AMC 10 · 2015 · #18

학년 7 rate-ratio

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

expected-valueprobability-basicsequences-geometric identify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicexpected-value

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

요한은 공정한 동전 64 개로 시작해 모두 던집니다. 뒷면이 나온 동전은 다시 던지고, 두 번째에도 뒷면이면 한 번 더 던집니다. 동전마다 최대 세 번 던진 뒤, 앞면을 보이는 동전은 평균 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

각 동전이 정확히 언제 처음 앞면이 되는지 추적하면 복잡하므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 씁니다: 동전 한 개가 앞면으로 끝날 확률을 구한 뒤, 모든 동전이 똑같이 행동하고 서로 독립으로 기여하므로 64 개로 늘립니다. 그 한 개의 동전에서 "세 번 안에 한 번이라도 앞면" 을 직접 묻는 것은 세 경우로 갈라지지만, 반대 사건은 깔끔한 한 경우입니다 — 세 번 연속 뒷면. 이것이 도구 #16(관점 바꾸기)입니다: 모두 뒷면일 확률을 구해 1 에서 빼는 것. 도구 #5(패턴 찾기)는 매 회마다 뒷면 동전이 절반씩 줄어드는 규칙으로 같은 답을 확인해 줍니다.

1STEP 1

한 개로 줄였다가 다시 늘리기

64 개 동전은 똑같이 독립으로 행동하니, 앞면 기댓값은 한 개가 앞면일 확률의 64 배 — 한 개 문제부터 풀자.

앞면 기댓값 = 64 × P(동전 한 개가 앞면으로 끝남)

2STEP 2

질문을 모두 뒷면 쪽으로 뒤집기

동전은 세 번 모두 뒷면이 아니면 앞면으로 끝나니, 반대의 한 경우인 뒷면, 뒷면, 뒷면만 세자.

P(앞면으로 끝남) = 1 - P(뒷면, 뒷면, 뒷면)

3STEP 3

한 개의 확률 계산하기

독립인 뒷면 세 번은 (1/2)³ = 1/8 이니, 한 개가 앞면으로 끝날 확률은 1 - 1/8 = 7/8 이다.

P(앞면으로 끝남) = 1 - (1/2)³ = 1 - 1/8 = 7/8

4STEP 4

다시 64 개로 늘리기

동전 64 개에 곱하면 64 × 7/8 = 56 개가 앞면일 것으로 기대된다. 답은 (D).

64 × 7/8 = (64 × 7)/8 = 56 → (D)

정답

매 회 남는 뒷면을 세어 확인하는데, 이는 절반씩 줄어드는 규칙 그대로입니다. 64 로 시작해 약 절반이 앞면이라 빠지므로 32 개의 뒷면이 2회로 넘어가고, 다시 약 절반이 빠져 16 개의 뒷면이 3회로 넘어가고, 또 절반이 빠져 끝에 8 개가 여전히 뒷면입니다. 앞면 = 64 - 8 = 56 으로 (D) 와 맞습니다. 이 값은 한 번만 던질 때의 32 와 (도달 불가능한) 64 사이에 알맞게 놓여, 세 번 던지는 상황에 부합합니다.

💡핵심 정리

"적어도 한 번 앞면" 이 여러 경우로 갈라질 때는 반대의 한 경우만 세라 — 동전은 세 번 모두 뒷면이어야만 실패하고 그건 8번에 1번뿐이라, 8개 중 7개, 즉 64개 중 56개가 앞면으로 끝난다.

한 개로 줄였다가 다시 늘리기
질문을 모두 뒷면 쪽으로 뒤집기
한 개의 확률 계산하기
다시 64 개로 늘리기

한 개로 줄였다가 다시 늘리기

질문을 모두 뒷면 쪽으로 뒤집기

한 개의 확률 계산하기

다시 64 개로 늘리기

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