AMC 10 · 2015 · #22

학년 8 arithmetic
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
regular-pentagongolden-ratioisosceles-trianglesimilar-triangles symmetry-argument ↑ 선수 지식: isosceles-triangleregular-pentagon
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형
문제
정오각형 ABCDE에 대각선 5개를 모두 그으면 별 모양과 함께 가운데에 작은 정오각형 FGHIJ가 생긴다. AG = 1일 때, FG + JH + CD를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
3
(B)
$12-4\sqrt5$
(C)
$\dfrac{5+2\sqrt5}{3}$
(D)
$1+\sqrt5$
(E)
$\dfrac{11+11\sqrt5}{10}$

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

문제 전체가 하나의 그림 안에 있으므로 도구 #1(그림 그리기)이 핵심이다. 어떤 점이 어느 대각선 위에 있는지 표시하는 것이 출발점이다. 가장 중요한 관찰은 FG, JH, CD가 모두 A의 36° 각을 공유하는 세 삼각형 AFG, AJH, ADC의 밑변이라는 점이다. 이 세 삼각형은 하나의 '36-72-72' 황금 삼각형을 크기만 다르게 한 닮은꼴이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 모든 황금 삼각형이 따르는 비율 밑변 = 빗변(다리) · (√5-1)/2를 구하는데, 바로 여기서 √5가 나온다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 하나의 합을 세 개의 짧은 길이 계산으로 나누고, 도구 #5(패턴 찾기)로 가장 작은 삼각형에서 가장 큰 삼각형으로 안쪽 오각형의 변을 하나씩 더하며 올라간다.

1STEP 1

황금 삼각형 세 개 찾기

A의 108° 각을 두 대각선이 36° 세 조각으로 나눠 AFG, AJH, ADC는 크기만 다른 세 36-72-72 황금 삼각형이 된다.

∠ FAG = ∠ JAH = ∠ DAC = 36° → △ AFG ∼ △ AJH ∼ △ ADC
2STEP 2

황금 삼각형의 밑변 대 다리 비율 구하기

밑각 72°를 이등분하면 더 작은 닮은꼴이 나와 b²+b-1=0, 즉 모든 황금 삼각형에서 밑변 = 다리 · (√5-1)/2이다.

b² + b - 1 = 0 → b = (√5-1)/2 (b ＞ 0)
3STEP 3

AG = 1로 가장 작은 삼각형 구하기

AG = 1은 가장 작은 삼각형 AFG의 다리이므로 그 밑변은 FG = (√5-1)/2이다.

FG = (√5-1)/2
4STEP 4

가운데 삼각형으로 올라가기

GH = FG = (√5-1)/2이므로 가운데 다리는 AH = 1 + (√5-1)/2 = (1+√5)/2, 그 밑변은 JH = 1이다.

AH = 1 + (√5-1)/2 = (1+√5)/2, JH = (1+√5)/2 · (√5-1)/2 = 1
5STEP 5

바깥 삼각형으로 올라가기

대칭이 A ⇔ C를 바꿔 먼 조각 HC = AG = 1이므로 AC = (1+√5)/2 + 1 = (3+√5)/2, CD = (1+√5)/2이다.

AC = (1+√5)/2 + 1 = (3+√5)/2, CD = (3+√5)/2 · (√5-1)/2 = (1+√5)/2
6STEP 6

세 길이 더하기

세 밑변을 더한다: FG = (√5-1)/2와 CD = (1+√5)/2가 합쳐 √5, 가운데 JH = 1을 더하면 답 (D)이다.

FG + JH + CD = (√5-1)/2 + 1 + (1+√5)/2 = √5 + 1 = 1 + √5 → (D)
정답
1+√5
수치로 확인하자: FG = (√5-1)/2 ≈ 0.618, JH = 1, CD = (1+√5)/2 ≈ 1.618이므로 합은 약 3.236으로 1+√5 ≈ 3.236과 일치한다. 다섯 선택지를 소수로 보면 (A) 3, (B) 12-4√5 ≈ 3.06, (C) (5+2√5)/3 ≈ 3.16, (D) ≈ 3.236, (E) (11+11√5)/10 ≈ 3.56로 오직 (D)만 맞는다. 또 JH = 1 = AG이고 CD가 가장 큰 조각(큰 오각형의 변)이라는 점도 그림과 일치한다.
💡핵심 정리

정오각형 안에서 대각선이 만드는 삼각형은 모두 크기만 다른 같은 황금 삼각형이므로, 밑변 대 다리 비율 하나만 구해 크기를 키워 가면 된다.

  • 황금 삼각형 세 개 찾기
  • 황금 삼각형의 밑변 대 다리 비율 구하기
  • AG = 1로 가장 작은 삼각형 구하기
  • 가운데 삼각형으로 올라가기
  • 바깥 삼각형으로 올라가기
  • 세 길이 더하기

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