AMC 10 · 2015 · #23

학년 8 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration
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📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
이차함수 f(x)=x²-ax+2a 의 두 영점(근)이 모두 정수입니다. 이것을 가능하게 하는 모든 a 의 값을 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
7
(B)
8
(C)
16
(D)
17
(E)
18

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

도구 #4(변수 도입하기)로 두 정수 근을 p, q 라 부릅니다. f(x)=(x-p)(x-q) 를 x²-ax+2a 에 맞추면 '영점이 정수'라는 말이 깔끔한 두 식 p+q=a 와 pq=2a 로 바뀝니다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 남은 관계 pq=2(p+q) 를 인수분해 형태 (p-2)(q-2)=4 로 바꿔, 흩어진 식보다 훨씬 찾기 쉽게 만듭니다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 4 의 모든 정수 인수 쌍을 — 잊기 쉬운 음수 쌍까지 — 쓸어, 어떤 a 값도 놓치지 않습니다.

1STEP 1

정수 근에 이름 붙이기

근 p,q 를 이름 붙여 x²-ax+2a 와 계수를 맞추면 p+q=a 와 pq=2a 가 나옵니다.

f(x)=(x-p)(x-q)=x²-(p+q)x+pq → p+q=a, pq=2a
2STEP 2

a 소거하기

a=p+q 를 pq=2a 에 대입해 a 를 없애면 두 근 사이의 관계식 pq=2(p+q) 하나만 남습니다.

pq=2a=2(p+q)
3STEP 3

곱이 4인 형태로 인수분해하기

양변에 4 를 더하면 좌변이 깔끔하게 인수분해되어 (p-2)(q-2)=4 가 됩니다.

pq-2p-2q=0 → pq-2p-2q+4=4 → (p-2)(q-2)=4
4STEP 4

4의 인수 쌍 나열하기

놓치기 쉬운 음의 쌍까지 포함해 4 의 모든 정수 인수 쌍을 나열하면 가능한 a 값이 모두 나옵니다.

(1,4) :a=9; (2,2) :a=8; (-1,-4) :a=-1; (-2,-2) :a=0
5STEP 5

서로 다른 a 값 더하기

서로 다른 네 값을 더하면 9+8+(-1)+0=16, 선택지 (C)입니다.

9+8+(-1)+0=16 → (C)
정답
16
한 값을 점검해 봅시다: a=-1 이면 f(x)=x²+x-2=(x+2)(x-1) 로 근이 -2 와 1 — 둘 다 정수, 좋습니다. a=0 이면 f(x)=x² 으로 정수 중근 0 을 가집니다. 네 값 9,8,-1,0 은 정확히 4 의 네 인수 쌍이므로 목록이 완전합니다. 그 합 16 은 선택지 (C)이며, 많이 나오는 오답 17 (D)은 바로 두 음의 인수 쌍을 빼고 9+8 만 남길 때 나옵니다.
💡핵심 정리

근에 이름을 붙이고 조건을 (p-2)(q-2)=4로 바꾼 뒤, 4의 인수쌍을 음수까지 빠짐없이 나열한다.

  • 정수 근에 이름 붙이기
  • a 소거하기
  • 곱이 4인 형태로 인수분해하기
  • 4의 인수 쌍 나열하기
  • 서로 다른 a 값 더하기

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