AMC 10 · 2016 · #12

학년 7 probability
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split
probability-basicparitycombinations-basic casework ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
1부터 2016까지의 정수 중 서로 다른 세 수를 무작위로 고른다. 세 수의 곱이 홀수일 확률을 p라 하자. p에 대한 다음 설명 중 옳은 것을 고르시오: 1/8보다 작은가, 1/8과 같은가, 1/8과 1/3 사이인가, 1/3과 같은가, 아니면 1/3보다 큰가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$p<\dfrac{1}{8}$
(B)
$p=\dfrac{1}{8}$
(C)
$\dfrac{1}{8}<p<\dfrac{1}{3}$
(D)
$p=\dfrac{1}{3}$
(E)
$p>\dfrac{1}{3}$

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

문제는 p의 정확한 값이 아니라 1/8과 어떻게 비교되는지만 묻는다. 그래서 복잡한 계산보다 어림이 낫다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 핵심 재해석을 한다: 곱이 홀수일 때는 세 수가 모두 홀수일 때뿐이므로 p는 결국 홀수 세 개를 뽑을 확률이다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 기준값을 만든다: 만약 뽑기가 독립이라면(중복 허용) 각각 홀수일 확률이 1/2이므로 (1/2)³=1/8이 정확히 나온다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 실제 비복원 추출을 점점 작아지는 세 분수로 다루고, 그것들을 기준값과 비교하면 계산을 끝내지 않고도 답이 정해진다.

1STEP 1

홀수인 곱을 모두 홀수로 바꾸기

곱은 모든 인수가 홀수일 때만 홀수라서 세 수 모두 홀수여야 하고, 1부터 2016까지 홀수는 정확히 1008개다.

#홀수=1008, #짝수=1008, 전체=2016
2STEP 2

더 쉬운 기준값 만들기

중복을 허용한다고 하면 각 뽑기가 홀수일 확률은 1/2, 셋 다 홀수일 확률은 1/8 — 보기가 견주는 깔끔한 기준값이다.

1008/2016=1/2, (1/2)³=1/8
3STEP 3

실제 비복원 확률 쓰기

중복 없이 차례로 곱한다: 1008/2016·1007/2015·1006/2014, 뒤로 갈수록 묶음이 하나씩 작아진다.

p=1008/2016·1007/2015·1006/2014
4STEP 4

각 분수를 이분의 일과 비교하기

뒤 두 분수가 각각 1/2보다 조금 작으므로(2×1007＜2015, 2×1006＜2014) 곱은 1/8 아래다 — 보기 (A).

1007/2015 ＜ 1/2, 1006/2014 ＜ 1/2 → p ＜ (1/2)³=1/8 → (A)
정답
p ＜ 1/8
기준값 1/8은 뽑기를 독립으로 본 결과이다. 고른 홀수를 빼면 다음 뽑기에는 홀수가 비율적으로 더 적게 남으므로 뒤 분수들이 모두 1/2보다 엄격히 작다. 한 인수는 1/2이고 두 인수는 1/2보다 작은 곱은 반드시 1/8 아래에 놓이며 결코 그와 같거나 크지 않다. 그래서 p ＜ 1/8이 일관되어 (B)~(E)를 배제하고 (A)를 확인한다.
💡핵심 정리

곱이 홀수이려면 세 수가 모두 홀수여야 한다. 중복을 허용한다고 보면 정확히 1/8이 나오고, 중복을 금지하면 뒤에 남는 홀수가 더 드물어져 실제 확률은 1/8보다 조금 작다.

  • 홀수인 곱을 모두 홀수로 바꾸기
  • 더 쉬운 기준값 만들기
  • 실제 비복원 확률 쓰기
  • 각 분수를 이분의 일과 비교하기

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