AMC 10 · 2015 · #13

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

linear-equations-one-varmultiplessystematic-enumeration logical-deduction ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

클라우디아는 동전 12개를 가지고 있고, 각 동전은 5센트 또는 10센트짜리다. 동전 하나 이상을 골라 만들 수 있는 합을 모두 세면 서로 다른 값이 정확히 17가지 나온다. 그중 10센트짜리 동전이 몇 개인지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이 문제에는 모르는 양이 하나 — 10센트 동전이 몇 개인가 — 숨어 있으므로 도구 #4(변수 도입하기)로 그것을 y라 부르고 5센트 동전 개수를 12-y로 고정한다. "서로 다른 값 17가지"라는 말은 막연해 보이지만 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심 규칙성을 드러낸다: 5센트 동전이 적어도 하나 있으므로 만들 수 있는 합은 가장 작은 동전부터 전체 더미까지 5의 배수가 빈틈없이 행진한다. 그다음 도구 #8(단위 살펴보기)이 이를 환전한다: 5센트를 단위로 세면 "서로 다른 값 17가지"가 "더미는 5의 17배"라는 깔끔한 수가 되어 곧장 y와 이어진다.

1STEP 1

모르는 동전에 이름 붙이기

10센트 동전 개수를 y라 하면 나머지 12-y개는 5센트 동전이다.

y=10센트 동전 개수, 12-y=5센트 동전 개수

2STEP 2

합은 빈틈없는 5의 배수

5센트 동전이 있어 합은 5센트씩 빈틈없이 올라가 더미 전체까지 이른다.

서로 다른 합의 개수 = (더미 전체의 값)/5

3STEP 3

17가지 값을 총액으로 바꾸기

서로 다른 합 17가지는 5가 17개란 뜻: 17 × 5 = 85센트다.

17가지 → 더미 전체=17 × 5=85센트

4STEP 4

값 방정식을 세워 풀기

5(12-y)+10y=85를 풀면 y = 5, 답은 (C)이다.

5(12-y)+10y=85 → 60+5y=85 → y=5 → (C)

정답

개수를 직접 확인하자: 10센트 5개와 5센트 12-5=7개의 값은 5 · 10 + 7 · 5 = 50+35 = 85센트로, 5가 17개이며 요구된 17가지 합(배수 5,10,…,85)과 들어맞는다. 답이 운이 아니라 강제됨도 확인된다: 5센트를 10센트로 하나 바꿀 때마다 더미는 5센트 늘고 값의 개수는 정확히 1씩 오르므로, y=3이면 15가지, y=4이면 16가지, y=5이면 17가지, y=6이면 18가지, y=7이면 19가지다. 17에 닿는 것은 y=5뿐이라 (A), (B), (D), (E)가 모두 배제된다.

💡핵심 정리

5센트씩 세면 합의 개수는 더미 값을 5로 나눈 것이라, 17가지면 85센트, 곧 10센트 5개다.

모르는 동전에 이름 붙이기
합은 빈틈없는 5의 배수
17가지 값을 총액으로 바꾸기
값 방정식을 세워 풀기

모르는 동전에 이름 붙이기

합은 빈틈없는 5의 배수

17가지 값을 총액으로 바꾸기

값 방정식을 세워 풀기

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