AMC 10 · 2016 · #11

학년 6 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
area-trianglesarea-differencecoordinate-geometry identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
8× 5 직사각형 안에서 각 변에 길이 1짜리 조각과 나머지를 나누는 표시가 있다. 색칠된 띠가 이 표시된 점들을 지나며 직사각형을 비스듬히 가로지른다. 색칠된 영역의 넓이를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$4\dfrac{3}{5}$
(B)
5
(C)
$5\dfrac{1}{4}$
(D)
$6\dfrac{1}{2}$
(E)
8

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

색칠된 띠는 비스듬한 육각형이라 다루기 까다로우므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 핵심이다. 띠를 넓이를 구하기 쉬운 삼각형들로 잘라 더한다. 정확한 길이를 얻기 위해 도구 #1(그림 그리기)로 직사각형을 좌표 격자 위에 올려 모든 꼭짓점과 표시에 수를 붙인다. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)로 대칭을 잡아낸다. 띠는 직사각형의 중심을 기준으로 반 바퀴 돌려도 똑같아 보이므로, 한쪽 절반만 재서 두 배 하면 된다.

1STEP 1

그림을 격자에 올리기

격자에 올리면 띠의 여섯 꼭짓점은 (7,0),(8,0),(8,1),(0,4),(0,5),(1,5)이다.

꼭짓점: (7,0), (8,0), (8,1), (0,4), (0,5), (1,5)
2STEP 2

중심에서의 교차 찾기

두 긴 변의 중점이 모두 (4,2.5), 즉 직사각형 중심이라 거기서 만나 띠를 합동인 두 절반으로 나눈다.

((8+0)/2,(1+4)/2)=(4,2.5), ((1+7)/2,(5+0)/2)=(4,2.5)
3STEP 3

한 조각을 두 삼각형으로 자르기

왼쪽 위 절반을 중심 O=(4,2.5)에서 밑변 각 1인 두 삼각형으로 나누면, 높이 4와 2.5로 넓이 2와 1.25가 나온다.

1/2· 1· 4=2, 1/2· 1· 2.5=1.25
4STEP 4

절반들을 더하기

왼쪽 위 절반은 2+1.25=3.25, 반 바퀴 대칭인 짝도 같아 띠 전체는 2×3.25=6.5, 곧 6 1/2 → (D).

2·(2+1.25)=2· 3.25=6.5=6 1/2 → (D)
정답
6 1/2
직사각형 전체 넓이는 8× 5=40이고, 얇은 비스듬한 띠는 그중 작은 조각일 뿐이어야 한다. 우리가 구한 6 1/2은 40의 약 1/6이라 좁은 띠에 들어맞는다. 게다가 보기 중 하나이므로 (D)가 확인된다.
💡핵심 정리

그림을 격자에 올리고 띠가 중심에서 잘록해지는 것을 알아챈 뒤, 한쪽 절반을 두 삼각형으로 잘라 두 배 한다: 2(2+1.25)=6 1/2.

  • 그림을 격자에 올리기
  • 중심에서의 교차 찾기
  • 한 조각을 두 삼각형으로 자르기
  • 절반들을 더하기

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