AMC 10 · 2015 · #24

학년 6 arithmetic
유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Coordinate Spiral Position
pattern-recognitioncoordinate-geometryperfect-squaresspatial-visualization work-backwards ↑ 선수 지식: pattern-recognition
📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
개미가 (0,0) 에서 동쪽을 보고 출발해 한 칸씩 걸으며 반시계 방향 사각 나선을 그린다. 규칙은 이렇다: 매 걸음 뒤, 왼쪽 칸이 비어 있으면 왼쪽으로 돌고, 아니면 그대로 직진한다. 2015 번째 걸음에서 도착하는 점 p₂015 를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
(-22,-13)
(B)
(-13,-22)
(C)
(-13,22)
(D)
(13,-22)
(E)
(22,-13)

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

2015 걸음을 손으로 다 걷는 것은 불가능하므로, 목표는 나선이 어디서 반복되는지 찾는 것이다. 도구 #1(그림 그리기)로 나선을 종이에 그려 그 모양을 눈에 보이게 하고, 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심 엔진이다: 나선은 같은 종류의 이정표, 즉 홀수 변 정사각형의 오른쪽 아래 꼭짓점에 계속 닿는다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 거대한 수 2015 를 가까운 깔끔한 제곱수 45²=2025 로 바꾸어, 정확히 이름 붙일 수 있는 꼭짓점으로 만든다. 그런 다음 도구 #11(거꾸로 풀기)로 그 꼭짓점에서 몇 칸 뒤로 물러나 2015 번째 걸음에 도달한다.

1STEP 1

나선을 따라가며 꼭짓점 관찰하기

경로는 반시계 사각 나선; 개미는 8번째 걸음에 오른쪽 아래 꼭짓점 (1,-1), 24번째에 (2,-2) 에 닿는다.

p₀=(0,0), p₈=(1,-1), p₂4=(2,-2)
2STEP 2

꼭짓점 패턴을 규칙으로 쓰기

꼭짓점 규칙: 변 2k+1 홀수 정사각형의 오른쪽 아래 꼭짓점 (k,-k), 도달은 (2k+1)²-1 걸음; k=1→8, k=2→24.

p_(2k+1)²-1=(k,-k)
3STEP 3

2015에 가장 가까운 꼭짓점 찾기

2015 바로 위 홀수 제곱수는 45²=2025, 45=2·22+1 이라 k=22; 2024 걸음에 꼭짓점 (22,-22), 2015 직후.

45²=2025→ p₂024=(22,-22)
4STEP 4

개미가 그 꼭짓점에 어느 방향으로 들어오는지 보기

개미는 동쪽으로 미끄러져 오른쪽 아래 꼭짓점에 드니, (22,-22) 직전엔 y=-22 로 걸으며 x 만 한 칸씩 는다.

p₂024=(22,-22), 동쪽으로 도착: …,(20,-22),(21,-22),(22,-22)
5STEP 5

2015로 거꾸로 물러나기

2015 는 꼭짓점보다 2024-2015=9 걸음 전; 동쪽 9 걸음을 되돌리면 x 가 9 줄어 x=22-9=13, (13,-22)=(D).

2024-2015=9→ p₂015=(22-9, -22)=(13,-22)
정답
(13,-22)
점 (13,-22) 는 원점의 오른쪽 아래에 있는데, 이는 2015 번째 걸음 근처에서 개미가 있는 나선의 아래쪽 변과 맞는다. 또 이 점은 45×45 정사각형(꼭짓점 (22,-22)) 안쪽이면서 43×43 정사각형(꼭짓점 (21,-21), 1848 번째 걸음)은 지난 곳이라 1848 ＜ 2015 ＜ 2024 로 마지막 구간에 정확히 놓인다. 부호(x 는 양수, y 는 음수)도 아래쪽을 동쪽으로 가로지르며 도달한 점과 맞아, 부호가 뒤집히거나 두 수가 뒤바뀐 보기들을 배제한다.
💡핵심 정리

반복되는 패턴에서 가장 가까운 깔끔한 이정표를 찾아 정확히 이름 붙인 뒤, 목표까지 몇 걸음만 뒤로 걸어가면 된다.

  • 나선을 따라가며 꼭짓점 관찰하기
  • 꼭짓점 패턴을 규칙으로 쓰기
  • 2015에 가장 가까운 꼭짓점 찾기
  • 개미가 그 꼭짓점에 어느 방향으로 들어오는지 보기
  • 2015로 거꾸로 물러나기

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