentage

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

$A>B>0$ 이고 $A$ 가 $B$ 보다 $x$ % 만큼 크다고 하자. $x$ 는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$100\left(\frac{A-B}{B}\right)$

(B)

$100\left(\frac{A+B}{B}\right)$

(C)

$100\left(\frac{A+B}{A}\right)$

(D)

$100\left(\frac{A-B}{A}\right)$

(E)

$100\left(\frac{A}{B}\right)$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 양수가 $A>B>0$을 만족하고, $A$는 $B$보다 $x\%$ 더 크다. $x$를 $A$와 $B$로 나타내고, 주어진 식 중 어느 것과 같은지 찾아라.

주어진 것: $A$와 $B$는 $A>B>0$인 수이다; $A$는 $B$보다 $x\%$ 더 크다; 보기는 모두 식이다: (A) $100\left(\frac{A-B}{B}\right)$, (B) $100\left(\frac{A+B}{B}\right)$, (C) $100\left(\frac{A+B}{A}\right)$, (D) $100\left(\frac{A-B}{A}\right)$, (E) $100\left(\frac{A}{B}\right)$

구하는 것: $A$와 $B$로 나타낸 백분율 $x$

이해

문제 재정리: 두 양수가 $A>B>0$을 만족하고, $A$는 $B$보다 $x\%$ 더 크다. $x$를 $A$와 $B$로 나타내고, 주어진 식 중 어느 것과 같은지 찾아라.

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #6 추측하고 확인하기

"$A$는 $B$보다 $x\%$ 더 크다"라는 말 속에는 식 하나가 숨어 있다. 변수 $x$는 이미 이름이 붙어 있으므로 도구 #4(변수 도입하기)는 끝난 셈이고, 할 일은 도구 #13(대수로 바꾸기)이다. 즉 이 말을 $A = B + \frac{x}{100}B$로 옮겨 $x$에 대해 푸는 것이다. 보기가 식이므로, 구체적인 수를 넣는 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 대수 계산이 옳은 보기에 도달했는지 따로 확인할 수 있다.

실행 — 정답: A

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

백분율 표현을 식으로 옮기기

"$A$는 $B$보다 $x\%$ 더 크다"는 $B$에서 시작해 $B$의 $x\%$를 더한다는 뜻이다.
$B$의 백분율은 그 백분율을 $100$으로 나눈 뒤 $B$를 곱한 것이므로, $B$의 $x\%$는 $\frac{x}{100}B$이다.
이것을 $B$에 더하면 $A$가 된다.

$$A = B + \dfrac{x}{100}\,B$$

💡 "몇 퍼센트 더 크다"는 언제나 원래 양에 그 양의 일부를 더한다는 뜻이다.

#13 대수로 바꾸기 7.RP.A.3 단계 2

증가한 부분만 남기기

양변에서 $B$를 빼서 한쪽에는 증가한 부분만 남긴다.
왼쪽은 두 수의 차 $A-B$가 되고, 이것이 $\frac{x}{100}B$와 같다.

$$A - B = \dfrac{x}{100}\,B$$

💡 차이 $A-B$는 백분율 증가가 더해 준 바로 그 여분이다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 3

$x$에 대해 풀기

양변을 $B$로 나눠 분수 $\frac{x}{100}$를 떼어내고, 다시 양변에 $100$을 곱해 $x$만 남긴다.
그러면 $x = 100\left(\frac{A-B}{B}\right)$, 즉 차이 $A-B$를 원래 값 $B$와 견주어 백분율로 바꾼 것이다.
이는 보기 $\textbf{(A)}$이다.

$$\dfrac{A-B}{B} = \dfrac{x}{100} \;\Rightarrow\; x = 100\left(\dfrac{A-B}{B}\right)\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 증가율은 언제나 변화량을 시작값으로 나눈 뒤 $100$을 곱한 것이다.

[1] #4 6.EE.B.6 "$A$는 $B$보다 $x\%$ 더 크다"는 $B$에서 시작해 $B$의 $x\%$를 더한다는 뜻이다. $B$의 백분율은 그 백분율을 $100$으

[2] #13 7.RP.A.3 양변에서 $B$를 빼서 한쪽에는 증가한 부분만 남긴다. 왼쪽은 두 수의 차 $A-B$가 되고, 이것이 $\frac{x}{100}B$와 같다.

[3] #13 6.EE.B.7 양변을 $B$로 나눠 분수 $\frac{x}{100}$를 떼어내고, 다시 양변에 $100$을 곱해 $x$만 남긴다. 그러면 $x = 100\le

검토

합리성 확인: 결과는 변화량 $A-B$를 원래 값 $B$와 견준다. 이는 "$B$보다 크다"가 요구하는 바와 맞다. 기준이 $B$이므로 $B$가 분모에 와야 한다. $A>B$이므로 분자 $A-B$는 양수이고 따라서 $x>0$이 되어 "더 크다"와 일치한다. 분모에 $A$를 쓰거나(D, E, C) 빼는 대신 더한 보기(B, C)는 기준이나 대상이 틀렸으므로 답이 될 수 없다.

대안 접근: 추측하고 확인하기: $B=100$, $A=110$이라 하자. 그러면 $A$는 $B$보다 분명히 $10\%$ 크므로 $x=10$이다. 보기 (A)에 넣으면 $100\left(\frac{110-100}{100}\right)=100\cdot\frac{10}{100}=10$. 오직 (A)만 $10$을 돌려주어 대수 계산을 확인해 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems ("$A$는 $B$보다 $x\%$ 더 크다"를 식 $A = B + \frac{x}{100}B$로 옮기기.)
7.RP.A.3 Use proportional relationships to solve multi-step ratio and percent problems (백분율 증가를 기준값 $B$에 대한 차이 $A-B$로 읽어내기.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($A-B=\frac{x}{100}B$에서 $x$를 분리해 $x = 100\left(\frac{A-B}{B}\right)$ 얻기.)

⭐ 백분율 증가는 변화량을 시작한 값으로 나눈 뒤 $100$을 곱한 것 — 그래서 $100$ 곱하기 $(A-B)$ 나누기 $B$이다.