AMC 10 · 2015 · #10

학년 7 arithmetic
유형 Units-Digit Tracking └ 세부 유형 Tail Collapses to Zero
units-digit-trackingparitymultiples identify-subproblems ↑ 선수 지식: units-digit-tracking
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
-2015 보다 엄격히 큰 모든 홀수 음의 정수를 서로 곱합니다. 그 하나의 곱에 대해 두 가지를 묻습니다: 양수인지 음수인지, 그리고 일의 자리 숫자가 무엇인지.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
It is a negative number ending with a 1.
(B)
It is a positive number ending with a 1.
(C)
It is a negative number ending with a 5.
(D)
It is a positive number ending with a 5.
(E)
It is a negative number ending with a 0.

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

선택지가 부호와 일의 자리라는 두 가지를 한꺼번에 묻습니다. 그래서 가장 깔끔한 방법은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)입니다: "양수냐 음수냐?" 와 "일의 자리 숫자는?" 를 따로 풀고 나서 합칩니다. 부호는 음의 인수가 몇 개인지 세면 나옵니다. 일의 자리는 도구 #5(패턴 찾기)로, 홀수들의 곱에 -5 가 한 번 들어오면 일의 자리가 5 에 고정되어 더는 바뀌지 않음을 보입니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 부호와 일의 자리 결과를 다섯 개의 글 선택지 중 정확히 하나에 맞춥니다.

1STEP 1

인수를 나열하고 질문을 쪼개기

-2015 보다 큰 홀수 음의 정수는 -1, -3, -5, …, -2013; 부호와 일의 자리만 필요하니 두 작은 문제로 쪼갭니다.

P = (-1)·(-3)·(-5)…(-2013)
2STEP 2

작은 문제 1: 부호 구하기

인수는 홀수 1, 3, 5, …, 2013에 대응하므로 1007개이고, 음수가 홀수 개라 곱은 음수입니다.

(2013-1)/2+1 = 1007 (홀수) → P ＜ 0
3STEP 3

작은 문제 2: 일의 자리 구하기

인수 중 -5가 있어 곱은 5의 배수이고, 모든 인수가 홀수라 일의 자리는 0이 아닌 5에 고정됩니다.

5 ∣ P 이고 P 는 홀수 → 일의 자리 = 5
4STEP 4

합쳐서 선택지 고르기

둘을 합치면 곱은 음수이고 일의 자리는 5이며, 이는 글 선택지 정확히 하나 — (C)에 들어맞습니다.

P ＜ 0, 일의 자리 = 5 → (C)
정답
It is a negative number ending with a 5.
같은 구조의 작은 버전으로 두 주장을 확인합니다. -9 까지 내려가는 홀수 음수들: (-1)(-3)(-5)(-7)(-9) = -945. 인수가 5 개(홀수 개)라 음수이고, 5 로 끝납니다 — 우리가 주장한 그대로 음수이며 5 로 끝나는 수입니다. 실제 곱은 인수가 더 많을 뿐, 개수의 홀짝은 그대로 홀수이고 갇혀 있는 인수 5 가 일의 자리를 5 로 유지하므로 (C) 가 성립합니다.
💡핵심 정리

부호와 마지막 자리만 묻는 문제라면 각각 따로 풀어라 — 부호는 음수의 개수를 세고, 일의 자리는 홀수들의 곱에 5가 들어오는 순간 5에 고정되는 것을 지켜봐라.

  • 인수를 나열하고 질문을 쪼개기
  • 작은 문제 1: 부호 구하기
  • 작은 문제 2: 일의 자리 구하기
  • 합쳐서 선택지 고르기

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