AMC 10 · 2015 · #15

학년 6 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In
ratio-proportionlinear-diophantine casework ↑ 선수 지식: ratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
햄릿 마을의 동물 수는 세 가지 규칙으로 고정된다: 말 한 마리당 사람 3명, 소 한 마리당 양 4마리, 사람 한 명당 오리 3마리. 사람, 말, 양, 소, 오리를 모두 합한 전체 수로 절대 나올 수 없는 값을 찾아라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
41
(B)
47
(C)
59
(D)
61
(E)
66

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

모든 수는 결국 말 몇 마리, 소 몇 마리라는 두 가지 선택으로 되돌아간다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 둘에 이름을 붙이고, 도구 #13(대수로 바꾸기)로 문장 전체를 합계 하나의 식으로 바꾼다. 합계의 형태가 고정되면 도구 #3(가능성 지우기)으로 각 선택지를 검사해 정수로 절대 만들 수 없는 값을 찾는다 — 문제가 묻는 바로 그것이다.

1STEP 1

자유로운 두 수에 이름 붙이기

모든 수가 말과 소로 거슬러 가니, 말의 수를 h, 소의 수를 c라 하자 — 자유롭게 고르는 정수다.

h = 말의 수, c = 소의 수, h, c ≥ 0 정수
2STEP 2

모든 수를 h와 c로 쓰기

비율을 잇는다: 사람 = 3h, 오리 = 9h, 양 = 4c, 여기에 말 h와 소 c — 다섯 수가 모두 h와 c로.

사람=3h, 말=h, 오리=9h, 소=c, 양=4c
3STEP 3

더한 뒤 같은 항끼리 묶기

다섯을 더해 묶으면 말 항 3h + h + 9h = 13h, 소 항 4c + c = 5c, 그래서 모든 합계는 13h + 5c 꼴이다.

합계 = 3h + h + 9h + 4c + c = 13h + 5c
4STEP 4

각 선택지를 정수 덩어리로 검사하기

13h + 5c로 도달해야만 가능하다. 13을 덜어내고 5의 배수인지 보면 — 오직 47만 매번 실패하니 (B)는 절대 나올 수 없다.

47-13h ∈ {47,34,21,8}, 어느 것도 5로 나누어떨어지지 않음 → (B)
정답
47
다섯 합계 중 넷은 작은 정수로 13h+5c에 말끔히 쪼개지는데, 이는 도달 가능한 수에서 마땅히 일어날 일이다. 오직 47만이 말 묶음 0부터 3까지 모두 버티고(13·4=52는 이미 초과), 마무리할 소 묶음의 정수 개수가 남지 않는다. 따라서 47이 홀로 불가능하다는 결론은 일관적이다.
💡핵심 정리

비율을 거슬러 몇 개의 자유로운 수로 되돌리고 같은 항을 모으면 합계는 그 고정된 크기의 덩어리로 만들어져야 한다 — 나머지가 끝내 맞아떨어지지 않으면 그 합계는 나올 수 없다.

  • 자유로운 두 수에 이름 붙이기
  • 모든 수를 h와 c로 쓰기
  • 더한 뒤 같은 항끼리 묶기
  • 각 선택지를 정수 덩어리로 검사하기

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