AMC 10 · 2015 · #19

학년 8 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
isosceles-trianglethirty-sixty-ninety-trianglearea-triangles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: thirty-sixty-ninety-trianglearea-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
삼각형 ABC는 C에서 직각을 이루고 넓이가 12.5인 직각이등변삼각형이다. C에서 나온 두 반직선이 직각을 똑같은 세 각으로 나누고, 이 반직선들은 빗변 AB와 점 D, E에서 만난다. 삼각형 CDE의 넓이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\dfrac{5\sqrt{2}}{3}$
(B)
$\dfrac{50\sqrt{3}-75}{4}$
(C)
$\dfrac{15\sqrt{3}}{8}$
(D)
$\dfrac{50-25\sqrt{3}}{2}$
(E)
$\dfrac{25}{6}$

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

문제 전체가 그림 하나 안에 들어 있으므로 도구 #1(그림 그리기)이 중심축이다: 삼각형과 두 삼등분 반직선을 그리면 30° 각들과 CD=CE를 만드는 대칭성이 드러난다. 가운데 삼각형 CDE는 정면으로 다루기 까다로우므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 다시 본다: 수선 하나를 내리면 도형이 변의 비를 아는 45-45-90 삼각형과 30-60-90 삼각형으로 쪼개지고, 그러면 CDE는 전체 삼각형에서 똑같은 두 모서리 삼각형을 뺀 것일 뿐이다. 도구 #4(변수 도입하기)는 그 수선의 높이에 이름을 붙여 두 개의 알려진 비가 하나의 방정식에서 만나 그 값을 못 박게 한다.

1STEP 1

다리 길이 구하기

직각삼각형의 넓이는 두 다리의 곱의 절반이므로, 1/2 a² = 12.5를 풀면 a = 5입니다.

1/2 a² = 12.5 → a² = 25 → a = 5
2STEP 2

삼등분된 각 표시하기

C의 90°를 삼등분하면 ∠ ACD=∠ DCE=∠ ECB=30°이고, 밑각은 각각 45°입니다.

∠ ACD=∠ DCE=∠ ECB=30°, ∠ CAB=∠ CBA=45°
3STEP 3

수선을 내려 특수 삼각형 만들기

D에서 CA에 내린 수선의 발 F가 모서리를 30-60-90(∠ DCF=30°)과 45-45-90(∠ DAF=45°) 삼각형으로 나눕니다.

CF=√3 DF, CD=2 DF, AF=DF
4STEP 4

높이와 모서리 넓이 구하기

CF + AF = 5로 h = 5(√3-1)/2를 구하면, 삼각형 ACD의 넓이는 25(√3-1)/4입니다.

h(√3+1)=5→ h=(5(√3-1))/2, [ACD]=1/2·5· h=(25(√3-1))/4
5STEP 5

똑같은 두 모서리 빼기

대칭에 의해 BCE≅ACD이므로 [CDE] = [ABC] - 2 [ACD] = (50 - 25√3)/2, 선택지 (D).

[CDE]=12.5-2·(25(√3-1))/4=(50-25√3)/2 (D)
정답
(50-25√(3))/2
크기를 어림하자: √3≈1.732이므로 [CDE]≈50-43.3/2≈3.35이다. 이는 전체 넓이 12.5의 작은 조각으로, 각각 45° 밑각을 향해 뻗는 더 넓은 두 30° 모서리 사이에 끼인 30° 쐐기에 들어맞으니 가운데 조각이 셋 중 가장 작아야 한다는 것과 일치한다. 이는 커 보이는 선택지들을 배제하고, 값이 약 3.35인 (D)와 맞아떨어진다. 똑같은 두 모서리 삼각형은 12.5-3.35≈9.15를 차지해 도형의 대부분을 이루니 자연스럽다.
💡핵심 정리

직각을 삼등분하면 30° 쐐기가 생긴다; 수선을 내려 아는 삼각형으로 쪼갠 뒤 똑같은 두 모서리를 뺀다.

  • 다리 길이 구하기
  • 삼등분된 각 표시하기
  • 수선을 내려 특수 삼각형 만들기
  • 높이와 모서리 넓이 구하기
  • 똑같은 두 모서리 빼기

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