AMC 10 · 2016 · #17

학년 7 probability
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements
probability-basicratio-proportionfloor-function bound-inequality-then-enumerateconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basic
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
빨간 공 1개와 초록 공 N개(N은 5의 배수)를 한 줄로 무작위로 늘어놓는다. P(N)은 초록 공 중 적어도 3/5이 빨간 공의 같은 쪽에 놓일 확률이다. P(5)=1이고 N이 커지면 P(N)→4/5임이 주어진다. P(N) ＜ 321/400이 되는 가장 작은 N을 찾고, 그 N의 각 자리 숫자의 합을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
12
(B)
14
(C)
16
(D)
18
(E)
20

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

초록 공은 서로 똑같으므로 무작위 배열은 빨간 공이 어디로 끼어드는지로 전부 정해진다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 이를 모델로 만든다: 초록 공 N개를 늘어놓으면 빨간 공은 N+1개의 틈 중 하나에 떨어지고, 각 틈은 똑같이 가능하다. 그러면 P(N)은 (유리한 틈)/(N+1)일 뿐이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 N=5k라 쓰면 기준 3/5N=3k가 깔끔한 정수가 되어 틈을 세기 쉽다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 P(N) ＜ 321/400을 k에 대한 부등식으로 바꾸면 가장 작은 k가 나오고, 거기서 N=5k와 자리 숫자의 합이 따라 나온다.

1STEP 1

빨간 공을 틈에 떨어뜨리는 것으로 바꾸기

초록 공이 똑같아 빨간 공의 틈은 똑같이 가능한 N+1개; 왼쪽에 L개면 오른쪽엔 N-L개, L은 0…N을 훑는다.

결과 수=N+1, L∈{0,1,…,N}, 오른쪽 무더기=N-L
2STEP 2

조건을 만족하는 틈 세기

N=5k면 기준은 3k; L ≥ 3k에서 2k+1개, L ≤ 2k에서 2k+1개, 겹치지 않아 유리한 틈은 4k+2개.

L ≥ 3k: 2k+1 개; L ≤ 2k: 2k+1 개; 유리한 틈=4k+2
3STEP 3

확률을 쓰고 점검하기

나누면 (4k+2)/(5k+1); k=1이면 6/6=1, 큰 k면 ≈4/5로 두 단서와 모두 맞는다.

P(N)=(4k+2)/(5k+1); k=1→6/6=1; k→∞→4/5
4STEP 4

k에 대한 부등식 풀기

(4k+2)/(5k+1) ＜ 321/400을 교차로 곱하면 479 ＜ 5k, 즉 k ＞ 95.8이라 가장 작은 정수 k는 96.

400(4k+2) ＜ 321(5k+1)→ 479 ＜ 5k→ k ＞ 95.8→ k=96
5STEP 5

N을 구하고 자리 숫자 더하기

따라서 가장 작은 N=5k=480, 자리 숫자 4, 8, 0의 합은 12이니 답은 (A).

N=5· 96=480, 4+8+0=12→(A)
정답
12
식 P(N)=(4k+2)/(5k+1)은 문제가 준 두 기준(P(5)=1과 극한 4/5)을 모두 만족하므로 유리한 틈의 셈을 믿을 수 있다. P(N)이 4/5=0.8 쪽으로 줄어들고 321/400=0.8025가 0.8 바로 위에 있으므로, 경계를 넘는 지점은 큰 N에서 일어나며 이는 N=480과 맞는다. 경계 확인: k=95에서 382/476=0.8025…로 321/400 미만이 아니지만, k=96에서 386/481≈ 0.8025가 그보다 작아져 N=480이 처음으로 아래로 내려가는 값임이 확인된다.
💡핵심 정리

초록 공이 똑같으니 빨간 공의 틈만 중요하다. 충분히 큰 무더기를 남기는 틈을 세어 확률을 k에 대한 분수로 쓰고 부등식을 풀면 N=480, 자리 숫자의 합 12에 도달한다.

  • 빨간 공을 틈에 떨어뜨리는 것으로 바꾸기
  • 조건을 만족하는 틈 세기
  • 확률을 쓰고 점검하기
  • k에 대한 부등식 풀기
  • N을 구하고 자리 숫자 더하기

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