AMC 10 · 2015 · #21

학년 6 rate-ratio

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

floor-functioncasework guess-and-check ↑ 선수 지식: floor-function

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

코지는 계단을 한 번에 2칸씩 올라가고(마지막에 1칸이 남으면 그 한 칸도 한 번의 점프로 친다), 대시는 한 번에 5칸씩 올라간다(마지막에 5칸보다 적게 남으면 그것도 한 번의 점프로 친다). 계단이 n칸일 때, 대시는 코지보다 점프 횟수가 정확히 19번 적다. 이 조건을 만족하는 모든 n을 더한 값을 s라 할 때, s의 각 자리 숫자의 합을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #4(변수 도입하기)로 계단 칸 수를 n이라 둔다. 핵심은 마지막에 부분 점프가 필요해도 한 번의 온전한 점프를 쓴다는 점이어서, 점프 횟수는 올림 나눗셈 ⌈ n/2 ⌉와 ⌈ n/5 ⌉가 된다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "대시가 19번 적다"라는 문장을 하나의 식 ⌈ n/2 ⌉ - ⌈ n/5 ⌉ = 19로 옮긴다. 올림이 들어가 바로 풀기 어렵기 때문에, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 올림을 떼어낸 깔끔한 비율 식 n/2 - n/5 = 19를 먼저 풀어 n = 63 부근임을 찾는다. 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 63 근처의 정확한(올림한) 횟수를 짧은 구간에서 확인하고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 차가 정확히 19가 되는 모든 n을 모은다. 올림 때문에 차이가 매끄럽게 커지지 않고 출렁이기 때문이다.

1STEP 1

각 점프 횟수 세기

코지는 2칸씩이라 ⌈ n/2 ⌉번, 대시는 5칸씩이라 ⌈ n/5 ⌉번 점프 — 나머지도 한 점프라 올림한다.

코지 = ⌈ n/2 ⌉ 번, 대시 = ⌈ n/5 ⌉ 번

2STEP 2

차이 식 세우기

"대시가 19번 적게 점프한다"는 코지의 횟수에서 대시의 횟수를 뺀 값이 19라는 뜻 — 그대로 n에 대한 식으로 옮긴다.

⌈ n/2 ⌉ - ⌈ n/5 ⌉ = 19

3STEP 3

올림을 무시하고 어림하기

올림을 떼고 횟수를 n/2, n/5로 보면 차이는 3n/10. 이를 19로 두면 n ≈ 63 — 답은 63 부근에 있다.

n/2 - n/5 = 3n/10 = 19 → n ≈ 190/3 ≈ 63

4STEP 4

63 근처에서 정확한 횟수 확인

63 근처에서 실제 올림 횟수를 확인한다; 올림 때문에 차이가 출렁여 63, 64, 66에서만 19가 되고 62, 65, 67은 빗나간다.

⌈ n/2⌉ - ⌈ n/5⌉ = 19 는 n = 63, 64, 66 에서만 성립

5STEP 5

유효한 칸 수를 더하고 자릿수 합 구하기

조건을 만족하는 계단 칸 수는 63, 64, 66이다. 이를 더해 s를 구한 뒤, s의 각 자리 숫자를 더한다.

s = 63 + 64 + 66 = 193, 1 + 9 + 3 = 13 → (D)

정답

매끄러운 비율로 얻은 어림값 n ≈ 63이 찾아낸 집합 {63, 64, 66} 안에 정확히 들어와 강한 일관성 신호가 된다. n = 66을 처음부터 확인해 보자: 코지는 33번(33 × 2 = 66 정확) 점프하고, 대시는 14번(13번이면 65칸까지, 마지막 1칸이 14번째 점프)이며 33 - 14 = 19이다. 66에서 대시가 점프를 하나 더 얻기 때문에 차가 19로 다시 내려간다. 합 s = 193의 자릿수 합은 13으로 선택지 (D)와 일치한다; 더 작은 (A) 9~(C) 12는 각각 세 계단 중 하나를 빠뜨렸을 때 나온다.

💡핵심 정리

점프 횟수는 나눗셈을 올림해서 세고, "19번 적다"를 식 하나로 바꾸고, 올림을 무시해 답이 어디쯤인지 어림한 뒤, 근처 정수들을 확인하라 — 올림 때문에 차이가 출렁여서 여러 계단이 답이 될 수 있다.

각 점프 횟수 세기
차이 식 세우기
올림을 무시하고 어림하기
63 근처에서 정확한 횟수 확인
유효한 칸 수를 더하고 자릿수 합 구하기

각 점프 횟수 세기

차이 식 세우기

올림을 무시하고 어림하기

63 근처에서 정확한 횟수 확인

유효한 칸 수를 더하고 자릿수 합 구하기

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