AMC 10 · 2015 · #20

학년 6 geometry-2d
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
area-rectanglesperimeterprime-numbers simons-favorite-factoring-trick ↑ 선수 지식: area-rectanglesperimeter
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
직사각형의 두 변의 길이가 자연수이다. 넓이는 A, 둘레는 P이다. 보기로 주어진 다섯 개의 수 중에서, 합 A+P가 절대로 될 수 없는 수를 찾아라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
100
(B)
102
(C)
104
(D)
106
(E)
108

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

도구 #4(변수 도입하기)로 두 변을 a, b로 이름 붙이면 A+P가 하나의 식 ab+2a+2b가 된다. 핵심 동작은 인수분해 요령이다: 4를 더하면 이 지저분한 합이 깔끔한 곱 (a+2)(b+2)로 바뀌어서, 문제 전체가 약수 쌍에 대한 질문으로 줄어든다. 그러면 도구 #3(가능성 지우기)이 딱 맞는다 — 보기가 다섯 개뿐인 유한한 집합이라, 각각이 살아남는지 검사할 수 있기 때문이다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 '넓이', '둘레'라는 도형의 말을 우리가 다룰 수 있는 기호로 옮겨 주는 다리이다.

1STEP 1

변을 이름 붙이고 A+P 쓰기

두 변을 a, b로 이름 붙이면 넓이와 둘레가 A+P라는 하나의 식이 된다.

A+P = ab + 2a + 2b
2STEP 2

4를 더해 인수분해하기

4를 더하면 합이 곱 (a+2)(b+2)로 완성되어, A+P는 그 곱에서 4를 뺀 값이다.

A+P = (a+2)(b+2) - 4
3STEP 3

약수 쌍 검사로 바꾸기

각 보기를 검사하면 100, 104, 106, 108 모두 N+4의 3 이상인 두 인수로 쪼개진다.

(a+2)(b+2)=N+4, a+2 ≥ 3, b+2 ≥ 3
4STEP 4

실패하는 하나

106=2×53에서 3 이상인 인수 쌍이 없어, A+P=102인 직사각형은 없다.

106 = 2× 53, 53는 소수 → 둘 다 3 이상인 약수 쌍 없음 → (B)
정답
102
통과한 네 보기는 각각 실제 직사각형을 동반했으므로 정말로 가능하다 — 예를 들어 변 8과 9는 A=72, P=34, A+P=106으로 보기 (D)와 일치한다. 실패한 보기 102는 N+4=106=2×53이고, 약수 쌍이 1×106과 2×53뿐이라 둘 다 3 미만의 인수를 남겨서 변이 0 이하가 되어 불가능하다. 규칙은 명확하다: N+4가 소수의 두 배일 때에만 그 보기가 실패하며, 104,106,108,110,112 중에서 그런 값은 106 하나뿐이다.
💡핵심 정리

넓이 더하기 둘레는 (a+2)(b+2)-4이므로, 4를 더한 값이 3 이상인 두 인수의 곱이어야만 만들 수 있다.

  • 변을 이름 붙이고 A+P 쓰기
  • 4를 더해 인수분해하기
  • 약수 쌍 검사로 바꾸기
  • 실패하는 하나

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.