AMC 10 · 2016 · #1

학년 6 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
factorialfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: factorial
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
분수 (11!-10!)/9! 의 값을 구하세요. 여기서 n! 은 1 부터 n 까지의 모든 자연수를 곱한 것을 뜻합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
99
(B)
100
(C)
110
(D)
121
(E)
132

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

11!, 10!, 9! 을 따로 계산하면 거대한 수를 곱해야 해서 느리고 실수하기 쉽습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 안전한 조각으로 나눕니다 — 각 팩토리얼을 다시 써서 공통의 9! 이 드러나게 하고, 분자에서 그 9! 을 묶어내고, 분모와 약분합니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 핵심 관찰, 즉 각 팩토리얼이 9! 위에 몇 개의 인수만 더 얹은 것이라는 점을 알려 주어, 무엇도 끝까지 곱할 필요가 없게 합니다.

1STEP 1

공통의 9! 을 드러내기

각 팩토리얼을 공통의 9! 까지 벗겨 냅니다: 11! = 11· 10· 9! = 110· 9!, 10! = 10· 9!.

11! = 11· 10· 9! = 110· 9!, 10! = 10· 9!
2STEP 2

위쪽에서 9! 묶어내기

분자의 두 항 모두 9! 을 품으니 묶어냅니다: 110· 9! - 10· 9! = (110-10)· 9! = 100· 9!.

11!-10! = 110· 9! - 10· 9! = (110-10)· 9! = 100· 9!
3STEP 3

약분하고 답 읽기

이제 (100· 9!)/9! 이고, 위아래의 9! 이 약분되어 100 만 남습니다 — 답은 (B).

(11!-10!)/9! = (100· 9!)/9! = 100 → (B)
정답
100
9! 의 실제 크기가 전혀 필요 없었다는 점이 좋은 신호입니다 — 완전히 약분되어 선택지 사이에 딱 들어맞는 깔끔한 자연수 100 이 남았습니다. 크기로 빠르게 확인해 보면: 11! 은 10! 의 11 배이므로 11!-10! 은 대략 10! 의 10 배이고, 10! 은 9! 의 10 배이므로, 이는 대략 9! 의 10× 10 = 100 배 — 100 과 정확히 일치합니다.
💡핵심 정리

팩토리얼을 빼거나 나눌 때는 모두가 공통으로 가진 가장 큰 것을 찾아 묶어내고 약분되게 하세요 — 거대한 수를 곱할 일은 거의 없습니다.

  • 공통의 9! 을 드러내기
  • 위쪽에서 9! 묶어내기
  • 약분하고 답 읽기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.