AMC 10 · 2015 · #24

학년 8 geometry-2d

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pythagorean-theoremdifference-of-squaresperfect-squares bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

사각형 ABCD는 모든 변의 길이가 자연수이고 B와 C에서 직각을 이룬다. 한 변 AB는 2이고, 변 CD는 변 AD와 같다. 이런 도형이 가질 수 있는, 2015보다 작은 자연수 둘레의 개수를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 직각 덕분에 도형을 모눈 위에 놓고 모르는 변에 문자를 붙일 수 있다. BC와 CD를 문자로 두면, 같은 변 CD = AD가 하나의 피타고라스 식으로 바뀐다. 그 식을 풀면 허용되는 변의 길이가 드러나고, 둘레 한계에 대한 경계 점검으로 몇 개가 들어맞는지 알 수 있다.

1STEP 1

도형을 모눈 위에 놓기

B와 C의 직각 덕분에 도형을 모눈에 놓는다: B=(0,0), C=(y,0), A=(0,2), D=(y,x).

B=(0,0), C=(y,0), A=(0,2), D=(y,x)

2STEP 2

모르는 변에 문자 붙이기

y=BC, x=CD로 두면 CD=AD이므로 기울어진 변 AD도 x다: CD = x, DA = x.

BC=y, CD=AD=x, AB=2

3STEP 3

피타고라스 정리 적용하기

AD는 가로로 y, 세로로 x−2만큼 움직이고 AD=x이므로 피타고라스는 y² + (x−2)² = x²을 준다.

y²+(x-2)²=x²

4STEP 4

제곱수 조건으로 정리하기

전개하면 y²=4(x−1)이 되어 x−1은 완전제곱수 k²여야 한다: x = k² + 1, y = 2k.

y²=4(x-1) → x=k²+1, y=2k

5STEP 5

둘레를 식으로 쓰기

네 변을 더하고 k를 대입하면, 유효한 각 k ≥ 1에 대해 p = 2k² + 2k + 4이다.

p=2+2k+2(k²+1)=2k²+2k+4

6STEP 6

2015 미만의 경계 찾기

k=31은 맞고(p=1988) k=32는 초과(p=2116)이므로, k는 1부터 31까지: 답은 (B)다.

k=31: p=1988 ＜ 2015; k=32: p=2116 ＞ 2015

정답

p = 2k² + 2k + 4, 1 ≤ k ≤ 31

1부터 31까지의 각 k는 p = 2k² + 2k + 4를 엄밀히 증가시키므로(k=1에서 최소 p=8, k=31에서 최대 p=1988) 31개의 둘레가 모두 서로 다르고 모두 2015 미만이다. 개수 31은 선택지 (B)와 일치하고, k=32가 2116을 주는 아슬아슬한 차이가 31이 정확한 경계임을 확인해 준다.

💡핵심 정리

모르는 변에 문자를 붙이고 직각이 주는 피타고라스 식을 세우면, 들어맞는 도형은 자연수 k마다 하나씩 나타난다.

도형을 모눈 위에 놓기
모르는 변에 문자 붙이기
피타고라스 정리 적용하기
제곱수 조건으로 정리하기
둘레를 식으로 쓰기
2015 미만의 경계 찾기