AMC 10 · 2016 · #10

학년 6 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference
area-rectanglessequences-arithmeticarea-difference convert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-rectangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
양탄자가 색이 다른 세 개의 겹친 직사각형으로 이루어져 있다. 안쪽 직사각형의 폭은 1피트이고, 그 둘레의 각 색 테두리는 사방으로 1피트씩 넓힌다. 세 색 영역의 넓이가 등차수열을 이룬다. 안쪽 직사각형의 길이를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
2
(C)
4
(D)
6
(E)
8

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

안쪽 길이가 모든 것을 정하는 하나의 수이므로 도구 #4(변수 도입하기)로 그것을 x라 부르면 모든 넓이가 x에 대한 식이 된다. 그림은 직사각형 세 개가 서로 안에 겹쳐 있으므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 나눈다. 먼저 겹친 각 직사각형의 크기를 구하고, 그다음 각 색의 넓이를 한 직사각형에서 그 안쪽 직사각형을 뺀 값으로 구한다. 세 색 넓이를 x로 쓰고 나면 등차수열 규칙(같은 간격)이 x를 정하는 하나의 방정식이 된다.

1STEP 1

안쪽 길이에 이름 붙이기

안쪽 직사각형의 길이를 x, 폭을 1이라 하면 넓이는 x이다.

안쪽 넓이 = x · 1 = x
2STEP 2

세 직사각형의 크기 구하기

각 1피트 테두리는 두 변에 2씩 더하니 가운데 직사각형은 3x+6, 양탄자 전체는 5x+20이다.

안쪽=x· 1=x, 가운데 직사각형=(x+2)· 3=3x+6, 양탄자 전체=(x+4)· 5=5x+20
3STEP 3

각 색의 넓이 구하기

각 직사각형을 그것을 둘러싼 것에서 빼면 가운데 색은 2x+6, 바깥 색은 2x+14이다.

안쪽=x, 가운데=(3x+6)-x=2x+6, 바깥=(5x+20)-(3x+6)=2x+14
4STEP 4

같은 간격 규칙으로 풀기

같은 간격이면 첫 차와 둘째 차가 같아 x+6=8, 따라서 x=2, 보기 (B)이다.

(2x+6)-x=(2x+14)-(2x+6) → x+6=8 → x=2 → (B)
정답
2
x=2를 다시 넣어 보면 세 색 넓이는 x=2, 2x+6=10, 2x+14=18이다. 이는 2, 10, 18로 매번 8씩 커지므로 정말 등차수열을 이룬다. 작은 양탄자 치고 합리적인 값이고, 답 2가 보기 중 하나이므로 (B)가 확인된다.
💡핵심 정리

안쪽 길이를 x라 하고 각 색의 넓이를 x로 쓰면, 같은 간격 규칙이 x+6=8이 되어 x=2가 나온다.

  • 안쪽 길이에 이름 붙이기
  • 세 직사각형의 크기 구하기
  • 각 색의 넓이 구하기
  • 같은 간격 규칙으로 풀기

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