AMC 10 · 2014 · #7

학년 7 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

percentagelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentage

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

두 양수 A와 B가 A ＞ B ＞ 0을 만족하고, A는 B보다 x% 더 크다. x를 A와 B로 나타낸 식을 주어진 보기에서 찾아라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$100\left(\frac{A-B}{B}\right)$

(B)

$100\left(\frac{A+B}{B}\right)$

(C)

$100\left(\frac{A+B}{A}\right)$

(D)

$100\left(\frac{A-B}{A}\right)$

(E)

$100\left(\frac{A}{B}\right)$

AMC 10 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

"A는 B보다 x% 더 크다"라는 말 속에는 식 하나가 숨어 있다. 변수 x는 이미 이름이 붙어 있으므로 도구 #4(변수 도입하기)는 끝난 셈이고, 할 일은 도구 #13(대수로 바꾸기)이다. 즉 이 말을 A = B + x/100B로 옮겨 x에 대해 푸는 것이다. 보기가 식이므로, 구체적인 수를 넣는 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 대수 계산이 옳은 보기에 도달했는지 따로 확인할 수 있다.

1STEP 1

백분율 표현을 식으로 옮기기

"A는 B보다 x% 더 크다"는 B에서 시작해 B의 x%를 더한다는 뜻이므로 A = B + (x/100)B.

A = B + x/100 B

2STEP 2

증가한 부분만 남기기

양변에서 B를 빼면 남는 것은 더해진 부분뿐이다: A - B = (x/100)B.

A - B = x/100 B

3STEP 3

x에 대해 풀기

양변을 B로 나눈 뒤 100을 곱하면 x = 100((A-B)/B), 즉 원래 값 B에 견준 차이 — 보기 (A).

(A-B)/B = x/100 → x = 100((A-B)/B) → (A)

정답

100((A-B)/B)

결과는 변화량 A-B를 원래 값 B와 견준다. 이는 "B보다 크다"가 요구하는 바와 맞다. 기준이 B이므로 B가 분모에 와야 한다. A ＞ B이므로 분자 A-B는 양수이고 따라서 x ＞ 0이 되어 "더 크다"와 일치한다. 분모에 A를 쓰거나(D, E, C) 빼는 대신 더한 보기(B, C)는 기준이나 대상이 틀렸으므로 답이 될 수 없다.

💡핵심 정리

백분율 증가는 변화량을 시작한 값으로 나눈 뒤 100을 곱한 것 — 그래서 100 곱하기 (A-B) 나누기 B이다.

백분율 표현을 식으로 옮기기
증가한 부분만 남기기
x에 대해 풀기

백분율 표현을 식으로 옮기기

증가한 부분만 남기기

x에 대해 풀기

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