AMC 10 · 2016 · #14

학년 6 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

linear-diophantineparity systematic-enumeration ↑ 선수 지식: linear-diophantine

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

2016을 2들과 3들의 합으로 쓰는 방법이 순서를 무시할 때 몇 가지인지 세시오. 각 방법은 합이 2016이 되는 2의 개수와 3의 개수로 정해진다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

236

(B)

336

(C)

337

(D)

403

(E)

672

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

한 "방법"은 결국 개수 한 쌍이므로 도구 #4(변수 도입하기)로 이름을 붙인다. 2가 a개, 3이 b개이고 2a+3b=2016이다. 이를 a에 대해 풀면 a는 2016-3b가 짝수일 때만 정수가 되며, 이로써 어떤 b 값이 허용되는지 정해진다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 허용된 b 값을 순서대로 훑으며 센다. 허용된 각 b가 정확히 한 방법을 주므로 b 값의 개수가 곧 답이다.

1STEP 1

두 개수에 이름 붙이기

2의 개수를 a, 3의 개수를 b라 하면 합 조건은 2a + 3b = 2016이 된다.

2a + 3b = 2016, a ≥ 0, b ≥ 0 정수

2STEP 2

2의 개수에 대해 풀기

b를 먼저 고르면 나머지는 2들로 채워져 a = (2016 - 3b)/2가 되고, 이 값이 0 이상의 정수여야 한다.

2a = 2016 - 3b → a = (2016 - 3b)/2

3STEP 3

허용되는 b 찾기

a가 정수이려면 2016 - 3b가 짝수여야 하고, 2016이 짝수이므로 b가 짝수여야 한다.

2016 - 3b 짝수 ⇔ 3b 짝수 ⇔ b 짝수

4STEP 4

짝수 b를 나열하고 세기

짝수 b는 0, 2, 4, …, 672로, 그 개수는 672/2 + 1 = 337이며 각각 한 방법이니 답은 (C)이다.

b ∈ {0, 2, 4, …, 672} → 672/2 + 1 = 337 → (C)

정답

337

양 끝을 확인하자. b=0이면 a=1008 (모두 2)이고, b=672이면 3·672=2016이라 a=0 (모두 3)이다. 둘 다 문제의 예시에 나온 경우이므로 허용되는 b의 최소와 최대가 맞다. 개수 337은 672의 절반을 살짝 넘는데, 이는 정확히 짝수 b만 되기 때문이며 보기 중 하나와 일치한다.

💡핵심 정리

3의 개수를 b라 하면 0부터 672까지의 짝수 b만 되고, 그런 b는 337개이다.

두 개수에 이름 붙이기
2의 개수에 대해 풀기
허용되는 b 찾기
짝수 b를 나열하고 세기

두 개수에 이름 붙이기

2의 개수에 대해 풀기

허용되는 b 찾기

짝수 b를 나열하고 세기

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